广西壮族自治区桂林市2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份广西壮族自治区桂林市2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共18页。
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．
2．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
3．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
答案：B
解析：
详解：解：∵，
∴，，，
故选：B
2. 反比例函数的比例系数是（ ）
A. －3B. 3C. D.
答案：A
解析：
详解：反比例函数的比例系数是-3，
故选：A．
3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A. 1，2，3，4B. 2，4，3，5C. 4，8，5，10D. 3，9，4，7
答案：C
解析：
详解：A、∵，∴四条线段不成比例；
B、∵，∴四条线段不成比例；
C、∵，∴四条线段成比例；
D、∵，∴四条线段不成比例．
故选：C．
4. 甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别是，，，，这四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是( )
A. 甲团B. 乙团C. 丙团D. 丁团
答案：C
解析：
详解：∵，，，，
∴，
∵每个旅游团游客平均年龄都是35岁，
∴这四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是：丙团．
故选：C．
5. 如图，从点观测点的仰角是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，∴从点C观测点D的仰角是∠DCE．
故选B．
6. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横 线于，交点所在的平行横线于，
∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，
∴，
解得：，
故选：C．
7. 如图，在中，，，，则的值是（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：在中，，
故选：B．
8. 两个相似三角形相似比是，则其对应中线之比是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：∵两相似三角形的相似比为，
∴其对应中线之比是，
故选：B．
9. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
答案：A
解析：
详解：解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα=，
∴BC= sinαAB=12 sinα（米），
故选：A．
10. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的一元二次方程的根的情况是( )
A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
答案：C
解析：
详解：解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴．
∵关于的一元二次方程为，
∴，，．
∴．
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
11. 如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：∵，
∴
∵
∴
故选：C．
12. 如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是( )
A. B. 或C. D. 或
答案：A
解析：
详解：解：设运动时间为，
∵在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，
∴，，
∵的面积为，
∴，
解得：，，
∵点在上的运动时间为：，
∴，
∴不符合题意，
∴点运动时间为，的面积为，故正确，符合题意．
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡上）
13. 设，则_______．
答案：
解析：
详解：解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 一元二次方程的解是______．
答案：##
解析：
详解：解：
∴或，
解得：，
故答案为：．
15. 一个瓶子中装有一些豆子，从瓶子中取出50粒豆子，给这些豆子做记号，把这些豆子放回瓶子中，充分摇匀，从瓶子中再取出30粒豆子，其中有记号的有2粒，则瓶子中的豆子总数约为______粒．
答案：750
解析：
详解：解：根据题意可得记号豆子的比例：，
此时瓶中的豆子总粒数大约是：．
故答案为：750．
16. 已知是锐角，且，则的度数是________º.
答案：45
解析：
详解：由，
可得，=
故答案为45.
17. 为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，长的箭头在暗盒中所成像的长为______．
答案：##
解析：
详解：解：过点作于点延长交于点，
∴
由题意得
∴，
∴，，
∴即，
∴，
故答案为：．
18. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴交轴于点，交反比例函数的图象于点，若，则的值为______．
答案：
解析：
详解：解：如图：连接、，
∵轴
∴
∵，
∴
∴反比例函数中，．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8题，共72分，请将解答过程写在答题卡上）
19. 计算：．
答案：
解析：
详解：解：
．
20. 解一元二次方程：
答案：
解析：
详解：x2-6x+8=0，
左边因式分解得：（x-2）（x-4）=0，
x-2=0或x-4=0，
解得：x1=2，x2=4．
21. 如图，在中，，点在上，于点．
（1）求证：；
（2），且，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
小问1详解：
证明：于点，，
，
，
；
小问2详解：
解：，
，
，，，
，
．
22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使与的位似比为；
（2）求的长．
答案：（1）见解析；
（2）．
解析：
小问1详解：
解：如图所示：
小问2详解：
解：由图可知：，，
∴．
23. 王大伯承包了一个鱼塘，投放了条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：
（1）填空：这条鱼质量的中位数是______，众数是______．
（2）求这条鱼质量的平均数；
（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克元，请利用这个样本的平均数，估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？
答案：（1）这条鱼质量的中位数是，众数是，
（2）这条鱼质量的平均数为；
（3）王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入为元．
解析：
小问1详解：
解：这条鱼质量的中位数是第、个数据的平均数，且第、个数据分别为、，
这条鱼质量的中位数是（），众数是，
小问2详解：
解：（），
这条鱼质量的平均数为；
小问3详解：
解：（元），
答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入为元．
24. 第届亚运会于年月日在中国杭州举行，本届亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，三个吉祥物以机器人作为整体造型，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，既有深厚的文化底蕴又充满了时代活力．某商场在销售吉祥物徽章时发现，当每套徽章盈利元时，每天可售出套，在此基础上，如果销售单价每降价元，则平均每天可多销售套．
（1）当每套徽章盈利元时，每天可销售多少套？
（2）商场为了让更多人获得“江南忆”，进行让利销售，同时确保销售徽章的日盈利达到元，则每套吉祥物徽章可降价多少元销售？
答案：（1）每天可销售套．
（2）每套徽章降价元．
解析：
小问1详解：
解：（套）
答：当每套徽章盈利元时，每天可销售套．
小问2详解：
解：设每套吉祥物徽章降价元时，商场销售徽章日盈利可达到元，
根据题意得：，
整理得：，
解得，（负值舍去），
答：每套徽章降价元时，商场销售徽章日盈利可达到元．
25. 阅读与理解：
材料阅读：我们学习了一元一次方程后，类比一元一次方程的解法，知道了一元一次不等式的解法．现在，我们又学习了一元二次方程的解法，如何解一元二次不等式呢？
例：解不等式
解：由于一元二次方程有两个实数根，分别为，，
所以二次三项式可因式分解为：，
因此，原不等式可变形为，
根据乘法法则“同号得正，异号得负”可得
……①）或……②
分别解不等式组①和②，得：或．
从而原不等式解集为或．
问题解决：请仿照材料中不等式的解法，解答下列问题：
（1）将多项式在实数范围内因式分解；
（2）解不等式；
（3）解不等式．
答案：（1）；
（2）；
（3）或．
解析：
小问1详解：
解：由于一元二次方程有两个实数根，分别为，，
∴；
小问2详解：
解：∵，
∴，
∴由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，有
①或②
∴解不等式组①，得，
解不等式组②，得无解，
故原不等式的解集为，
即一元二次不等式的解集为．
小问3详解：
解：不等式化为，
令，
解得，，
∴，
∴由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
①或②
∴解不等式组①，得，
解不等式组②，得，
故原不等式的解集为或，
即不等式的解集为或．
26. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上任意一点，点是轴正半轴上的任意一点．
（1）若点是上任意一点，，试说明；
（2）在（1）的条件下，已知点的横坐标为，点的坐标，求点的坐标；
（3）若点的纵坐标为，点的坐标，上是否存在一点使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）见解析；
（2）点的坐标为；
（3）或．
解析：
小问1详解：
证明：∵，，
∴；
小问2详解：
解：点的横坐标为，点的坐标，
∴，，
把代入得，
∴，
∴，，
∴，
由（）得，
∴即，
解得，
过作于轴，
∵，
∴，，
∴点的坐标为；
小问3详解：
解：分别过点、作轴、轴于点、，
把代入得，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由得要使与相似，有或，
当时，，
∴，
解得，
∴，，
∴点的坐标为；
当时，，此时点、重合，
∴，
综上点的坐标为或时，与相似．