乌鲁木齐市第三十六中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份乌鲁木齐市第三十六中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．化简得( )
A.B.C.D.
2．如图,在长方体中,,,则与平面所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
3．设b,c表示两条直线,,表示两个平面,则下列命题正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
4．已知,,若,则等于( )
A.2B.C.D.
5．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知，，，则B的大小为( )
A.B.C.或D.或
6．已知,则的值为( )
A.-4B.-2C.2D.4
7．在正方体中,E为线段的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
8．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示）,下底面是边长为2的正方形,上棱,平面ABCD,EF与平面ABCD的距离为2,该刍甍的体积为( )
A.6B.C.D.12
9．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上,且平面,,,,则球O的表面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
10．函数的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.是函数的一条对称轴D.是函数的对称中心
11．两平行平面截半径为5的球,若截面面积分别为和,则这两个平面间的距离是( )
A.1B.3C.4D.7
12．如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,下列说法正确的是( )
A.平面EFHB.平面EFHC.平面AEHD.平面AEF
三、填空题
13．如图所示,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化后正好盛满杯子,则杯子高_______．
14．已知,则的值是___________.
15．已知单位向量a，b的夹角为，与a垂直，则__________.
16．如图,正方体中,平面和平面ABCD所成二面角的大小是___________.
四、解答题
17．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若.
（1）求角A;
（2）若,,求的面积．
18．已知函数.
（1）求函数的值域;
（2）求函数单调递增区间.
19．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，E为中点.
（1）求证：平面ACE；
（2）求证：.
20．如图,AB是的直径,PA垂直于所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.
（1）证明：面PAC;
（2）若,,求直线PB与平面PAC所成角的正切值.
21．如图所示,在三棱柱中,平面,,M是的中点,.
（1）求证：平面平面;
（2）求点M到平面的距离.
参考答案
1．答案：D
解析：.
故选：D.
2．答案：D
解析：连接,在长方体中,
平面,则为与平面所成角．
在中, ．
故选：D．
3．答案：D
解析：若,,则或与异面,故A错误;
若,,则或,故B错误;
若,,则或或c与相交,相交也不一定垂直,故C错误;
若,过c的平面与相交,设交线为a,则,又,则,而,则,故D正确.
故选:D.
4．答案：B
解析：已知,,若,
,,,
则,
故选:B.
5．答案：A
解析：由正弦定理得，即，解得，又B为的内角，所以或.又因为，所以，即.故选A.
6．答案：D
解析：因为,故即,
若,则,与平方和为1矛盾,
故即,
故选：D.
7．答案：B
解析：在正方体中,连接,AE,可得,
所以异面直线与所成角即为直线与所成角,
即为异面直线与所成角,不妨设,
则,,取的中点F,
因为,所以,
在直角中,可得.
故选B项.
8．答案：B
解析：如图,作,,则多面体被分割为棱柱与棱锥部分,
因为EF与平面ABCD的距离为2,
所以四棱锥的高为2,
所以
所以该刍甍的体积为.
故选：B.
9．答案：A
解析：因为平面BCD,
所以,,
,
在中,,
,
.
如图所示：
三棱锥的外接球即为长方体的外接球,
设球O的半径为R,则,
解得,
所以球O的表面积为,
故选：A.
10．答案：ACD
解析：由图知：,即,而,可得,A正确;
且,可得,B错误;
对称轴,C正确;
由是函数的一个对称中心,则是函数的对称中心,D正确;
故选：ACD.
11．答案：AD
解析：如图（1）所示,若两个平行平面在球心同侧,
则;
如图（2）所示,若两个平行截面在球心两侧,
则.
故选：AD.
12．答案：BC
解析：由题意可得：,.
⊥平面EFH,而AG与平面EFH不垂直.B正确,A不正确.
又,平面AHE,C正确
HG与AG不垂直,因此平面AEF不正确.D不正确.
故选：BC.
13．答案：8
解析：由题意得半球的半径和圆锥底面圆的半径,
如果冰淇淋融化后正好盛满杯子,则半球的体积等于圆锥的体积
所以
故答案为：8.
14．答案：
解析：
,
故答案为：.
15．答案：
解析：由题意得，又单位向量a，b的夹角为，所以，即.
16．答案：或
解析：是正方体,
平面,
,,
是平面和平面ABCD所成的二面角的平面角,
,
平面和平面ABCD所成的二面角的平面角为.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
由正弦定理,又,
,即,由,得.
（2）由余弦定理知,
即,则,解得（负值舍去）,
.
18．答案：（1）,
（2）
解析：
（1）因为,
所以
所以的值域为;
（2）由,
得,,
所以单调递增区间为.
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：证明：（1）设AC与BD交于点O，接OE，
底面ABCD是菱形，
O为DB中点，
又因为E是的中点，
，
面，平面
平面ACE.
（2）底面ABCD是菱形，
，
底面ABCD，底面ABCD，
，且，平面.
平面.
平面，
.
20．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：证明：（1） QUOTE 为圆O直径
即,
面ABC,
面PAC.
（2）面PAC,
为PB与平面PAC所成的角,
在直角三角形中,,
在直角三角形中,,
在直角三角形中, .
故直线PB与平面PAC所成角的正切值为.
21．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）由平面,平面,则,
由,M是的中点,则,又,
平面,又平面,
平面平面;
（2）如图,取的中点N,连结,设M到面的距离为h,
由题意知：,,,
,,
又,即
点M到平面的距离.