2024年山东省菏泽市单县湖西学校中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省菏泽市单县湖西学校中考数学一模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.纳米是表示微小距离的单位，1纳米=0.000001毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小.中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管一一直径0.5纳米.0.5纳米相当于0.0000005毫米，数据0.0000005用科学记数法可以表示为( )
A. 0.5×10−6B. 0.5×10−7C. 5×10−6D. 5×10−7
2.如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2 3− 3=2C. 2× 3= 6D. 12÷3=2
4.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1=45°，∠2=120°，则∠3+∠4=( )
A. 165°B. 155°C. 105°D. 90°
5.如图，已知点A(1,0)，B(4,m)，若将线段AB平移至CD，其中点C(−2,1)，D(a,n)，则m−n的值为( )
A. −3
B. −1
C. 1
D. 3
6.今年2月，某班准备从《在希望的田野上》、《我和我的祖国》、《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是( )
A. 12B. 13C. 23D. 1
7.如图，AC，BD相交于点O，AB//DC，M是AB的中点，MN//AC，交BD于点N，若DO：OB=1：2，AC=12，则MN的长为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
8.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx+k与反比例函数y=kx的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C=20°，∠BPC=70°，则∠ADC=( )
A. 70°
B. 60°
C. 50°
D. 40°
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①abc0x−m≤1有3个整数解，则实数m的取值范围是______．
14.如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为______cm．
15.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=58°，∠ACD=40°.若⊙O的半径为5，则弧CD的长为______．
16.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y= 3x− 3与x轴交于点A1，以OA1为边作正方形A1B1C1O，点C1在y轴上，延长C1B1交直线l于点A2，以C1A2为边作正方形A2B2C2C1，点C2在y轴上，以同样的方式依次作正方形A3B3C3C2，…，正方形A2023B2023C2023C2022，则点B2024的横坐标是______．
三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算： 3tan45°−(2023−π)0+|2 3−2|+(14)−1− 27．
18.(本小题5分)
先化简(a2a+1−a+1)÷a2−1a2+2a+1，再从不等式−20时x的取值范围；
(3)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ面积为3，求点P的坐标．
23.(本小题7分)
端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销.根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克.根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
24.(本小题10分)
如图，以AB为直径的⊙O上有两点E、F，BE=EF，过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，过C作CM平分∠ACD交AE于点M，交BE于点N．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求证：EM=EN；
(3)如果N是CM的中点，且AB=9 5，求EN的长．
25.(本小题10分)
如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下列问题：
(1)如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为______，数量关系为______．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC(点C、F重合除外)？并说明理由．
26.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当PDDB的值最大时，求点P的坐标及PDDB的最大值；
(3)过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：将0.0000005用科学记数法表示为5×10−7．
故选：D．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|0时，一次函数y=kx+k经过第一、二、三象限；反比例函数y=kx的图象在第一、三象限；②当k0时，一次函数y=kx+k经过第一、二、三象限；反比例函数y=kx的图象在第一、三象限；
②当k0，c0，
故④正确．
m(am+b)=am2+bm=am2−2am≥a−2a，
am2−2am≥−a，
即证：m2−2m+1≥0，
m2−2m+1=(m−1)2，
∴m为任意实数，m2−2m+1≥0恒成立．
故⑤正确．
综上②④⑤正确．
故选：C．
根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出abc的正负，可以判断①；将方程转化为函数与x轴的交点，利用已知交点和对称轴找出另一交点的范围，可以判断②；根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小，可以判断③；用a来表示改变函数解析式，根据图象，令x=−1，得到3a+c>0，即6a+2c>0，因为a>0，所以得出11a+2c>0，可以判断④；化简不等式，用a表示b，根据a>0及不等式的性质得到只含有m的不等式，解不等式即可判断⑤．
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，利用图象求出a、b、c的范围以及用特殊值法代入解析式中得到特殊的式子是解决问题关键．
11.【答案】2(x−1)2
【解析】解：2x2−4x+2，
=2(x2−2x+1)，
=2(x−1)2．
先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．
12.【答案】3
【解析】解：由题意可得，
口袋中红球的个数约为：12×50200=3(个)．
故答案为：3．
利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为14，根据概率公式即可求出答案．
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数．
13.【答案】−3≤m0，得：x>−5，
解不等式x−m≤1，得：x≤m+1，
∵不等式组有3个整数解，
∴不等式组的3个整数解为−4、−3、−2，
∴−2≤m+1y2，即反比例函数值小于一次函数值．
由图象可得，12y2的x的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x的取值范围；
(3)由题意，设P(p,−2p+9)且12≤p≤4，则Q(p,4p)，求得PQ=−2p+9−4p，根据三角形面积公式得到S△POQ=12(−2p+9−4p)⋅p=3，解得即可．
本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，
根据题意，得240x−4=240x+2，
解得x1=10，x2=−12(舍去)，
经检验，x1=10，x2=−12都是原分式方程的根，但x2=−12不合题意舍去，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
(2)设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，
根据题意，得(10+2)m+10(400−m)≤4600，
解得m≤300，
w=(20−12)m+(16−10)(400−m)=2m+2400，
∵2>0，
∴w随着m增大而增大，
当m=300时，w取得最大值，最大利润为2×300+2400=3000(元)，
答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
【解析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键．
(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列分式方程，求解即可；
(2)设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，根据该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，列一元一次不等式，求出m的取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定如何进货才能获得最大利润，并求出最大利润即可．
24.【答案】(1)证明：连接OE，如图：

∵BE=EF，
∴∠FAE=∠EAB，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠EAB，
∴∠FAE=∠AEO，
∴AF/​/OE，
∵CD⊥AF，
∴OE⊥CD，
∵OE是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)证明：如图：

由(1)知CD是⊙O的切线，
∴∠CEB=∠EAC(弦切角定理)，
∵CM平分∠ACD，
∴∠ECM=∠ACM，
∴∠CEB+∠ECM=∠EAC+∠ACM，
∴∠ENM=∠EMN，
∴EM=EN；
(3)解：如图：

由(2)知EM=EN，∠EMN=∠ENM，
∴∠EMN=∠BNC，
∵∠ECM=∠BCN，
∴△EMC∽△BNC，
∴EMBN=CEBC=CMCN，
∵N是CM的中点，
∴EMBN=CEBC=CMCN=2，
∴EM=2BN，CE=2BC，
∵∠BEC=∠EAB，∠BCE=∠ECA，
∴△BEC∽△EAC，
∴BEAE=CEAC=BCCE=12，
∴AE=2BE，
在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，
∴(2BE)2+BE2=(9 5)2，
∴BE=9，
∵EN=EM=2BN，
∴EN=23BE=6．
∴EN的长为6．
【解析】(1)连接OE，由BE=EF，得∠FAE=∠EAB，可得∠FAE=∠AEO，AF/​/OE，又CD⊥AF，故OE⊥CD，CD是⊙O的切线；
(2)由∠CEB=∠EAC(弦切角定理)，∠ECM=∠ACM，可得∠ENM=∠EMN，EM=EN；
(3)证明△EMC∽△BNC，可得EMBN=CEBC=CMCN=2，又△BEC∽△EAC，可得AE=2BE，在Rt△ABE中，(2BE)2+BE2=(9 5)2，求出BE=9，故EN=23BE=6．
本题考查切线的判定与性质，圆的性质及应用，涉及三角形相似的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
25.【答案】解：(1)①垂直，相等；
② 成立，理由如下：
∵∠FAD=∠BAC=90°
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD与△CAF中，
∵BA=CA∠BAD=∠CAFAD=AF
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，
∴∠BCF=90°，
∴CF⊥BD；
(2)当∠ACB=45°时可得CF⊥BC，理由如下：
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G，
则∠GAC=90°
∵∠ACB=45°，
∴∠AGC=∠ACG=45°，
∴AG=AC，
∵∠GAD=∠GAC−∠DAC=90°−∠DAC，∠FAC=∠FAD−∠DAC=90°−∠DAC，
∴∠GAD=∠CAF，
在△GAD和△CAF中，
AG=AC∠GAD=∠CAFAD=AF
∴△GAD≌△CAF(SAS)，
∴∠ACF=∠AGD=45°，
∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°，
∴CF⊥BC．
【解析】解：(1)①CF⊥BD，CF=BD，
故答案为：垂直，相等；
②见答案；
(2)见答案．
【分析】
(1)当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD.结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．
(2)当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由(1)①可知CF⊥BD．
本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，
∴9a−3b+c=0a+b+c=0c=3，
解得：a=−1b=−2c=3，
∴该抛物线的解析式为y=−x2−2x+3；
(2)设直线AC的解析式为y=kx+n，则−3k+n=0n=3，
解得：k=1n=3，
∴直线AC的解析式为y=x+3，
过点P作PE/​/x轴交直线AC于点E，如图，
设P(t,−t2−2t+3)，则E(−t2−2t,−t2−2t+3)，
∴PE=−t2−2t−t=−t2−3t，
∵A(−3,0)，B(1,0)，
∴AB=1−(−3)=4，
∵PE/​/x轴，
∴△EPD∽△ABD，
∴PDDB=PEAB，
∴PDDB=−t2−3t4=−14(t+32)2+916，
∵−14