广西壮族自治区桂林市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份广西壮族自治区桂林市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
2．反比例函数的比例系数是（ ）
A．－3B．3C．D．
3．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1，2，3，4B．2，4，3，5C．4，8，5，10D．3，9，4，7
4．甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别是，，，，这四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是( )
A．甲团B．乙团C．丙团D．丁团
5．如图，从点观测点的仰角是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是( )
A．B．C．D．
7．如图，在中，，，，则的值是（ ）

A．B．C．D．
8．两个相似三角形的相似比是，则其对应中线之比是( )
A．B．C．D．
9．如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ）
A．米B．米C．米D．米
10．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的一元二次方程的根的情况是( )
A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
11．如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是( )
A．B．C．D．
12．如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是( )
A．B．或C．D．或
二、填空题
13．设，则 ．
14．一元二次方程的解是 ．
15．一个瓶子中装有一些豆子，从瓶子中取出50粒豆子，给这些豆子做记号，把这些豆子放回瓶子中，充分摇匀，从瓶子中再取出30粒豆子，其中有记号的有2粒，则瓶子中的豆子总数约为 粒．
16．已知是锐角，且，则的度数是 º.
17．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，长的箭头在暗盒中所成像的长为 ．
18．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴交轴于点，交反比例函数的图象于点，若，则的值为 ．
三、解答题
19．计算：．
20．解一元二次方程：
21．如图，在中，，点D在上，于点E，
(1)求证：；
(2)，且，求的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使与的位似比为；
(2)求的长．
23．王大伯承包了一个鱼塘，投放了条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：
(1)填空：这条鱼质量的中位数是______，众数是______．
(2)求这条鱼质量的平均数；
(3)经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克元，请利用这个样本的平均数，估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？
24．第届亚运会于年月日在中国杭州举行，本届亚运会吉样物组合名为“江南忆”，三个吉祥物以机器人作为整体造型，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，既有深厚的文化底蕴又充满了时代活力．某商场在销售吉祥物徽章时发现，当每套徽章盈利元时，每天可售出套，在此基础上，如果销售单价每降价元，则平均每天可多销售套．
(1)当每套徽章盈利元时，每天可销售多少套？
(2)商场为了让更多人获得“江南忆”，进行让利销售，同时确保销售徽章的日盈利达到元，则每套吉祥物徽章可降价多少元销售？
25．【阅读与理解】
【材料阅读】我们学习了一元一次方程后，类比一元一次方程的解法，知道了一元一次不等式的解法．现在，我们又学习了一元二次方程的解法，如何解一元二次不等式呢？
例：解不等式
解：由于一元二次方程有两个实数根，分别为，，
所以二次三项式可因式分解为：，
因此，原不等式可变形为，
根据乘法法则“同号得正，异号得负”可得
……①）或……②
分别解不等式组①和②，得：或．
从而原不等式的解集为或．
【问题解决】请仿照材料中不等式的解法，解答下列问题：
(1)将多项式在实数范围内因式分解；
(2)解不等式；
(3)解不等式．
26．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上任意一点，点是轴正半轴上的任意一点．
(1)若点是上任意一点，，试说明；
(2)在（1）的条件下，已知点的横坐标为，点的坐标，求点的坐标；
(3)若点的纵坐标为，点的坐标，上是否存在一点使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】根据一元二次方程的一般形式判断，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，，
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式确定系数，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
2．A
【分析】根据反比例函数的定义得出答案．
【详解】反比例函数的比例系数是-3，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，注意：形如（k为常数，k≠0）的函数，叫反比例函数，其中k叫做函数的系数．
3．C
【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案，最小数和最大数相乘，另外两数相乘，看它们的积是否相等是解题的关键．
【详解】A、∵，∴四条线段不成比例；
B、∵，∴四条线段不成比例；
C、∵，∴四条线段成比例；
D、∵，∴四条线段不成比例．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】∵，，，，
∴，
∵每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，
∴这四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是：丙团．
故选：C．
5．B
【分析】根据仰角的定义解答即可．
【详解】∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，∴从点C观测点D的仰角是∠DCE．
故选B．
【点睛】本题考查了仰角的识别，熟记仰角的定义是解题的关键．仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
6．C
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段 成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横 线于，交点所在的平行横线于，
∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，
∴，
解得：，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查锐角三角形函知识，熟练掌握余弦的定义是解题关键．在中，，的余弦是它的邻边比三角形的斜边，据此即可获得答案．
【详解】解：在中，，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据“相似三角形的面积的比等于相似比的平方”即可求得．
【详解】解：∵两相似三角形的相似比为，
∴其对应中线之比是，
故选：B．
9．A
【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解．
【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα=，
∴BC= sinαAB=12 sinα（米），
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查一元二次方程的判别式，反比例函数的图象和性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．根据反比例函数的图象与性质确定，进而确定一元二次方程的判别式，即可得出方程的根的情况．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴．
∵关于的一元二次方程为，
∴，，．
∴．
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
11．C
【分析】本题考查了线段的黄金分割点的概念，根据概念表示出比例式，再结合正方形和矩形的面积进行分析计算．据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∵
∴
故选：C．
12．A
【分析】本题主要考查了动点问题，三角形的面积公式，解一元二次方程组，设运动时间为，根据题意列出关于的方程，是解题的关键．设运动时间为，则，，根据三角形面积公式列出关于的方程，解方程即可．
【详解】解：设运动时间为，
∵在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，
∴，，
∵的面积为，
∴，
解得：，，
∵点在上的运动时间为：，
∴，
∴不符合题意，
∴点的运动时间为，的面积为，故正确，符合题意．
故选：A．
13．
【分析】本题考查比例性质，直接根据比例性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．/
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：
∴或，
解得：，
故答案为：．
15．750
【分析】本题主要考查了应用抽样调查的方法计算总数，掌握样本概率估计总体概率是解题的关键．首先计算出记号豆子占所有记号豆子的比例，再用取出的豆子数除以记号豆子的比例即可求出．
【详解】解：根据题意可得记号豆子的比例：，
此时瓶中的豆子总粒数大约是：．
故答案为：750．
16．45
【分析】根据特殊锐角三角函数值可推出角的度数.
【详解】由，
可得，=
故答案为45.
【点睛】熟记特殊锐角三角函数值.
17．/
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
【详解】解：过点作于点延长交于点，
∴
由题意得
∴，
∴，，
∴即，
∴，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了反比例函数中系数的几何意义，熟练掌握和运用反比例函数中系数的几何意义是解决本题的关键．连接、，根据反比例函数中系数的几何意义，利用从而求得可得结果．
【详解】解：如图：连接、，
∵轴
∴
∵，
∴
∴反比例函数中，．
故答案为：．
19．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质、二次根式的性质的性质分别代入化简即可．
【详解】解：
．
【点睛】此题主要考查了实数运算、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质、二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
20．
【分析】运用因式分解法求解即可．
【详解】x2-6x+8=0，
左边因式分解得：（x-2）（x-4）=0，
x-2=0或x-4=0，
解得：x1=2，x2=4．
【点睛】利用分解因式的方法来解一元二次方程的步骤为：把方程右边移项为0，左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式至少有一个为0化为两个一元一次方程，进而确定出原方程的解．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据即可求证；
（2）根据相似三角形的性质可得，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵
（2）解：∵
∴
即：
∴
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．熟记相关定理内容是进行几何推导的关键．
22．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查位似图形作图及勾股定理．抓住位似比是解题关键．
（）由题意可知，分别为的中点，据此可确定的坐标，即可完成作图；
（）根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：由图可知：，，
∴．
23．(1)这条鱼质量的中位数是，众数是，
(2)这条鱼质量的平均数为；
(3)王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入为元．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解可得；
（2）利用加权平均数的定义求解可得；
（3）用单价乘以（2）中所得平均数，再乘以存活的数量，从而得出答案．
【详解】（1）解：这条鱼质量的中位数是第、个数据的平均数，且第、个数据分别为、，
这条鱼质量的中位数是（），众数是，
（2）解：（），
这条鱼质量的平均数为；
（3）解：（元），
答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入为元．
【点睛】本题考查了用样本估计总体、加权平均数、众数及中位数的知识，掌握用样本估计总体、加权平均数、众数及中位数，正确的用公式求得加权平均数是解题的关键．
24．(1)每天可销售套．
(2)每套徽章降价元．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和算式是解题的关键．
（）用降价的钱数乘以后再加上即可得到答案；
（）根据利润单件利润销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解：（套）
答：当每套徽章盈利元时，每天可销售套．
（2）解：设每套吉祥物徽章降价元时，商场销售徽章日盈利可达到元，
根据题意得：，
整理得：，
解得，（负值舍去），
答：每套徽章降价元时，商场销售徽章日盈利可达到元．
25．(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】此题考查一元二次方程的求解，一元一次不等式组的应用及因式分解等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
（1）由一元二次方程有两个实数根为，，即可得解；
（2）根据题意可得两个不等式组∶ 或，解不等式即可求解；
（3）根据题意可得两个不等式组∶ 或，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：由于一元二次方程有两个实数根，分别为，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，有
①或②
∴解不等式组①，得，
解不等式组②，得无解，
故原不等式的解集为，
即一元二次不等式的解集为．
（3）解：不等式化为，
令，
解得，，
∴，
∴由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
①或②
∴解不等式组①，得，
解不等式组②，得，
故原不等式的解集为或，
即不等式的解集为或．
26．(1)见解析；
(2)点的坐标为；
(3)或．
【分析】（1）直接利用相似三角形的判定判断即可得证；
（2）把代入得，进而得，，于是可得，再由相似三角形的性质得，解得，过作于轴，分别求出和的长即可得解；
（3）分别过点、作轴、轴于点、，把代入得，解得，利用勾股定理及三角形函数得，，进而由，分和两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：点的横坐标为，点的坐标，
∴，，
把代入得，
∴，
∴，，
∴，
由（）得，
∴即，
解得，
过作于轴，
∵，
∴，，
∴点的坐标为；
（3）解：分别过点、作轴、轴于点、，
把代入得，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由得要使与相似，有或，
当时，，
∴，
解得，
∴，，
∴点的坐标为；
当时，，此时点、重合，
∴，
综上点的坐标为或时，与相似．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及解直角三角形是解题的关键．