专题04 高等数学定理背景命题（六大题型）-2024年新高考数学突破新定义压轴题综合讲义

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题04高等数学定理背景命题
【题型归纳目录】
题型一：泰勒公式
题型二：极大值点的第二充分条件定理
题型三：帕德逼近
题型四：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
题型五：伯努利、琴生不等式
题型六：微积分、洛必达
【方法技巧与总结】
1、泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
2、【极值点第二充分条件】已知函数在处二阶可导，且
（1）若，则在处取得极小值；
（2）若，则在处取得极大值．
3、帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）．
4、拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得.
5、罗尔定理描述如下：如果 上的函数满足以下条件：①在闭区间上连续，②在开区间内可导，③，则至少存在一个，使得．
6、微积分
知识卡片1：一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作即．这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式．从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积．
知识卡片2：一般地；如果是区间上的连续函数，并且，那么．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．
知识卡片3：在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
7、伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立．
8、设连续函数的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为凸函数．若是区间上的凹函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时等号成立）．
【典型例题】
题型一：泰勒公式
【典例1-1】（2024·湖北·一模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明；
(3)设，证明：．
【解析】（1）令，则，，，，
故，，，，，
由麦克劳林公式可得，
故.
（2）结论：，
证明如下：
令，
令，
故在上单调递增，，
故在上单调递增，，
即证得，即．
（3）由（2）可得当时，，且由得，
当且仅当时取等号，故当时，，
，
而
，
即有
故
而，
即证得.
【典例1-2】（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题．
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围．
【解析】（1）设，则.
当时，：当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因此，，即.
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即.
（3），则
，设，
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立．
所以当时，，所以在上单调递增．
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增．
因此，是的极小值点．
下面证明：当时，不是的极小值点．
当时，，
又因为是上的偶函数，且在上单调递增,
所以当时，.
因此，在上单调递减．
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减．
因此，是的极大值点，不是的极小值点．
综上，实数的取值范围是.
【变式1-1】（2024·高一·四川成都·期末）已知函数的最小值为．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)英国数学家泰勒（B．Taylr，1685-1731）发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：（结果精确到小数点后4位，参考数据：，）
【解析】（1）
，
所以，即，
所以，
令，，
即，，
所以函数的单调递减区间，．
（2）由（1）知，
所以，
由泰勒公式得：，
所以．
题型二：极大值点的第二充分条件定理
【典例2-1】（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心．
(1)若函数，求函数图象的对称中心；
(2)已知函数，其中.
（ⅰ）求的拐点；
（ⅱ）若，求证：.
【解析】（1）因为，所以，
所以．令，解得，又，
所以函数的“拐点”为，
所以函数图象的对称中心为.
（2）（ⅰ）因为，，
所以，
，且，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，又，
由零点存在性定理知，有唯一的零点，
所，且，当时，，
所以的拐点为.
（ⅱ）证明：由（i）可知，在上单调递增，，
∴当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
又，
∴在上恒成立，∴在上单调递增，
又，，
所以.
【典例2-2】（2024·高二·广东东莞·阶段练习）记，为的导函数．若对，，则称函数为D上的“凸函数”．已知函数，.
(1)若函数为上的凸函数，求a的取值范围；
(2)若函数在上有极值，求a的取值范围．
【解析】（1）由，得，，
由于函数为上的凸函数，故，
即，令，则，
当时，；当时，；
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
故，
故a的取值范围为；
（2）由，得，
函数在上有极值，即在上有变号零点，
即在上有解，
令，
令，则，
即在上单调递增，
且当x无限趋近于1时，无限接近于-1，，
故存在，使得，
且时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，由于，
故，，
而在时单调递减，故，
故，即a的取值范围为.
【变式2-1】（2024·上海普陀·一模）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．
①在上的导数存在；
②在上的导数存在，且（其中）恒成立．
(1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．
(2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
【解析】（1）令，，
则，，
，，
当时，恒成立，
∴函数在区间上具有性质；
（2）∵，
∴，
∵在处取得极值，且为奇函数，
∴在处也取得极值，
∴，解得，
∴， ，
当时，令，解得；令，解得；
故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值，
∴，
当时，恒成立，
∴存在实数，使在区间上恒成立，
∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是；
（3）∵，
∴，
令，
则，
令，
则，
当时，，在区间上单调递增，
又∵，，
∴存在，使，
∴当时，，，在区间上单调递减，
当时，，，在区间上单调递增，
∴当时，的最小值为，
由，有，
∴，
∵，∴，
又∵恒成立，
∴，
∵且，
∴的最大值为.
题型三：帕德逼近
【典例3-1】（2024·山东菏泽·一模）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）已知在处的阶帕德近似为．
(1)求实数a，b的值；
(2)比较与的大小；
(3)若在上存在极值，求的取值范围．
【解析】（1）由，，有，
可知，，，，
由题意，，，所以，所以，．
（2）由（1）知，，令，
则，
所以在其定义域内为增函数，又，
时，；时，；
所以时，；时，．
（3）由，
．
由在上存在极值，所以在上存在变号零点．
令，则，．
①时，，为减函数，，在上为减函数，，无零点，不满足条件．
②当，即时，，为增函数，，在上为增函数，，无零点，不满足条件．
③当，即时，令即，．
当时，，为减函数；时，，为增函数，
；
令，，，在时恒成立，
在上单调递增，，恒成立；
，，，则，，
；
，
令，
令，，
则在是单调递减，，所以，
，
令，则，，．
，即．
由零点存在定理可知，在上存在唯一零点，
又由③知，当时，，为减函数，，
所以此时，，在内无零点，
在上存在变号零点，综上所述实数m的取值范围为．
【典例3-2】（2024·高二·山东济南·期中）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：
(1)求实数，的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中．
【解析】（1）因为，所以，，
，则，，
由题意知，，，
所以，解得，.
（2）由（1）知，即证，
令，则且，
即证时，
记，，
则，
所以在上单调递增，在上单调递增，
当时，即，即成立，
当时，即，即成立，
综上可得时，
所以成立，即成立．
（3）由题意知，欲使得不等式成立，
则至少有，即或，
首先考虑，该不等式等价于，即，
又由（2）知成立，
所以使得成立的的取值范围是，
再考虑，该不等式等价于，
记，，
则，所以当时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，，
所以，，
当时由，可知成立，
当时由，可知不成立，
所以使得成立的的取值范围是，
综上可得不等式的解集为.
【变式3-1】（2024·高三·重庆·阶段练习）帕德近似（Pade apprximatin）是有理函数逼近的一种方法．已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…．又函数，其中.
(1)求实数，，的值；
(2)若函数的图象与轴交于，两点，，且恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1），，
则，所以，，
，则，，
由题意知，，，
所以，解得，，
故，，.
（2）由（1）可知，函数定义域为，，
，时，；时，，
在上单调递增，在上单调递减．
函数的图像与轴交于两点，，，
，即，
令，则，，
时，；时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，使，
即，，
当时，，当时，.
，，.
，，
，，
，，
令，则恒成立．
令，则，
，
令，
则在上单调递减，，
在上单调递减，则，
即，在上单调递减，
当时．.
，故.
所以实数的取值范围为.
题型四：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
【典例4-1】（2024·高一·四川内江·阶段练习）已知函数．
(1)当，且时，求的值;
(2)若存在区间（为函数定义域），使在区间上的值域也为，则称为上的精彩函数，为函数的精彩区间．求是否存在精彩区间?如不存在，说明理由;
(3)若存在实数使得函数的定义域为时，值域为，则称区间为的一个“罗尔”区间．已知函数存在“罗尔”区间，求实数的范围．
【解析】（1）∵由已知可得，
∴在上为减函数，在上为增函数，
由且，可得且，得．
（2）若存在满足条件的实数a、b，则．
当时，在上为减函数，
故，即，解得，故此时不存在符合条件的实数a、b．
当时，在上是增函数，
故，即，又．
此时，a、b是方程的根，此方程无实根，故此时不存在符合条件的实数a、b．
当时，
由于，而，故此时不存在符合条件的实数a、b．
综上可知，不存在符合条件的实数a、b．
（3）若存在实数，使得函数的定义域为时，值域为，且．
①当时，由于在上是减函数，故，
此时得，得与条件矛盾，所以a、b不存在．
②当，时，，，所以a、b不存在．
③故只有a，．
∵在上是增函数，∴，即
又，故a、b是方程的两个不等根．
即关于x的方程有两个大于1的不等实根．
设这两个根为、，则，．
∴，即，解得．
综上，m的范围是．
【典例4-2】（2024·高三·全国·专题练习）拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得．证明不等式：．
【解析】证明：设，，则符合拉格朗日中值定理的条件，
即存在，使，
因为，由，，
可知，，，
即，
可得，
即有，
令，可得，
即有．
【变式4-1】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得．已知函数，求实数的最大值
A．1B．C．D．0
【答案】C
【解析】由题意得，，不妨设，
则存在，使得，
又，故，
其中，
故，
由于，
令，，
则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，，
故实数的最大值为.
故选：C
【变式4-2】（2024·安徽六安·模拟预测）罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日中值定理、柯西中值定理．罗尔定理描述如下：如果 上的函数满足以下条件：①在闭区间上连续，②在开区间内可导，③，则至少存在一个，使得．据此，解决以下问题：
(1)证明方程在内至少有一个实根，其中；
(2)已知函数在区间内有零点，求的取值范围．
【解析】（1）设，
则，
所以函数在上连续，在区间上可导，
又，故，
所以由罗尔中值定理可得至少存在一个，使得，
所以，
所以方程在内至少有一个实根，
（2）因为函数在区间内有零点，
不妨设其零点为，则，，
由可得，
所以函数在上连续，在上可导，
又，，
由罗尔中值定理可得至少存在一个，使得，
因为函数在上连续，在上可导，
又，，
由罗尔中值定理可得至少存在一个，使得，
所以方程在上至少有两个不等的实数根，
设，
则，
当时，，函数在上单调递增，
所以方程在上至多有一个根，矛盾，
当时，，函数在上单调递减，
所以方程在上至多有一个根，矛盾，
当时，由，可得，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取最小值，
又，
所以，
又，，
由零点存在性定理可得，，
所以，，又，
所以，
所以的取值范围．
题型五：伯努利、琴生不等式
【典例5-1】（2024·高三·贵州·阶段练习）伯努利不等式又称贝努力不等式，由著名数学家伯努利发现并提出． 伯努利不等式在证明数列极限、函数的单调性以及在其他不等式的证明等方面都有着极其广泛的应用． 伯努利不等式的一种常见形式为：
当，时，，当且仅当或时取等号．
(1)假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为，以此增长率为依据，试判断6年后该地区人口的估计值是否能超过107万？
(2)数学上常用表示，，，的乘积，，.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）已知直线与函数的图象在坐标原点处相切，数列满足：，，证明：.
【解析】（1）依题意，年后该地区人口的估计值为万人，
由伯努利不等式可得，
所以年后该地区人口的估计值能超过万．
（2）（ⅰ）根据伯努利不等式可知，
所以
，
所以.
（ⅱ）由，则，所以，
又直线与函数的图象在坐标原点处相切，
所以直线的斜率为，且过点，
所以直线的方程为，
所以，则
，
所以，
由（ⅰ）可知，所以，
又因为，
即，
所以，
所以.
【典例5-2】（2024·高一·江苏苏州·期末）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线．年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数．当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.
(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值；
①；
②；
③.
(2)求证：，.
【解析】（1）证明：选①，；
选②，；
选③，.
，令，
因为函数、均为上的增函数，故函数也为上的增函数，
故，则，所以，
所以，当且仅当时取“”，
所以的最小值为.
（2）证明：，
，
当时，，，所以，
所以，所以成立；
当时，则，且正弦函数在上为增函数，
，所以，，
所以成立，
综上，，.
【变式5-1】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）设连续函数的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为凸函数．若是区间上的凹函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时等号成立）．
(1)证明：在上为凹函数；
(2)设，且，求的最小值；
(3)设为大于或等于1的实数，证明：．（提示：可设）
【解析】（1）设，
则
，
所以在上为凹函数．
（2）令，由（1）知在上为凹函数，所以函数在上也为凹函数．
由琴生不等式，得，
即，
所以，当且仅当时取等号，
故的最小值为.
（3）设，因为，所以，
要证，只需证，
由琴生不等式，只需证在上为凹函数．
设，则，
下证，即证，
即证，
化简得，
即证
又式显然成立，
所以成立，在上为凹函数，
则得证．
题型六：微积分、洛必达
【典例6-1】（2024·湖北·二模）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：．
(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；
(2)已知函数，其中．
①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合；
②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）
在曲线取一点．
过点作的切线分别交于，
因为，
可得，即．
（2）①由函数，可得，
不妨设，曲线在处的切线方程为
，即
同理曲线在处的切线方程为，
假设与重合，则，
代入化简可得，
两式消去，可得，整理得，
由（1）的结论知，与上式矛盾
即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合．
②当时，不等式恒成立，
所以在恒成立，所以，
下证：当时，恒成立．
因为，所以
设
（i）当时，由知恒成立，
即在为增函数，所以成立；
（ii）当时，设，可得，
由知恒成立，即在为增函数．
所以，即在为减函数，所以成立，
综上所述，实数的取值范围是
【典例6-2】（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数．
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)证明：，.
【解析】（1）设，
由于，
所以不成立，
故不是区间上的2阶无穷递降函数．
（2）设，则，
设，
则，
所以，得.
（3）令，则原不等式等价于，
即证，
记，则，
所以，
即有对任意，均有，
所以，
因为，
所以，
所以，证毕!
【过关测试】
1．（2024·湖南永州·三模）已知函数，.
(1)若是函数的极小值点，讨论在区间上的零点个数．
(2)英国数学家泰勒发现了如下公式：
这个公式被编入计算工具，计算足够多的项时就可以确保显示值的精确性．
现已知，
利用上述知识，试求的值．
【解析】（1）由题意得：，
因为为函数的极值点，
所以，，
知：，，
，
（i）当时，
由，，，，得，
所以在上单调递减，，
所以在区间上不存在零点；
（ii）当时，设，
则.
①若，令，
则，
所以在上单调递减，
因为，，
所以存在，满足，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
②若，令，，
则，所以在区间上单调递减，
所以，
又因为，
所以，在上单调递减；
③若，则，在上单调递减．
由（a）（b）（c）得，在上单调递增，在单调递减，
因为，，
所以存在使得，
所以，当时，，在上单调递增，，
当时，，在上单调递减，
因为，，
所以在区间上有且只有一个零点．
综上，在区间上的零点个数为个；
（2）因为，（*）
对，
两边求导得：，
，
所以，（**）
比较（*）（**）式中的系数，得
所以.
2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为．根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
(2)比较（1）中与的大小．
(3)证明：.
【解析】（1），，，
，，，
，即；
同理可得：；
（2）由（1）知：，，
令，则，
，，
在上单调递增，又，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
综上所述：当时，；当时，；当时，；
（3）令，则，
，在上单调递增，
又，在上单调递减，在上单调递增，
，即；
在点处的阶泰勒展开式为：，
，当且仅当时取等号，
①当时，由（2）可知，，当且仅当时取等号，所以；
②当时，设，，
，，
当，由（2）可知，所以，
，即有；
当时，，
所以，时，单调递减，从而，即．
综上所述：.
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式．
(1)分别求，，在处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：．（其中为虚数单位）；
(3)若，恒成立，求a的范围．（参考数据）
【解析】（1）因为函数在处的泰勒展开式为（其中表示的n次导数），
所以，，在处的泰勒展开式分别为：
，
，
；
（2）证明：把在处的泰勒展开式中的替换为，可得
，
所以，即；
（3）由在处的泰勒展开式，先证，
令，
，易知，所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，
再令，，易得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
而，
所以 恒成立，
当时， ，所以成立，
当时，令，，易求得，
所以必存在一个区间，使得在上单调递减，
所以时，，不符合题意．
综上所述，.
4．（2024·高一·江苏·课时练习）计算器是如何计算，，，，等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如
，
，
其中.
英国数学家泰勒（B．Taylr，1685―1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得到的和的值也就越精确．例如，我们用前三项计算，就得到.
像这些公式已被编入计算器内，计算器利用足够多的项就可确保其显示值是精确的．
试用你的计算器计算，并与上述结果进行比较．
【解析】用计算器计算得，
和数值比较发现，
通过计算的答案只能精确到小数点后第3位．
5．（2024·高一·福建福州·期末）英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.
(1)证明：当时，；
(2)设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”．
（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；
（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由已知当时，，
得，
所以当时，.
（2）（i）时，假设存在，则由知，注意到，
故，所以在单调递增，
于是，即是方程的两个不等实根，
易知不是方程的根，
由已知，当时，，令，则有时，，即，
故方程只有一个实根0，故不存在“和谐区间”．
（ii）时，假设存在，则由知
若，则由，知，与值域是矛盾，
故不存在“和谐区间”，
同理，时，也不存在，
下面讨论，
若，则，故最小值为，于是，
所以，
所以最大值为2，故，此时的定义域为，值域为，符合题意．
若，当时，同理可得，舍去，
当时，在上单调递减，所以
，于是，
若即，则，故，
与矛盾；
若，同理，矛盾，
所以，即，
由（1）知当时，，
因为，所以，从而，，从而，矛盾，
综上所述，有唯一的“和谐区间”.
6．（2024·湖南邵阳·三模）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数拐点．已知.
（1）求证：函数的拐点在直线上；
（2）时，讨论的极值点的个数．
【解析】（1），
，
，
，．
而．
点，在直线上．
（2）令，得，
作出函数，与函数的草图如下所示：
由图可知，
当或时，无极值点；
当时，有一个极值点；
当或时，有两个极值点．
7．（2024·甘肃·二模）已知函数（且为常数）．
（1）当时，讨论函数在的单调性；
（2）设可求导数，且它的导函数仍可求导数，则再次求导所得函数称为原函数的二阶函数，记为，利用二阶导函数可以判断一个函数的凹凸性．一个二阶可导的函数在区间上是凸函数的充要条件是这个函数在的二阶导函数非负．
若在不是凸函数，求的取值范围．
【解析】(1) 令 得
设 则
当时，，在上是单调增函数，
故而，是在内的唯一零点，即是在内的唯一零点．
所以当时，，即在上是单调减函数;
当时，，即在上是单调增函数．
（2）

如果在是凸函数，那么 都有
令，即得
当时， 当时，
即在单调递增，在单调递减，所以
即
又在不是凸函数，所以
8．（2024·高三·安徽淮南·阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：
(1)求实数，的值；
(2)求证：.
【解析】（1）因为，所以，，
，则，，
由题意知，，，所以，解得，.
（2）由（1）知，即证，
令，则且，即证时，
记，，则，
所以在上单调递增，在上单调递增，
当时，即，即成立，
当时，即，即成立，
综上可得时，
所以成立，即成立．
9．（2024·高一·湖南郴州·期末）若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“罗尔区间”．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）求函数在内的“罗尔区间”；
（3）若以函数在定义域所有“罗尔区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有2个元素．若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为为上的奇函数，∴，
又当时，，
所以当时，，
所以,
所以.
（2）设，∵在上单调递减，
∴，即，是方程的两个不等正根，
∵，
∴，
∴在内的“罗尔区间”为.
（3）设为的一个“罗尔区间”，则，∴，同号．
当时，同理可求在内的“罗尔区间”为，
∴，
依题意，抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，
所以应当使方程在内恰有一个实数根，
且使方程，在内恰有一个实数根，
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得；
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得.
综上可知，实数的取值集合为.
10．（2024·高三·北京·强基计划）已知罗尔中值定理：若函数满足：①在上连续；②在上可异；③，则存在，使得．
(1)试证明拉格朗日中值定理：若函数满足：①在们上连续；②在上可导，则存在，使得．
(2)设的定义域与值域均为且在其定义域上连续且可导．求证：对任意正整数n，存在互不相同的，使得．
【解析】（1）构造函数，
则，
由罗尔中值定理可得：存在，使得，
即即.
（2）把区间划分为n个区间：，
对在每个区间应用拉格明日中值定理，
可得存在，使得，
其中，把这n个等式相加即得．
11．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数、，的图象在处的切线与轴平行．
(1)求，的关系式并求的单调减区间；
(2)证明：对任意实数，关于的方程：在,恒有实数解；
(3)结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数是在闭区间,上连续不断的函数，且在区间内导数都存在，则在内至少存在一点，使得．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
当时，（可不用证明函数的连续性和可导性）．
【解析】（1）因为，
由已知有，所以即，
即，由知．
当时，由得，则的减区间为，
当时，由得或，的减区间为和，
综上所述：当时，的减区间为；
当时，的减区间为和；
（2），
可化为，
令，
则，，
即，
又，所以，，即，
由零点的存在性定理知方程在区间,内必有解，
即关于的方程在,恒有实数解
（3）令，，
则符合拉格朗日中值定理的条件，即存在，
使，
因为，由，可知，
即，
.
12．（2024·高三·全国·专题练习）已知，，
(1)若在处取得极值，试求的值和的单调增区间；
(2)如图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用这条性质证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于．
【解析】（1）因为，则，
依题意，有，即．
所以，，
令，得或，
令，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以满足题意，同时，的单调增区间为和；
（2）猜想如下：
因为表示的两端点连线的斜率，
而由题可知，上必然存在点，使得其切线的斜率为，即，
所以一定定存在，使得；
证明如下：
因为，
则．
由猜想可知，对于函数图象上任意两点，
在之间一定存在一点，使得，
又，故有.
13．（2024·全国·模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知是大于的实数（全部同号），证明
【解析】（1）猜想：伯努利不等式等号成立的充要条件是，或．
当时，，当时，，
当时，，其他值均不能保证等号成立，
猜想，伯努利不等式等号成立的充要条件是，或；
（2）当时，我们需证，
设，注意到，
，令得，
即，是的一个极值点．
令，则，
所以单调递增．
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
所以在处取得极小值，
即恒成立，．
伯努利不等式对得证．
（3）当时，原不等式即，显然成立．
当时，构造数列：，
则，
若，由上式易得，即；
若，则，所以，
故，
即此时也成立．
所以是一个单调递增的数列（），
由于，所以，
故原不等式成立．
14．（2024·河北石家庄·一模）伯努利不等式，又称贝努利不等式，由数学家伯努利提出：对于实数且，正整数n不小于2，那么．研究发现，伯努利不等式可以推广，请证明以下问题．
(1)证明：当时，对任意恒成立；
(2)证明：对任意，恒成立．
【解析】（1）证明：令，
当时，，原不等式成立；
当时，
当时，，，单调递减；
当单调递增；
所以，即.
（2）要证对任意，恒成立，只需证
即证，
由（1）知对于任意正整数
所以
那么
下面证明成立，
要证成立，只需证令，即证明成立；
令则；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
又所以当时，，
所以.
所以上面（*）式可化为
.
所以命题得证．
15．（2024·高一·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异． 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念． 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则为凸函数． 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的,有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）． 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数．小组成员选择了反比例型函数和对数函数，研究函数的凹凸性．
(1)设，求W=的最小值．
(2)设为大于或等于1的实数，证明（提示：可设）
(3)若a>1，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）记函数，首先证明其凹凸性：
,则
所以在为凹函数．
由琴生不等式，得，
即
所以，当时，W的最小值为.
（2）设,因为故
要证只需证
由琴生不等式，只需证在为凹函数．
设，
下证，即证，
即证,
化简得.
即证
式显然成立，所以成立，在为凹函数，则得证．
（3）当时，不等式恒成立，即，因为,即恒成立，
可得在时恒成立．
因为，所以，，所以．
由，及，可得，所以．
故．
16．（2024·高一·北京·期中）无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典礼中，我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之．图1就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3），正六棱柱的侧棱交的延长线于点，经测量，且
(1)写出三条正六棱台的结构特征．
(2)“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，估算金帆排练厅对应几何体体积．（棱台体积公式：）
(3)“小迷糊”站在“六角楼”下，陶醉在歌声里．“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的数学．学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数，你看这多美妙!”
“小迷糊”：“．．.．．”
亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下的最大值吧．
注：可以参考（不限于）下面公式：
①元均值不等式：
②琴生不等式：
若函数在上为“凸函数”，且为上任意个实数，则
注：在是“凸函数”
③柯西不等式：
注：其二元形式为
【解析】（1）类似于上下底面平行，相似，都是正六边形，侧棱等长，侧棱延长交于一点，侧面都是等腰梯形，等等．
（2）在中，可求，
所以排练厅上底面为边长10的正六边形，下底面为边长9的正六边形，高为，
所以，
所以.
（3）法1．四元均值不等式
.
当且仅当，即时取等号．
所以最大值为.
法2．琴生不等式法
，
当且仅当，即取等号．
所以最大值为.
法3．二元均值不等式推广，
，
当且仅当时取等号．
所以最大值为.
法4．柯西不等式
，根据二次函数知识可知当取得最大值，
所以；
柯西不等式等号成立时与二次函数取到最值时相同，当且仅当.
所以最大值为.
17．（2024·高三·重庆·开学考试）如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积．
(1)若，且，求；
(2)已知，证明：，并解释其几何意义；
(3)证明：，．
【解析】（1）当时，因为，所以设，
又，代入上式可得，
所以，当时，；
当时，设，同理可得，
综上，.
（2）因为，所以，
设，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，故，即；
设，，
则恒成立，所以在上单调递增，，
所以，
综上，.
几何意义：当时，曲线与直线（轴），以及轴围成的“曲边面积”大于直线（轴），以及轴，直线围成的矩形面积，小于（轴），以及轴，直线围成的矩形面积．
（3）因为，
所以
，
设，则，
所以，
故.
18．（2024·高二·重庆·阶段练习）阅读知识卡片，结合所学知识完成以下问题：知识卡片1：一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作即．这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式．从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积．知识卡片2：一般地；如果是区间上的连续函数，并且，那么．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．
(1)用定积分表示曲线及所围成的图形的面积，并确定取何值时，使所围图形的面积最小；
(2)一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度（单位：）紧急刹车至停止．求：
①求火车在刹车4秒时速度的瞬时变化率（即4秒时的瞬时加速度）；
②紧急刹车后至停止火车运行的路程．
【解析】（1）
，
当时，由曲线围成的图形面积最小．
（2）①，则，
故火车在刹车4秒时速度的瞬时变化率为；
②当火车的速度时火车完全停止，即，
，解得或（舍去）；
即从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间为．
根据定积分的物理意义，紧急刹车后火车运行的路程就是从0到10对应函数
的定积分，
，
即紧急刹车后火车运行的路程为．