专题02 函数与导数下的新定义-2024年新高考数学突破新定义压轴题综合讲义

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高考二轮数学复习策略一轮看功夫，二轮学技巧，三轮振士气。二轮数学复习中，要注意六大策略：　　一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度　　二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。　　三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。　　四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。专题02 函数与导数下的新定义【题型归纳目录】题型一：曲率与曲率半径问题题型二：曼哈顿距离与折线距离题型三：双曲正余弦函数问题题型四：凹凸函数题型五：二元函数问题题型六：切线函数新定义题型七：非典型新定义函数【方法技巧与总结】1、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸．2、设为平面上两点，则定义为“折线距离”“直角距离”或“曼哈顿距离”，记作．结论1：设点为直线0外一定点，为直线上的动点，则结论2：设点为直线上的动点，点为直线上的动点，则．【典型例题】题型一：曲率与曲率半径问题【典例1-1】（2024·高三·重庆·阶段练习）定义：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率；已知函数，，曲线在点处的曲率为；(1)求实数a的值；(2)对任意恒成立，求实数m的取值范围；(3)设方程在区间内的根为，…比较与的大小，并证明．【解析】（1）由已知，所以，解得（舍去），所以；（2）由（1）得，，则，对任意的，，即恒成立，令，则，不等式恒成立，当时，，原不等式化为，令，则，所以在区间单调递增，所以，所以，综上所述，实数m的取值范围为；（3），证明如下：由已知方程可化为，令，则，因为，所以，所以，所以在区间上单调递减，故，，所以存在唯一，使得，又，，则由单调递减可得，所以.【典例1-2】（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；②圆与曲线在点处有相同的切线；③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．(1)求抛物线在原点的曲率圆的方程；(2)求曲线的曲率半径的最小值；(3)若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．【解析】（1）记，设抛物线在原点的曲率圆的方程为，其中为曲率半径．则，，故，，即，所以抛物线在原点的曲率圆的方程为；（2）设曲线在的曲率半径为．则法一：，由知，，所以 ，故曲线在点处的曲率半径，所以，则，则，当且仅当，即时取等号，故，曲线在点处的曲率半径． 法二：，，所以，而，所以，解方程可得，则，当且仅当，即时取等号，故，曲线在点处的曲率半径．（3）法一：函数的图象在处的曲率半径，故，由题意知：  令，则有，所以，即，故． 因为，所以，所以，所以． 法二：函数的图象在处的曲率半径，有令，则有， 则，故 ， 因为，所以，所以有，令，则，即， 故，所以，即；法三：函数的图象在处的曲率半径． 故设，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，故有，所以，要证，即证，即证  将 ，下证：当时，有，设函数（其中），则，故单调递增， ，故，所以．法四：函数的图象在处的曲率半径， 有，设．则有，所以当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增．故有，所以，要证，即证，即证．将，下证：当时，有，设函数（其中），则，故单调递增，故 ，故，所以．【变式1-1】（2024·高三·浙江宁波·期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆在处的曲率；(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．【解析】（1）．（2），，，故，，故．（3），，故，其中，令，，则，则，其中（不妨）令，在递减，在递增，故；令，，令，则，当时，恒成立，故在上单调递增，可得，即，故有，则在递增，又，，故，故．【变式1-2】（2024·高三·辽宁·期中）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．(1)求曲线在处的曲率的平方；(2)求余弦曲线曲率的最大值；【解析】（1）因为，则，，所以，故.（2）因为，则，，所以，则，令，则，，设，则，显然当时，，单调递减，所以，则最大值为1，所以的最大值为1．题型二：曼哈顿距离与折线距离【典例2-1】（2024·甘肃兰州·一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离．(1)已知点，分别在直线，上，点与点，的曼哈顿距离分别为，，求和的最小值；(2)已知点N是直线上的动点，点与点N的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值；(3)已知点，点（k，m，，e是自然对数的底），当时，的最大值为，求的最小值．【解析】（1），则，即的最小值为；，则，即的最小值为.（2）当时，，点为直线上一动点，则当时，即；当时，，即；所以，又当时，，当时，，所以的最大值为.（3）令，则，，，令，则在区间内成立，则在区间内单调递增，则，令，则在区间内成立，则在区间内单调递减，则，所以，所以，当且时，取最小值，的最小值【典例2-2】（2024·高三·广西防城港·阶段练习）若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数.如：(1)若，求的取值范围；(2)若对一切实数恒成立，设，，且，求的最大值.【解析】（1）依题意，，当时，，解得，于是，当时，，于是，当时，，解得，于是，所以的取值范围是.（2）对一切实数恒成立，而，当且仅当，即时取等号，则，因此，当且仅当时取等号，根据柯西不等式得，则，解得，当且仅当时等号成立，所以当时，取得最大值.【变式2-1】（2024·高三·北京·期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则(1)①点，，求的值．②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．(2)已知点，直线，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；(3)设三维空间4个点为，，且，，．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即，求最大值，并列举最值成立时的一组坐标．【解析】（1）①；②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为，则，即.（2）设直线上任意一点坐标为，则，当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时，综上所述，的最小值为2.（3）如图，为正方体，边长为1，则对应正方体的八个顶点，当四个点在同一个面上时，（i）例如：，此时；（ii）例如：，此时；当四个点不在同一个平面时，（iii）例如：，此时；（iiii）例如：，此时；（iiiii）例如：，此时；（iiiiii）例如：，此时；综上所述，的最大值为2，例如：，，，.题型三：双曲正余弦函数问题【典例3-1】（2024·高三·江苏苏州·开学考试）定义：双曲余弦函数，双曲正弦函数．(1)求函数的最小值；(2)若函数在上的最小值为，求正实数的值；(3)求证：对任意实数，关于的方程总有实根．【解析】（1）依题意有，令，则.因为在R上单调递增，当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，所以，所以当时，即时，函数有最小值．（2）函数在上的最小值为，即函数有最小值．因为令，则，因为最小值为，所以，解得，所以正实数的值为．（3）证明：令，定义域为，则，又，所以是奇函数，因为是上的增函数，所以在上单调递增，且当趋近于时，趋近于1，所以函数在上的值域为，直线过定点，如图所示：无论取任何实数，直线与函数的图象都有交点，即对任意实数，关于的方程总有实根．【典例3-2】（2024·高三·福建宁德·期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）；(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.【解析】（1）.（2）依题意，，不等式，函数在上单调递增，，令，显然函数在上单调递减，在上单调递增，，又，于是，，因此，，显然函数在上单调递减，当时，，从而，所以实数的取值范围是.（3），.依题意，，，当时，，，即，于是，而，因此，当时，，则，，即，而，因此，于是，，所以.【变式3-1】（2024·上海宝山·模拟预测）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：，（是自然对数的底数）.（1）解方程：；（2）写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：________，并证明；（3）无穷数列，，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.【解析】（1）由题意得：，即，解得：；（2）左边，右边，∴左边等于右边，即成立（3）当时，存在，使得，由数学归纳法证明：，证明如下：ⅰ）当时，成立，ⅱ）假设时，，则成立.综上：.∴，有，即.当时，由，函数的值域为，对于任意大于1的实数，存在不为0的实数，使得，类比余弦二倍角公式，猜测.证明如下：.类比时的数学归纳法，由，易证，，…，，…，∴若，设，则，解得：或，即，∴，于是.综上：存在实数使得成立.【变式3-2】（2024·高三·江苏盐城·期末）悬链线(Catenary)指的是一种曲线，指两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀，柔软(不能伸长)的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为，与之对应的函数称为双曲正弦函数，令．(1)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；(2)已知函数，若对任意的，总存在不同的，使得成立，求实数的取值范围．【解析】（1），所以在上单调递增，又，所以是上的奇函数，，即，故，所以，所以，所以，令在上单调递增，，所以在上单调递减，所以．（2）任取，且，则，所以在上单调递增．又是偶函数，所以时．所以时，，当且仅当时取“"，，且时，，当时，时，，且在上连续，所以的取值范围为，因为对任意的，总存在不同的，使得成立，所以所以，解得，即的取值范围为．题型四：凹凸函数【典例4-1】（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）设连续函数的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为凸函数.若是区间上的凹函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.(1)证明：在上为凹函数；(2)设，且，求的最小值；(3)设为大于或等于1的实数，证明：.（提示：可设）【解析】（1）设，则，所以在上为凹函数.（2）令，由（1）知在上为凹函数，所以函数在上也为凹函数.由琴生不等式，得，即，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为.（3）设，因为，所以，要证，只需证，由琴生不等式，只需证在上为凹函数.设，则，下证，即证，即证，化简得，即证又式显然成立，所以成立，在上为凹函数，则得证.【典例4-2】（2024·高三·陕西安康·阶段练习）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数.(1)若在上为“凸函数”，求的取值范围；(2)若，判断在区间上的零点个数.【解析】（1）由可得其定义域为，且，所以，若在上为“凸函数”可得在恒成立，当时，显然符合题意；当时，需满足，可得；综上可得的取值范围为；（2）若，可得，所以，令，则；易知在区间上恒成立，因此可得在上单调递减；显然，；根据零点存在定理可得存在使得，因此可知当时，，即在上为单调递增；当时，，即在上为单调递减；又，显然在上不存在零点；而，结合单调性可得在上存在一个零点；综上可知，在区间上仅有1个零点.【变式4-1】（2024·高三·广东东莞·阶段练习）记，为的导函数.若对，，则称函数为D上的“凸函数”.已知函数，.(1)若函数为上的凸函数，求a的取值范围；(2)若函数在上有极值，求a的取值范围.【解析】（1）由，得，，由于函数为上的凸函数，故，即，令，则，当时，；当时，；故在上单调递减，在上单调递增，故，故，故a的取值范围为；（2）由，得，函数在上有极值，即在上有变号零点，即在上有解，令，令，则，即在上单调递增，且当x无限趋近于1时，无限接近于-1，，故存在，使得，且时，，时，，故在上单调递减，在上单调递增，故，由于，故，，而在时单调递减，故，故，即a的取值范围为.题型五：二元函数问题【典例5-1】（2024·高三·湖南·阶段练习）设是有序实数对构成的非空集，是实数集，如果对于集合中的任意一个有序实数对，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，其中称为二元函数的定义域.(1)已知，若，求(2)非零向量，若对任意的，记，都有，则称在上沿方向单调递增.已知.请问在上沿向量方向单调递增吗？为什么？(3)设二元函数的定义域为，如果存在实数满足：①，都有，②，使得.那么，我们称是二元函数的最小值.求的最大值. 【解析】（1）由已知有，则；（2），，又，，故在上沿向量方向单调递增；（3）由题意可类似的知道的最大值的含义，，其中，（或者直接使用柯西不等式，，当且仅当时取等号.）故，当时取等号，（或当时取等号），又，根据对勾函数单调性易知当或2时，函数取最大值为.【典例5-2】（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值．补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导．(1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值．(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值．(3)①若为实数，且，证明：．②设，求的最小值．【解析】（1）函数，对变量求导得：，当时，.（2）令，则，解得或，于是函数在约束条件的可能极值点是，，当时，函数的一个极值为函数，当时，函数的一个极值为函数，方程视为关于x的方程：，则，解得，视为关于y的方程：，则，解得，因此函数对应的图形是封闭的，而，所以的最大值为.（3）①由，，设，则，当且仅当时取等号，所以.②当时，，当且仅当时取等号，所以时，取得最小值4.【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知变量x，y，z，当x，y在某范围D内任取一组确定的值时，若变量z按照一定的规律f，总有唯一确定的x，y与之对应，则称变量z为变量x，y的二元函数，记作．已知二元函数．(1)若，求的最小值．(2)对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【解析】（1）依题意得．∵，∴，当且仅当，即时取得最小值为9．（2）．∵恒成立，∴，当时，恒成立．当时，等价于，解得．综上，实数a的取值范围是．题型六：切线函数新定义【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，设函数的导函数为，若函数和的图象在处的两条切线和平行，则称为函数和的“关联切点”．(1)证明：对于任意的正实数a，函数和的“关联切点”有且只有一个；(2)若两条切线和之间的距离为1，证明：（其中e为自然对数的底数）．【解析】（1），，则，．设为函数和的一个“关联切点”，则，即  ①，则有，，．令，，因为，所以在上单调递增．当时，，，所以在上有且仅有一个零点；当时，，，所以在上有且仅有一个零点．所以当a为正实数时，在上有且仅有一个零点．即方程有且仅有一个正根．所以对于任意的正实数a，函数和的“关联切点”有且只有一个．（2）易知，又，即，切线，即．由题意知，化简得．令，，因为恒成立，所以在上单调递增，且，，所以．由①式知，所以．由的单调性可得在上单调递减，所以，再由函数在单调递增，即可得，得证.【典例6-2】（2024·河南新乡·二模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：．【解析】（1）的定义域为，求导得，直线的斜率为2，令，解得，不妨设切点，则点处的切线方程为，即，点处的切线方程为，即，所以直线是曲线的“双重切线”.（2）函数，求导得，显然函数在上单调递增，函数在上单调递减，设切点，则存在，使得，则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 因此，消去可得，令，求导得，则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此， 所以曲线的“双重切线”的方程为.（3）设对应的切点为，对应的切点为，由，得，，由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑，，其中，由及余弦函数在上递增知，，则，，因此，又，，则，同理，令，求导得，则在上单调递增，显然，且，函数在上的值域为，即函数在上存在零点，则有，由，同理可得，而，因此，于是，即有，所以，即.【变式6-1】（2024·高三·上海浦东新·阶段练习）设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图像只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”．(1)判断是否是函数的一条“切线”，并说明理由；(2)设，求证：存在无穷多条“切线”；(3)设，求证：对任意实数和正数都是“函数”【解析】（1）记，则，设切点为，由切线方程为知，则，解得．所以切点为，下面证明直线与的图象只有唯一的公共点，将与函数联立，得．记，则，当时，当时，故在上单调递增，在上单调递减，，故函数只有一个零点，故是一条“切线”；（2）因为，所以，则点处的切线方程为，将点处的切线的方程与联立得，记，则直线为“切线”函数有且仅有一个零点（此时，一个对应一条“切线”），显然是的零点，故只要没其它零点，此时，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故此时为唯一的极小值点（也是最小值点），而，故无其他零点，故直线为“切线”，因为的任意性，故函数存在无穷多条“切线”，（3）因为，则，设点在函数的图象上，则点的切线为，与联立得：，由题意得直线为“切线”，故方程在上有且仅有一解，则或，若，则是方程的唯一解（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值）．若，则（此时只有一条“切线”，切点的横坐标为）或（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值），综上，，即证．【变式6-2】（2024·高三·上海·期中）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．(1)判断点是否为函数的1度点，请说明理由；(2)若点是的“度点”，求自然数的值；(3)求函数的全体2度点构成的集合．【解析】（1）设，由得在处的切线斜率为，则曲线在点处的切线方程为.点代入切线方程，，即，因为，所以，即.则该切线过点当且仅当. 故点是函数的一个1度点.（2）设，则，故曲线在点处的切线方程为.该切线过点，当且仅当，即①. 设，其中.则当时，，故在区间上严格递增. 而，因此当时，，故①恒不成立，即点是的一个0度点，也即.（3）对任意，由得曲线在点处的切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为.设点为函数的一个2度点，等价于“关于的方程恰有两个不同的实数解”.设，等价于“函数两个不同的零点”.若，则在R上严格递增，只有一个实数解，不符合要求；若时，因为，解得有两个零点. 当时，由或时，得严格递增；而当时，得严格递减.故在时，取得极大值，在时取得极小值.故当有两个不同的零点时，当且仅当或.若，同理可得有两个不同的零点时，当且仅当或.综上所述：的全体2度点构成的集合为或.题型七：非典型新定义函数【典例7-1】（2024·高三·广东佛山·阶段练习）若对实数，函数、满足，且，则称为“平滑函数”，为该函数的“平滑点”已知，．(1)若1是平滑函数的“平滑点”，（ⅰ）求实数a，b的值；（ⅱ）若过点可作三条不同的直线与函数的图象相切，求实数t的取值范围；(2)判断是否存在，使得对任意，函数存在正的“平滑点”，并说明理由．【解析】（1）（ⅰ）由，，得，，因为1是平滑函数的“平滑点”，则，解得．（ⅱ）由题意，，过点作的切线，设切点，则切线方程：，故题意等价于方程：有3个不同根，设，则，令，得；令，得或，所以函数在上单调递增，在和上单调递减，又因为，，，且当时，，如图所示所以．（2）题意等价于：是否，使得对，有解，消去a，得，，由，可得，故题意等价于是否，使得时，成立，又∵当时，，故题意等价于当时，是否有解，设，，则，当时，，当时，,∴在上单调递减，在上单调递增，故，∴有解，即存在满足题意的a．【典例7-2】（2024·高三·上海·期中）已知定义域为的函数．当时，若是严格增函数，则称是一个“函数”．(1)判断函数是否为函数；(2)是否存在实数，使得函数是函数？若存在，求实数的取值范围；否则，证明你的结论；(3)已知，其中，证明：若是上的严格增函数，则对任意，都是函数．【解析】（1）当时，不是严格增函数，故不是函数；（2）令，当时，由，得，令，，则在上恒成立，故在上单调递增，所以，故此时，得，从而严格增.当时，，后者严格增，当且仅当，即，又因为当时，，从而上，严格增，故为所求.（3），令，，若“严格增”等同于（或），当时，恒成立，故符合要求，当时，，解得：，当时，，等号成立当且仅当，故在与上分别严格增，且当时，；当时，.故此时也是R上的严格增函数.综上：，下设.则对任意，.令，则.当时，，等号成立当且仅当.因，故同上可知，为上的严格增函数，且.因而，当时，从而为函数.【变式7-1】（2024·高三·上海普陀·阶段练习）给出下列两个定义：I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；(3)已知函数.①若的“自导函数”是，试求的取值范围；②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.【解析】（1）对于函数，则，这两个函数的定义域都是，所以函数为“同定义域函数”，此时，，由函数的定义，对于，无法同时成立，所以为“单向导函数”，其“自导函数”为，对于函数，则，因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.（2）若成立，，则，设，则，所以为“单向导函数”，又设，则，所以为“双向导函数”，但不是常值函数，所以不是的必要条件；若成立，则，所以，所以，所以不成立，所以是的既不充分也不必要条件.（3）①由题意，，且，所以，所以；②由题意，所以且，令，可得，且，因为为单调递增函数，且，所以存在使得，且当时，，单调递减；当时，，单调递增，（i）当时，即，所以，此时，在上单调递增，可得；（ii）当时，，此时，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，又由，所以；（iii）当且时，，所以函数在上存在两个极值点，若，即时，极大值点为；若，即时，极大值点为，则为函数的极大值或，由当时，，令，则，设，则，所以，即单调递增，所以，所以单调递增，所以，综上可得，，所以实数的取值范围为.【变式7-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知函数．(1)讨论函数的单调性．(2)给定且，对于两个大于1的正实数，，若存在实数m满足：，，使得不等式恒成立，则称函数为区间D上的“优化分解函数”．若，函数为区间上的“优化分解函数”，求实数m的取值范围．【解析】（1）依题意，函数的定义域为，，①        令，解得或．当时，，∴当或时，，单调递减，当时，，单调递增，故函数在上单调递增，在和上单调递减．②    当时，恒成立，∴在上单调递减．        当时，，∴当或时，；当时，．故函数在上单调递增，在和上单调递减．    综上，当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增．（2）当时，，∴在上恒成立，∴在区间上单调递增，∴当时，．③        当时，有，，得，同理．∴由的单调性知，，从而有，符合题意．④        当时，，，由的单调性知，∴，与题意不符． 当时，同理可得，，故由的单调性知，得，与题意不符．    综上，实数m的取值范围为．【过关测试】1．（2024·高三·江西·阶段练习）记函数在上的导函数为，若（其中）恒成立，则称在上具有性质．(1)判断函数（且）在区间上是否具有性质？并说明理由；(2)设均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．【解析】（1）令，则，当时，；当时，，所以当时，函数在区间上具有性质；当时，函数在区间上不具有性质．（2）因为，所以，因为在处取得极值，且为奇函数，所以在处也取得极值，则，解得，所以，可得，当时，令，解得；令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，满足在处取得极值，所以，当时，恒成立，所以，存在实数，使得在区间上具有性质，且的取值范围是．（3）因为，所以，即，令，则，令，则，当时，在区间上单调递增，又因为，所以存在，使，因为当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，所以当时，的最小值为，由，有，所以，因为，所以，又因为恒成立，所以，因为且，所以的最大值为．2．（2024·高三·河南郑州·阶段练习）若函数的定义域、值域都是有限集合，，则定义为集合A上的有限完整函数.已知是定义在有限集合上的有限完整函数.(1)求的最大值；(2)当时，均有，求满足条件的的个数；(3)对于集合M上的有限完整函数，定义“闭环函数”如下：，对，且，.若，，，则称为“m阶闭环函数”.证明：存在一个闭环函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示的函数关系）.【解析】（1）由题意得，当且仅当时取等号，即的最大值为140；（2）由题意知，从集合M中任取5个数，记为，共有中取法，然后剩余的两个数全排列，故共有个满足条件；（3）证明：以下面表格作为的函数关系：，故为3阶闭环函数；又，故也为4阶闭环函数，故原命题得证.3．（2024·黑龙江吉林·二模）设定义在函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则.(1)求；(2)证明：；(3)证明：当时，.【解析】（1）因为对于，，所以；因为对于，若，则，取，则，故；综上，.（2）对于，且时，有，，根据条件②，得，因为根据条件①，得，则，所以，即，所以.（3）由（2）知，设，且，则，因为，所以，所以在上为不减函数，对于任意，则必存在正整数，使得，所以，由（2）知，由（1）知，又，所以，所以，所以时，，因为时，，且，所以，即.4．（2024·辽宁大连·一模）已知函数的定义域为区间值域为区间，若则称是的缩域函数.(1)若是区间的缩域函数，求a的取值范围；(2)设为正数，且若是区间的缩域函数，证明：（i）当时，在单调递减;（ii）【解析】（1）若是区间的缩域函数，则，；即，解得；可得，则；令，则；当时，，则单调递减；当时，，则单调递增.所以，解得，下面证明，即，也即；令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此可得，所以，综上a的取值范围为（2）（i）当时,若是区间的缩域函数，则，即，进一步，当时，，即，；由（1）可知，当时，，则单调递减；所以在区间上单调递减，（ii）若是区间的缩域函数，则；故有，即；设函数，则；当时，，单调递增，当时，，单调递减；因为为正数且则，又，所以在上单调递减，所以；记，设，且，由的单调性可知，故；记，则，当时，，单调递增；故，即；因为在上单调递减，故，即；由，故，所以，又因为，故.5．（2024·高三·上海·阶段练习）对于函数与定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”.(1)若函数，，，求函数和的“分界线”；(2)已知函数满足对任意的，恒成立.①求实数的值；②设函数，试探究函数与是否存在“分界线”?若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）令，取，则，进而有，即且，解得，故函数和的“分界线”为.（2）①因为对任意的，恒成立，所以对恒成立，令，∴，当时，恒成立，从而在上单调递减，又，所当时，与题意矛盾，舍去；当时，令，解得；令，解图，从而在上单调递增，在上单调递减，∴.由题意可知，即，也即，令，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，从而.又，所以，此时.②设，则.∴当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.∴是函数的极小值点，也是最小值点，∴.∴函数与的图象在处有公共点.设与存在“分界线”且方程为：.令函数.（i）由，即在上恒成立，即在上恒成立，此时成立，∴，故.（ⅱ）下面再证明：恒成立.设，则.∴当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.∴时，取最大值，则恒成立.综上（ⅰ）和（ⅱ）知且，故函数与存在分界线为，此时，.6．（2024·高三·上海·阶段练习）对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“函数”．(1)试判断，是否为“函数”，简要说明理由；(2)若是定义在区间上的“函数”求实数的取值范围；【解析】（1）根据题意，，可得，故是“函数”；（2）因为为“函数”，所以存在，使，即，整理得在有解．因为，所以，可得，结合在上恒成立，可得，综上所述，，即实数的取值范围是.7．（2024·福建·模拟预测）对于函数，若实数满足，则称为的不动点.已知，且的不动点的集合为.以和分别表示集合中的最小元素和最大元素.(1)若，求的元素个数及；(2)当恰有一个元素时，的取值集合记为.（i）求；（ii）若，数列满足，，集合，.求证：，.【解析】（1）当时，，其定义域为.由得.设，则，当时，；当时，；所以在单调递增；在单调递减，注意到，所以在恰有一个零点，且，又，所以，所以在恰有一个零点，即在恰有一个不动点，在恰有一个不动点，所以，所以的元素个数为，又因为，所以.（2）（i）当时，由（1）知，有两个元素，不符合题意；当时，，其定义域为，由得.设，，则，设，则，①当时，，所以在单调递增，又，所以在恰有一个零点，即在恰有一个不动点，符合题意；②当，故恰有两个零点.又因为，所以，当时，；当时，；当时，；所以在单调递增，在单调递减，在单调递增；注意到，所以在恰有一个零点，且，又时，，所以在恰有一个零点，从而至少有两个不动点，不符合题意；所以的取值范围为，即集合.（ii）由（i）知，，所以，此时，，，由（i）知，在单调递增，所以，当时，，所以，即，故若，则，因此，若存在正整数使得，则，从而，重复这一过程有限次后可得，与矛盾，从而，，下面我们先证明当时，， 设，，所以，所以在单调递减，所以，即当时，，从而当时，，从而，即，故，即，由于，，所以，，故，故时，，所以，故.解法二：（i）当时，，故是的一个不动点；当时，由，得（*），要使得恰有一个元素，即方程有唯一解，因此方程（*）无实数解，即直线与曲线无公共点.令，则，令，则，所以在单调递减，又因为，所以当时，，当时，，所以当时，，当时，所以在单调递增，在单调递减，令，则，，则，又因为当时，，当时，，所以曲线的大致图象如图所示：由图可知，，所以的取值范围为，即集合.（ii）由（i）知，，所以，此时，，令，则，令，当时，，所以在单调递增，所以当时，，所以，所以在单调递增，所以，故若，则，因此，若存在正整数使得，则，从而，重复这一过程有限次后可得，与矛盾，从而，.下面先证明当时，.令，则，所以在单调递增，所以当时，，所以当时，.所以，由于，所以，故，即，故，故时，.所以，故.（ii）解法三：同解法一可得，.下面我们先证明当时，.设，则当时，，所以在单调递减，所以，即，从而当时，，于是，从而，即，故，即，由于，所以，故，故时，.所以.故.8．（2024·安徽安庆·二模）取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作，函数称为取整函数．另外也称是x的整数部分，称为x的小数部分．(1)直接写出和的值；(2)设a，，证明：，且，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个数；(3)对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为，其中为质数，为整数，且对任意的，，i，，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为．证明：在的标准分解式中，质因数（，，）的指数．【解析】（1）由，故，故，；（2）因为，等式两边同时乘b，得，因为a，b都为整数，所以也为整数，又，所以，所以，即得证，假设b，，…，都小于等于a，，因为，所以，所以，因为，所以，所以b的倍数中不大于a的正整数的个数为个；（3），将2，3，…，n每一个数都分解为质因数的乘积．对于质因数，利用（2）中结论，的倍数中不大于n的正整数的个数为，记为，将这些数都提取出来，此时p的倍数中还有可以提取出的数，注意到的倍数中不大于n的正整数的个数为，记为，将这些数提取出来；同理，的倍数中不大于n的正整数的个数为，记为，依此这样进行下去，则质因数的指数，即得证．9．（2024·高三·重庆·阶段练习）对于函数，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点； 若存在，使得，则称为函数的二阶不动点； 依此类推，可以定义函数的 阶不动点. 其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点.(1)已知，求的不动点；(2)已知函数在定义域内单调递增，求证： “为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；(3)已知，讨论函数的稳定点个数.【解析】（1）设，则恒成立，故函数在R上单调递增，又，故函数在R上有唯一零点，即有唯一不动点1；（2）证明：充分性：设为函数的不动点，则，则，即为函数的稳定点，充分性成立；必要性：设为函数的稳定点，即，假设，而在定义域内单调递增，若，则，与矛盾；若，则，与矛盾；故必有，即，即，故为函数的不动点，综上， “为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；（3）当时，函数在上单调递增，由（2）知的稳定点与的不动点等价，故只需研究的不动点即可；令，则，则在上单调递减，①当时，恒成立，即在上单调递增，当x无限接近于0时，趋向于负无穷小，且，故存在唯一的，使得，即有唯一解，所以此时有唯一不动点；②当时，即时，，当x趋向无穷大时，趋近于0，此时，存在唯一，使得，此时在上单调递增，在上单调递减，故，当x趋近于0时，趋向于负无穷大，当x趋向正无穷大时，趋向于负无穷大，设，则在上单调递增，且，又在时单调递增，故（i）当时，即，此时，方程有一个解，即有唯一不动点；（ii）当shi ，即，此时，方程无解，即无不动点；（iii）当时，即，此时，方程有两个解，即有两个不动点；综上，当时或时，有唯一稳定点；当时，无稳定点；当，有两个稳定点；10．（2024·高三·全国·竞赛）设有两个集合，如果对任意，存在唯一的，满足，那么称是一个的函数.设是的函数，是的函数，那么是的函数，称为和的复合，记为.如果两个的函数对任意，都有，则称.(1)对，分别求一个，使得对全体恒成立；(2)设集合和的函数以及的函数.（i）对，构造的函数以及的函数，满足；（ii）对，构造的函数以及的函数，满足，并且说明如果存在其它的集合满足存在的函数以及的函数，满足，则存在唯一的的函数满足.【解析】（1）因为，而，对全体恒成立；故对所有成立.（2）（i）考虑以及两个函数，对任意，因为，所以.（ii）我们可以继续使用（i）的构造，任意取，因为，所以，所以，则，因此存在满足条件；如果符合题意，即，则，由定义得到；所以存在唯一的的函数满足题意.11．（2024·上海浦东新·二模）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．(1)判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；(2)已知，．证明：点是的0度点；(3)求函数的全体2度点构成的集合．【解析】（1）设，则曲线在点处的切线方程为．则该切线过点当且仅当，即． 故原点是函数的一个1度点，该切线过点，故，令，则，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值，也时最小值，且，故无解，点不是函数的一个1度点（2）设，，则曲线在点处的切线方程为．则该切线过点当且仅当（*）．设，则当时，，故在区间上严格增．因此当时，，（*）恒不成立，即点是的一个0度点．（3），对任意，曲线在点处的切线方程为．故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解．设． 则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点．若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求．若，因为，由或时得严格增；而当时，得严格减． 故在时取得极大值，在时取得极小值．又因为，，所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求；当时，仅上有一个零点，不合要求；当时，仅上有一个零点，也不合要求．故两个不同的零点当且仅当或．若，同理可得两个不同的零点当且仅当或．综上，的全体2度点构成的集合为或．12．（2024·高三·上海静安·期末）如果函数满足以下两个条件，我们就称为型函数．①对任意的，总有；② 当时，总有成立．(1)记，求证：为型函数；(2)设，记，若是型函数，求的取值范围；(3)是否存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由．【解析】（1）当时，， 当，，时，，，则，，，，为型函数.（2）当时，由得，当，，时，，，由，得，即，即，即，令，则对称轴，所以在上的最小值为，只要，则，因为，所以．（3）存在，举例1：．理由如下：当时，符合；当，，时，，，，，故，，即，即是型函数，且对任意的，存在，使得等式成立；举例2：；理由如下：当时，，符合，当，，时，，，，，即，即是型函数，且对任意的，都存在，使得等式成立.由此可知存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立.13．（2024·高三·全国·专题练习）对于函数，，以及函数，．若对任意的，总有，那么称可被“替代”（通常）．(1)试给出一个可以“替代”函数的函数；(2)试判断是否可被直线， “替代”．【解析】（1），根据定义， 可解得，因而就是满足不等式的一个函数；（2），令，则，当且仅当，即时等号成立，，易知在单调递减，在单调递增，当时，，当时，，，，即可以被直线， “替代”.14．（2024·高三·上海静安·阶段练习）记、分别为函数，的导函数.若存在满足且，则称为函数与的一个“S点”.(1)证明:函数与不存在“S点”;(2)若函数与存在“S点”，求实数的值(3)已知函数，对任意，判断是否存在，使得函数与在区间内存在“S点”，并说明理由.【解析】（1）因为，，则，，假设存在函数与存在“S点”即存在满足，方程组无解，所以函数与不存在“S点”.（2）因为与，则与，设“S点”为，满足，解得，所以.（3）因为，，所以，，由，，显然，假设，得，解得，由，得，得，令，设，则，，得，又的图象在上不间断，则在上有零点，则在上有零点，则存在，使与在区间内存在“S”点.15．（2024·高三·上海虹口·期末）已知与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”．(1)判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由；(2)设的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解；(3)设，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的所有控制函数；若不存在，请说明理由．【解析】（1）对任意，则，且，故是函数的一个控制函数；（2）因为，则，则，，，设，在上，在上，则在单调递减，在上单调递增，最大值，，，，，，，，则，，即，同理，，，即综上：，，在区间上的值域为，则在区间上有实数解.（3）①先证引理:对任意，关于的方程在区间上恒有实数解.这等价于，由（2）知结论成立.②(证控制函数的唯一性)假设存在“控制函数”，由上述引理知，对任意，当时，都存在使得.(*)下证：.若存在使得，考虑到是值域为的严格增函数，故存在使得.由(*)知存在使得，于是有，由的单调性知，矛盾.故对任意都有同理可证，对任意都有，从而.③(证控制函数的存在性)最后验证，是的一个“控制函数”.对任意，当时，都存在使得，而由的单调性知，即.综上，函数存在唯一的控制函数.16．（2024·上海长宁·一模）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”.(1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由：(2)若，求实数的取值范围；(3)若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数.【解析】（1）因为，故对任意的都有．又因为函数是函数的“约束函数”，则对任意，都有，取，可得恒成立，即对任意的成立，故是偶函数；（2）因为是上的严格增函数，则是上的严格增函数，设，则，进而，可得，，所以，，设，，则与均为上的严格增函数，因为，恒成立，对于恒成立，因为，，当且仅当时，等号成立，所以，解得得，当时，恒成立，所以实数的取值范围为.（3）设，因为是严格减函数，所以，即，而，所以，所以对任意，都有，①首先证明：当时，，假设存在，且，设，则，，所以存在，使得，得，与结论对任意，矛盾，所以不存在，使得，同理可得：也不存在，使得，所以当时，. ②再证明：当时，，假设存在，使得，则，设，则，，所以存在，使得，得，与结论对任意，矛盾，所以假设不成立，即对任意，都有所以是上的严格增函数.17．（2024·高三·上海·期中）设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”.(1)若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由;(2)已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由.(3)若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有.【解析】（1）令,因为,则,,不满足对任意的,均成立,故不是“平缓函数”.（2）命题为真命题.因为,不妨令,因为是“平缓函数”,则,所以,故命题为真命题.（3）因为是以为周期的周期函数,不妨设,当时,因为函数是“平缓函数”,则;当时,不妨设,则,因为是以为周期的周期函数,则,因为函数是“平缓函数”,所以,所以对任意的,均有,因为是以为周期的周期函数,所以对任意的,均有.18．（2024·高三·浙江·期中）对函数，若，使得成立，则称为关于参数的不动点.设函数.(1)当时，求函数关于参数的不动点；(2)若，函数恒有关于参数的两个不动点，求的取值范围；(3)当时，函数在上存在两个关于参数的不动点，试求参数的取值范围.【解析】（1）当时， 令，可得，即 解得或，所以的不动点为或，（2）由题意可知，对，关于的方程，即恒有两个不等实根，从而恒成立即关于的不等式恒成立，从而恒成立解得（3）方法一：由题意可得方程关于的方程，即在上恒有两个不等实根，令，根据二次函数性质，须满足，解得                  方法二：，即在上恒有两个不等实根，令，则直线与函数在上有两个不同的交点，由于在上单调递减，在上单调递增且，，结合的图象可知19．（2024·高三·上海徐汇·期中）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”，(1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由；(2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值；(3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围．【解析】（1）时，，此时不存在，使得，故根据“2阶自伴函数”的定义可知，不是区间上的“2阶自伴函数”.（2）由函数为区间上的“1阶自伴函数”，所以，且对任意，总存在唯一的，使得成立，即成立，则，所以，所以，解得；（3）由函数在上的值域为，因为是在区间上的“2阶伴随函数”，则对任意的，总存在唯一的时，使得成立，所以，即在区间上的值域必定包含区间，且的值域在对应的自变量是唯一的.又因为函数开口向上，对称轴为，①当时，在上单调递增，所以，解得；②当时，在上单调递减，所以，解得；③当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得；④当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得；综上，a的取值范围是.20．（2024·高三·安徽淮南·阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，.已知在处的阶帕德近似为.注：(1)求实数，的值；(2)求证：.【解析】（1）因为，所以，，，则，，由题意知，，，所以，解得，.（2）由（1）知，即证，令，则且，即证时，记，，则，所以在上单调递增，在上单调递增，当时，即，即成立，当时，即，即成立，综上可得时，所以成立，即成立.21．（2024·天津·一模）意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：.(1)求曲线在处的切线斜率；(2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围：(3)（i）证明：当时，；（ii）证明：.【解析】（1），则所以，可得在处的切线斜率为（2）令，则，下面证明：对任意恒成立,先证明：对任意.证明如下：设，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故，故，继续证明：对任意.证明如下：令，则，因此在上单调递增；所以，故当时，对，都有，函数在上单调递增，则，解得；当时，对，都有，对，都有，函数在上单调递减，在上单调递增，则对，都有成立，不符合题意，舍去.综上所述，实数的取值范围是.（3）（i），令，则所以在上单调递增，所以所以当时，成立；（ii）下面证明：当时，成立，令，则由前问解答过程，对任意成立，所以所以在上单调递增，所以所以当时，成立令且，可得，即，由题意，令且，可得，因为所以，由①当时，，所以令且，可得所以，由前面解答过程得，对任意成立，令且，可得，所以，又且，所以，所以所以可得，即可得.22．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数．(1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；(2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围；(3)求的最小值．【解析】（1）平方关系：；和角公式：；导数：．理由如下：平方关系，；，和角公式：故；导数：，；（2）构造函数，，由（1）可知，i．当时，由可知，故，故单调递增，此时，故对任意，恒成立，满足题意；ii．当时，令，，则，可知单调递增，由与可知，存在唯一，使得，故当时，，则在内单调递减，故对任意，，即，矛盾；综上所述，实数a的取值范围为．（3），，令，则，令，则，当时，由（2）可知，，则，令，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，因为，即为偶函数，故在内单调递减，则，故当且仅当时，取得最小值0.23．（2024·高三·山东临沂·期中）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．  (1)求曲线在处的曲率的平方；(2)求余弦曲线曲率的最大值；(3)若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过理．【解析】（1），，，所以，.（2），，，所以，，令，则，，设，则，显然当时，，递减，所以．最大值为1，所以的最大值为1．（3）在区间上有且仅有2个零点．证明：，所以，①当时，因为，，则，，，在单调递增．又，．在上有一个零点，②设，则当时，，单调递增，，又，恒成立，在上无零点．③当时，，，∴在上单调递减，又，．在上必存在一个零点．综上，在区间上有且仅有2个零点．24．（2024·全国·二模）曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，若记，则函数在点处的曲率为.(1)求证：抛物线（）在处弯曲程度最大；(2)已知函数，，，若，曲率为0时的最小值分别为，，求证：.【解析】（1）由题意，，，则，又，故当最小时最大，此时，即抛物线（）在处弯曲程度最大.（2）由题意，，，，.若，曲率为0，则，即，分别化简可得，.令，则令有.当时，，单调递增，且；当时，，单调递减，且.又，故有两解，设为，，又，故.由可设，，故，，化简可得，则.要证：，即证.令，则，故在上单调递增，故，即得证.25．（2024·高三·山西太原·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．(1)求曲线在点处的曲率的值；(2)求正弦曲线曲率的最大值．【解析】（1）由得，，故，所以曲线在点处的曲率；（2）由题意得，故，令，则，令，则，故在上单调递减，则，即的最大值为1，由题意知曲线在点处的曲率，即，故的最大值为1.26．（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.(1)证明：；(2)设，证明：；(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围.【解析】（1）设，则.当时，：当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.因此，，即.（2）由泰勒公式知，①于是，②由①②得所以即.（3），则，设，由基本不等式知，，当且仅当时等号成立.所以当时，，所以在上单调递增.又因为是奇函数，且，所以当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.因此，是的极小值点.下面证明：当时，不是的极小值点.当时，，又因为是上的偶函数，且在上单调递增,所以当时，.因此，在上单调递减.又因为是奇函数，且，所以当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.因此，是的极大值点，不是的极小值点.综上，实数的取值范围是.27．（2024·高三·四川达州·阶段练习）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中，为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.(1)证明：；(2)设，证明：；【解析】（1）设，则，当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，因此，即.（2）由泰勒公式知，①于是，②由①②得，由①②得，所以，即.28．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则.②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；(2)计算：；(3)证明：，.【解析】（1）设，由于，所以不成立，故不是区间上的2阶无穷递降函数.（2）设，则，设，则，所以，得.（3）令，则原不等式等价于，即证，记，则，所以，即有对任意，均有，所以，因为，所以，所以，证毕!29．（2024·上海奉贤·一模）若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ．(1)求证：函数不是“增函数”；(2)若函数是“增函数”，求实数的取值范围；(3)设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”．【解析】（1）取，则，因为，故函数不是“增函数”；（2）因为函数是“增函数”，故任意的，，有恒成立，即恒成立 ，所以恒成立，又，，故，则，则，即；（3）记，根据题意，得，可得方程的一个解，令，则，令，则， 故在上是严格增函数，又因为，故在恒成立，故，故在上是严格增函数，所以是唯一解， 又，此时在处的切线方程即为，故成立；设，其中，，由在上是严格增函数以及，得，即 ，所以在上是严格增函数，因为，则,故，即得证.30．（2024·高三·北京海淀·阶段练习）已知函数(1)当时，求函数的极值；(2)求函数的单调区间；(3)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．当时，若函数是“恒切函数”，求证：．【解析】（1）函数,,当时， ，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故有极小值，无极大值.（2），当时，，在单调递减；当时，，,，,且为增函数，时，，在单调递增；时，，在单调递减；综上得：当时，在单调递减；当时，在单调递增,在单调递减；（3）当时，函数是“恒切函数”，且,设函数与直线切点,则,故，即，，，，所以是方程的根，设，,,当时，，单调递增；当时，，单调递减；且,，，是方程的根，所以或,或故.31．（2024·河南南阳·模拟预测）对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”.现已知.请解答下列问题：(1)求函数的“拐点”A的坐标；(2)求证：的图像关于“拐点”A对称，并求的值.【解析】（1）∵，，∴令，得.有，∴“拐点”A为.（2）证明：设，是图像上任意一点，则.，是关于“拐点”的对称点为.把点坐标代入得左边，右边，∴左边＝右边.∴点在的图像上.∴关于“拐点”A对称.由对称性可得.32．（2024·高三·全国·专题练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若，请你根据这一发现.（1）求函数的对称中心；（2）计算.【解析】（1），令，即，解得，，由题中给出的结论，可知函数的对称中心为.（2）由（1）知函数的对称中心为，所以，即， 故，所以.33．（2024·湖南邵阳·三模）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数拐点.已知.（1）求证：函数的拐点在直线上；（2）时，讨论的极值点的个数.【解析】（1），，，，．而．点，在直线上．（2）令，得，作出函数，与函数的草图如下所示：由图可知，当或时，无极值点；当时，有一个极值点；当或时，有两个极值点．34．（2024·高三·全国·阶段练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数.（1）当时，求的值；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）函数，当时，因为，∴，令，解得，则对称中心的纵坐标为，故对称中心为，所以，所以，，…则.（2）∵，，即，又，∴在上恒成立.令.∴.∵，令，得或（舍去）.当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.∴.∴，即的取值范围为.x12345672315674