2024年东营市广饶县九年级中考数学二模试题 （原卷版+解析版）

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二〇二四年东营市初中学业水平模拟考试
数学试题
（总分120分 考试时间120分钟）
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共6页．
2．数学试题答题卡共8页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回．
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用碳素笔答在答题卡的相应位置上．
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1. 绝对值是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义，数轴上的数离开原点之间的距离叫做这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可得出结果．
【详解】解：，
的绝对值是3，
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方法则进行判断即可．
【详解】解：A.，原式计算错误；
B. ，原式计算错误；
C. ，计算正确；
D. ，原式计算错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则，牢记乘法公式是解题的关键．
3. 将一把直尺和一块直角三角板按照如图所示放置，直尺的一边经过顶点．其中，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系，利用平行线的性质得出，再根据角的和差关系即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选B．
4. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用中心对称图形的定义直接判断．
【详解】解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B选项的图形绕着某点旋转180°后能与原来的图形重合，
故选B．
【点睛】本题考查中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
5. 某学校开设了劳动教育课程，小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算即可；掌握概率的求法是解题的关键．
【详解】解：选择“种植”“烹饪”“陶艺”“木工” 共有中结果，“烹饪”有中结果，
；
故选：C．
6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可．
【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴=0，
∴，
解得，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．
7. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）

A. B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，
依题意得：
解得：，（不合题意，舍去），
∴小路宽为．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8. 一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得底面周长，进而即可求得底面的半径长．
【详解】圆锥的底面周长是：π；
设圆锥的底面半径是r，则2πr=π．
解得：r=．
故选B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
9. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过A点作AH⊥BC于H，利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，BH=CH=AH= BC=2，分类讨论：当0≤x≤2时，如图1，易得PD=BD=x，根据三角形面积公式得到y=x2；当2＜x≤4时，如图2，易得PD=CD=4-x，根据三角形面积公式得到y=-x2+2x，于是可判断当0≤x≤2时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当2＜x≤4时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=BC=2，
当0≤x≤2时，如图1，∵∠B=45°，
∴PD=BD=x，
∴y=•x•x=；
当2＜x≤4时，如图2，∵∠C=45°，
∴PD=CD=4﹣x，
∴y=•（4﹣x）•x=，
故选B．
10. 如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．下列正确的选项是（ ）
A. ①②④B. ①③C. ①②③D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】过作，过作于，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，，由此推出，故③正确；进而求得，故②错误；当时，点与点重合，则，，得到不一定等于，故④错误．
【详解】解：过作，过作于，如图所示，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，故①正确；
∴，
∵四边形是正方形
∴，
∴
在和中
∴
∴，，
∵
∴，故③正确；
∴，故②错误；
当时，点与点重合，则，，
∴不一定等于，故④错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．
11. 截至去年6月11日17时，全国冬小麦收获亿亩，进度过七成半，将亿用科学记数法表示应为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：亿，
故答案为：．
12. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解．
13. 某青年排球队有12名队员，年龄的情况如下表：
则这12名队员年龄的中位数是______岁．
【答案】19
【解析】
【分析】根据中位数的定义，求出第6名队员和第7名队员年龄的平均数即可．
【详解】解：∵，
∴第6名队员和第7名队员年龄均为19岁，
∴这12名队员年龄的中位数是19岁，
故答案为：19．
【点睛】本题主要考查了求中位数，解题的关键是掌握中位数的定义，奇数个数据的中位数是最中间的一个数据，偶数个数据的中位数是最中间两个数据的平均数．
14. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为___________．

【答案】
【解析】
【分析】连接交于一点F，连接，根据正方形的对称性得到此时最小，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，连接交于一点F，连接，
∵四边形是正方形，
∴点A与点C关于对称，
∴，
∴，此时最小，
∵正方形的边长为4，
∴，
∵点E在上，且，
∴，即的最小值为
故答案为：．
【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键．
15. 若关于的分式方程无解，则的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】此题考查了分式方程的无解问题，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值．
【详解】解：∵，
去分母，得：，
∵分式方程无解，
∴，
解得：，
把代入，则
，
解得：；
故答案为：．
16. 《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？如图，该直径等于______步（注：“步”为长度单位）．
【答案】6
【解析】
【分析】此题考查了三角形的内切圆、勾股定理，切线长定理，
如图，连接，可知四边形为正方形，设半径为，根据切线长定理列方程求解即可．
【详解】解：连接，如下图：
由题意可得、、与相切，，，
∴，，
∴四边形为矩形，，
又∵，
∴矩形为正方形，
设半径为，则，
∴，，
∴，
解得，
∴圆的直径为步，
故答案为：6．
17. 如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：

∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
18. 在直角坐标系中，点从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：，，，，，，则的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点坐标的位置及坐标变化规律的知识点，善于观察并寻找题目中蕴含的规律是解题的关键．
根据题意可得在第二象限内，然后根据第二象限内点，，的坐标特点求解即可．
【详解】解：根据题意得：从点开始点所到达的位置4个一循环，
∵，
∴在第二象限内，
根据题意得：在第二象限的点为，，，……，
∴的横坐标为，纵坐标为，
∴的坐标为．
故答案为：．
三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，分母有理化，求特殊角三角函数值：
（1）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂和立方根，最后计算加减法即可；
（2）先把三个分式通分，然后分子去括号后合并同类项，再约分化简，最后代值计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
，
当时，原式．
20. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______；
（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；
（3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人；
（4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
【答案】（1）50，7
（2）条形统计图见解析，
（3）该校学生答题成绩为A等和B等共有672人
（4）
【解析】
【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值；
（2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数；
（3）用全校人数乘以成绩为A等级和B等级人数所占百分比，即可求解；
（4）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：（人），
，
故答案为：50，7；
【小问2详解】
解：成绩为C等级人数所占百分比：，
∴C等级所在扇形圆心角的度数：，
成绩为A等级的人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
【小问3详解】
解：（人），
答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人；
【小问4详解】
解：根据题意，列出表格如下：
由表可知，一共有12种情况，抽出的两名学生恰好是甲和丁的有2种情况，
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
【点睛】题目主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键．
21. 如图，我国航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，且与航母相距海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离的长．
【答案】的距离是海里
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形应用—方位角．熟练掌握解三角函数的定义是解题的关键．
如图，过点作于点，由题意得，，在Rt中，，在Rt中，，计算求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
由题意得，，
在Rt中，，
在Rt中，，
∴的距离是海里．
22. 如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．

（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的半径长．
【答案】（1）见解析 （2）的半径长为．
【解析】
【分析】（1）连接，证明，即可证得，从而证得是圆的切线；
（2）设，则，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性质列得比例式，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，如下图所示，

∵是的平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又∵过半径的外端点B，
∴与相切；
【小问2详解】
解：设，则，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
故的半径长为．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键．
23. 某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
【答案】（1）该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；（2）至少再增加2个销售点．
【解析】
【分析】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可进行求解；
（2）设至少再增加y个销售点，根据题意列出不等式即可求解.
【详解】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，
根据题意得，，
解得：，（不合题意舍去），
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；
（2）3.6×（1+20%）=4.32万（kg），
4.32÷0.32=13.5（个），即六月份应至少14个，
3.6÷0.32=11.25（个），即五月份销售点应为12个
则需增加14-12=2（个），
故至少再增加2个销售点．
【点睛】此题主要考查一元二次方程与不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系.
24. 如图1，在四边形中，，，，连接．求证：．
（1）【思维探究】小明的思路是：延长到点，使，连接．根据，推得，从而得到，然后证明，从而可证，请你帮助小明写出完整的证明过程．
（2）【思维延伸】如图2，四边形中，，，连接，猜想，之间的数量关系，并说明理由．
（3）【思维拓展】在四边形中，，，与相交于点．若四边形中有一个内角是，请直接写出线段的长．
【答案】（1）；理由见详解；
（2）；理由见详解；
（3）或
【解析】
【分析】（1）如图1中，延长到点，使，连接．证明，推出，，推出的等边三角形，可得结论；
（2）结论：，如图2中，过点作于点，交的延长线于点．证明，推出，，证明，推出，可得结论；
（3）分两种情形：如图中，当时，过点作于点，于点．如图中，当时，分别求解即可．
【小问1详解】
证明：如图1中，延长到点，使，连接．

∵，
∴，
∵
∴，
和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴的等边三角形，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：结论：．
理由：如图2中，过点作于点，交的延长线于点．

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴
【小问3详解】
解：如图3-1中，当时，过点作于点，于点．

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
如图3-2中，当∠时，

同法可证，，
综上所述，满足条件的的长为或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25. 如图，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是第四象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，若，求出点的坐标．
（3）为拋物线上一动点，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请直接写出两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）点的坐标为；
（3）存在，或、．
【解析】
【分析】（）利用交点式假设出抛物线的解析式为 ，把代入计算即可求解；
（）利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，，求出，，由得，即，解之即可求解；
（）设与的交点为，由菱形的性质得点为和的中点，，设，由勾股定理得，即有，解得或，设点的坐标为，再利用中点坐标公式即可求出点的坐标．
【小问1详解】
解：设抛物线为
经过两点，
，
把代入得，，
∴，
抛物线的解析式为，
即；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，
把、代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
设，则，，
∴，，
，
，
，
解得(不合，舍去)，，
点的坐标为；
【小问3详解】
解：存在点，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形．
如图，设与的交点为，
∵四边形为菱形，
∴点为和的中点，，
∵，，
∴，
∵点为拋物线上一动点，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得，，
∴或，
∴或，
设点的坐标为，
当点的坐标为时，有，，
∴，，
∴；
当点的坐标为时，有，，
∴，，
∴；
综上，存在或、，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数几何应用，菱形的性质，平面直角坐标系两点间距离公式，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键．年龄/岁
18
19
20
21
22
人数
3
5
2
1
1
第一名第二名
甲
乙
丙
丁
甲
甲乙
甲丙
甲丁
乙
乙甲
乙丙
乙丁
丙
丙甲
丙乙
丙丁
丁
丁甲
丁乙
丁丙