数学：江苏省南通市海安市2024年中考一模试题（解析版）

这是一份数学：江苏省南通市海安市2024年中考一模试题（解析版），共21页。

1．本试卷满分为150分，考试时间为150分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符，
4．答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列四个数，0，1，中，最小的数是（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】D
【解析】，
最小的数是
故选：D
2. 我国现有农村人口数量为，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】数据用科学记数法表示为．
故选：C
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、与不是同类项，不能直接运算，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D．
4. 若一个正边形的内角和为，则它的每个外角度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】一个正边形的内角和为，
∴，解得，，
∵正六边形的外角和为，
∴每个外角的度数为，
故选：．
5. 如图，是的外接圆，，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴
∴，
∵
∴，
故选：C．
6. 如图，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线，交于点E．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，，
∴，
由题意可得，是的平分线，
∴，
∴．
故选：C．
7. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由图象可得：当时，，
所以不等式的解集为，
故选：A．
8. 设函数（，m，n是实数），当时，，时，．则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】由所给函数解析式可知，
抛物线的对称轴为直线．
当时，抛物线的对称轴为直线，
因为和在抛物线上，
则点关于直线的对称点为，
因为，，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
则抛物线的开口向上，即．故A不符合题意．
当时，抛物线的对称轴为直线，
所以点关于直线的对称点为，
因为，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
则抛物线的开口向下，即．故B选项不符合题意．
当时，抛物线的对称轴为直线，
所以点关于直线的对称点为，
因为，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
则抛物线的开口向下，即．
故C选项符合题意．
当时，抛物线的对称轴为直线，
因为，所以顶点的纵坐标为抛物线上所有点纵坐标中最大的，
则抛物线的开口向下，即．故D选项不符合题意．故选：C．
9. 如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（ ）
A. 4B. 5C. D.
【答案】D
【解析】过A点作AN⊥DF于N，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4，
∵F是CD中点，
∴DF=FC=2，
根据翻折的性质可知AB=AF，
∴△AFD是等腰三角形，
∵AN⊥DF，
∴AN也平分DF，则有DN=NF=1，
∴在Rt△AND中利用勾股定理可得，
∴tan∠D=，
∴tan∠ABE=，
故选：D．
10. 已知，则满足等式的的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
，
当时，，，
则不合题意舍去；
当时，则，
设，
，
的最小值为，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意得：，
∴
故答案为：
12. 如图，，与交于点O，请添加一个条件________，使．（只填一种情况即可）

【答案】或或
【解析】∵
∴，
若，则；
若，则；
若，则；
故答案为：或或．
13. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了____________．（结果保留）
【答案】
【解析】根据题意，砝码提起的长度为：，
故答案为：．
14. 若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为_____．
【答案】20
【解析】
将代入得：原式
故答案为：20．
15. 如图，平地上一幢建筑物与铁塔都垂直于地面，，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角为．则铁塔的高度为______（结果保留根号）．
【答案】
【解析】如图所示，过点A作于E，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴铁塔的高度为，故答案为：
16. 在中，．若点在内部（含边界）且满足，则所有满足条件的点组成区域的面积为____________．
【答案】
【解析】，，，
，
，
作的垂直平分线，交于点，交于点，
，，
若点在内部（含边界）且满足，
点在内部（含边界），
，
是直角三角形，
，，
，
，即，
，
∴的面积为．故答案为：．
17. 如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，且，连接．若，则的值为____________．
【答案】3
【解析】连接, 作轴于, 轴于,则

设点坐标为，
∵，
，
，
，
∴点坐标为 ，
，，
，
即，
，解得，故答案为:．
18. 如图，平行四边形中，分别是边上的动点，且，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】延长，截取，连接，，过点A作于点H，如图所示：
∵四边形平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
即的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：（1）解不等式组：；
（2）化简：．
解：（1）
解不等式得：，解不等式得：，
所以不等式组的解集为：；
（2）
20. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）完成表格；
（2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由；
（3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则____________．（填“”或“”或“”）
解：（1）由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8，
甲得分的中位数为9，
由丙得分的扇形统计图可知，有2名评委打分为10，有3名评委打分为8，
丙得分的平均数为，
故答案为：9，；
（2）选甲更合适．
因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲；
（3）去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为，
甲的方差为，
，
故答案为：．
21. 如图，已知矩形．
（1）用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点分别在边上，（不写作法，保留作图痕迹，并给出证明．）
（2）若，求菱形的周长．
解：（1）如图，菱形即为所求作；
垂直平分，
，，
矩形，
，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）设菱形边长为x，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
解得，
菱形周长．
22. 第一盒中有2个白球、1个红球，第二盒中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球．
（1）在第一盒中取出1个球是白球的概率是______；
（2）求取出的2个球中1个白球、1个红球的概率．
解：（1）∵在第一盒中取出1个球有3种等可能结果，其中摸出的球是白球的有2种结果，在第一盒中取出1个球是白球的概率是，
故答案为．
（2）画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中取出的2个球中1个白球、1个红球的情况有3种结果，
取出的2个球中1个白球、1个红球的概率为．
23. 如图，点在半径为8的上，过点作的切线，交的延长线于点．连接，且．
（1）求证：；
（2）求图中阴影部分的面积．
解：（1）如图所示，连接OD，
∵，
∴，
∴，
∴
又∵是的切线，
∴，
∴．
（2）在中，，
∴，
∴．
24. 两地相距，甲车从地驶往地，乙车同时从地以的速度匀速驶往地，乙车出发1小时后，中途休息．设甲车行驶的时间为，甲、乙两车离地的距离分别为，图中线段表示与的函数关系．
（1）甲车的速度为____________；
（2）若两车同时到达目的地，则甲车行驶几小时后与乙车相遇；
（3）若甲、乙两车在距地至（包括和）之间的某处相遇，求的取值范围．
解：（1）由图可得，甲车的速度为，
故答案为：60；
（2）若甲、乙同时到达目的地，即均用时3小时，
则，得，即乙休息了小时，
甲、乙同时出发小时，甲行驶，
此时乙还在休息，乙行驶
，
甲在乙休息时与其相遇，
小时，甲行驶小时与乙相遇；
（3）
如图，甲、乙同时从A、B出发，1小时后甲、乙分别到达点D、点C，，，乙在点C休息m小时的同时甲行驶到了点E，，
当甲、乙分别在E、C同时出发，在点M相遇，
若，则，，
甲、乙同时从E、C出发到点M相遇，用时小时，
，
，
，
；
若，则，，
甲、乙同时从E、C出发到点M相遇，用时小时，
，
故m的范围是．
25. 问题情境：
“综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动．
第1步：有一张矩形纸片，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；
第2步：再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上点处，折痕为．
翻折后的纸片如图1所示
（1）的度数为____________；
（2）若，求的最大值；
拓展应用：
（3）一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，求该矩形纸片的面积．
解：（1）如图：
∵点沿翻折，使点落在矩形内部处，与所在直线重合，点落在直线上的点处，
∴，
∵，
∴，
即的度数为；
（2）设则设，
∵折叠
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴开口向下，在时，有最大值，
把代入，得出；
∴的最大值为
（3）如图：补全矩形，过点作，连接
由折叠情景，得出
由勾股定理，得出
∴
∵
∴
26. 在平面直角坐标系中，拋物线经过点，且．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若抛物线经过点，设点A与点横坐标的差为，点A与点纵坐标的差为，求的值；
（3）在（2）的条件下，连接，若线段交抛物线对称轴于点（点不与重合），在直线的同侧作矩形，且．当抛物线在矩形内部的部分始终在轴下方时，求的取值范围．
解：（1），∴对称轴为直线；
（2）由抛物线经过点，
∴ ，
解得，
即抛物线解析式为，
将A、B两点横纵坐标代入后作差，可得，
；
（3）∵点不与重合，
∴，而，
①或，则或，
则点A、B在对称轴右侧，
线段交抛物线对称轴不相交，不满足题意；
②时，则，点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧，
当经过点M时，此时正好符合题意，
∵ ，
设，
则，
解得，
∴，∴，
过点B作y轴的垂线，过点A作y轴的平行线，两直线交于点G，
对于，令，记抛物线与x轴右侧交点为M，则
，解得或，则与x轴交于和，
则由（2）得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：或（舍），
∴满足当抛物线在矩形内部的部分始终在轴下方时，
∴；
③当时，，则A在对称轴右侧，B在对称轴左侧，
当点B经过抛物线与x轴侧交点时，正好满足题意，
将代入直线：得，
∴此时直线：，
联立得，解得或，
∴，
∴满足当抛物线在矩形内部的部分始终在轴下方时，，
综上：或．
平均数/分
中位数/分
方差/分
甲
①____________
乙
丙
②____________