江西省九江市2024届高三第三次高考模拟统一考试数学试卷(含答案)

这是一份江西省九江市2024届高三第三次高考模拟统一考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．为深入学习党的二十大精神,某校开展“奋进新征程,强国伴我行”二十大主题知识竞赛,其中高三年级选派8名同学参赛,这8名同学的成绩(总分10分)依次如下:9,8,10,7,10,8,8,9,则这组数据的75%分位数为( )
A.8B.9C.9.5D.10
2．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,则( )
A.B.C.D.
3．已知等差数列的公差为,是与的等比中项,则( )
A.B.C.D.
4．考古发现在金字塔内有一组神秘的数字“142857”,我们把它和自然数1到6依次相乘,得,,,,,,结果是同样的数字,只是调换了位置.若将这组神秘数字“142857”进行重新排序,其中偶数均相邻的排法种数为( )
A.24B.36C.72D.144
5．已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆,则该圆锥的体积是( )
A.B.C.D.
6．已知椭圆的左右焦点分别为,,过且倾斜角为的直线交C于第一象限内一点A.若线段的中点在y轴上,的面积为,则C的方程为( )
A.B.C.D.
7．若,则( )
A.B.C.D.
8．在平面直角坐标系xOy中,已知直线l与双曲线的左右两支分别交于M,N两点,E是线段MN的中点,P是x轴上一点,且,则C的离心率为( )
A.B.C.2D.3
二、多项选择题
9．已知二项式,则( )
A.展开式中的系数为45
B.展开式中二项式系数最大的项是第5项
C.展开式中各项系数之和为1
D.展开式中系数最大的项是第5项或第7项
10．已知虚数z满足,则下列结论正确的是( )
A.B.C.的虚部为D.
11．如图,正方体的棱长为1,点P在截面内,且,则( )
A.三棱锥的体积为B.线段PA的长为
C.点P的轨迹长为D.的最大值为
三、填空题
12．若集合,,则__________.
13．已知函数在区间上有且仅有三个零点,则的取值范围是__________.
14．某儿童游乐场有一台打地鼠游戏机,共有9个洞.游戏开始后,每次有且仅有一只地鼠从某洞中冒出,地鼠第1次从1号洞冒出来.假设游戏过程中地鼠从上一个洞继续冒出的概率为,从其它洞冒出的可能性相等,则地鼠第3次从1号洞冒出的概率是__________.假设游戏结束时,地鼠一共冒出次,则地鼠从1号洞冒出的次数期望值为__________.
四、解答题
15．车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素,汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过实验测得轿车行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据,如下表所示:
,…,,
（1）求该品牌轮胎凹槽深度h与行驶里程x的相关系数r,并判断二者之间是否具有很强的线性相关性;(结果保留两位有效数字)
（2）根据我国国家标准规定:轿车轮胎凹槽安全深度为1.6mm(当凹槽深度低于1.6mm时刹车距离增大,驾驶风险增加,必须更换新轮胎).某人在保养汽车时将小轿车的轮胎全部更换成了该品牌的新轮胎,请问在正常行驶情况下,更换新轮胎后继续行驶约多少公里需对轮胎再次更换?
附:变量x与y的样本相关系数;对于一组数据,,…,,其线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,
16．如图,已知四棱锥的底面ABCD为直角梯形,,,,,为等边三角形.
（1）证明:;
（2）若二面角的大小为,求二面角的正弦值.
17．在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的焦点为F,A是E上第一象限内的动点.
当直线AF的倾斜角为时,.
（1）求E的方程;
（2）已知点,B,C是E上不同两点.若四边形ABCD是平行四边形,证明:直线AC过定点.
18．己知函数,(且).
（1）讨论的单调性;
（2）若方程有三个不同的实数解,求a的取值范围.
19．已知数列共有项,且,若满足,则称为“约束数列”.记“约束数列”的所有项的和为.
（1）当时,写出所有满足的“约束数列”;
（2）当,时,设;“约束数列”为等差数列.请判断p是q的什么条件,并说明理由;
（3）当,时,求的最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：8名同学成绩数据由小到大重新排列为:7,8,8,8,9,9,10,10,是整数,分位数是第6位数和第7位数的平均数,即.故选C.
2．答案：B
解析：由正弦定理,得,
.,,又,,故选B.
3．答案：A
解析：由,得,化简得,,,故选A.
4．答案：D
解析：由条件,得.故选D.
5．答案：A
解析：设圆锥底面圆半径为r,母线为l,高为h.由题意得解得,,,该圆锥的体积是.故选A.
6．答案：D
解析：如图,为线段的中点,为线段的中点,
,又轴,轴.设,则,.的面积为,
,.,,
,,的方程为,故选D.
7．答案：C
解析：令,得,即,即,,故选C.
8．答案：B
解析：是线段MN的中点,,,.
又,,即.
设,则.过E作x轴的垂线,垂足为R,则,
,.易知,,,
故选B.
9．答案：AD
解析：,当时,,系数为45,A正确;
由组合数性质可知,中间项系数最大,展开式中二项式系数最大的项是第6项,B错误;
令,,得展开式中各项系数之和为,C错误;
当k为奇数时,系数为负数,当k为偶数时,系数为正数,当或时,系数最大,正确.故选AD.
10．答案：ABD
解析：由,得,,,A正确;
由,得,B正确;
设,
则,,
解得,,的虚部为或错误.
又,D正确.故选ABD.
11．答案：ACD
解析：在正方体中,平面,平面平面,
且两平面间的距离为,又的面积三棱锥的体积
A正确;
设的中心为,则,,
,,B错误;
如图,由知,,点P的轨迹
是以为圆心,为半径的圆的一部分,由三段,,
劣弧构成,其长度为圆周长的一半C正确;
,为在方向上的投影,由图可知,当P位于点或的位置时,最小,此时取得最大值,如图所示,建立空间直角坐标系,
则,,,
,D正确.
故选ACD.
12．答案：
解析：,,,.又,故.
13．答案：
解析：令,,,问题转化为函数在区间上有且仅有三个零点,,解得.
14．答案：;
解析：令表示地鼠第n次从1号洞冒出的概率,则,.当地鼠第2次从1号洞冒出时,第3
次从1号洞冒出的概率为;当地鼠第2次没有从1号洞冒出时,第3次从1号洞冒出的概率为,.
同理可得:,,
是以为首项,为公比的等比数列,
,.
游戏结束时,地鼠一共冒出n次,则地鼠从1号洞冒出的次数期望值为.
15．答案：（1）见解析
（2）6.4
解析：（1）计算得,
由公式知,
二者之间具有很强的线性关系.
（2）设轮胎凹槽深度h与行驶里程x的线性回归方程为,
则
线性回归方程为
令,得
即更换新轮胎后继续行驶约6.4万公里需要对轮胎再次更换.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）取AD的中点O,连接线段PO,BO,BD
,
,,为等边三角形,
又,PO,平面POB,平面POB
又平面POB,
（2）如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系
不妨设,则,
由（1）知为二面角的平面角,即
故,,,
设平面PBA的法向量为,
,,
妨取,得
设平面PBC的法向量为,,
不妨取,得...
设二面角的平面角为,则
,即二面角的正弦值为
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）过点A作x轴的垂线,垂足为,作准线的垂线,垂足为,
由抛物线定义,得
直线AF的倾斜角为,,又,
,
故E的方程为
（2）设直线AC方程为.
联立方程组,消去x整理得
设,,,则,
四边形ABCD是平行四边形,,
,即
代入中,得,即
故直线AC过定点
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）解法一:
令,则
在R上单调递增.
又,当时,,即;当时,,即
在上单调递减,在上单调递增.
解法二:
①当时,由得,由得
在上单调递减,在上单调递增
②当时,同理可得在上单调递减,在上单调递增.
综上,当时,在上单调递减,在上单调递增
（2）解法一:由,得,易得
令,则
又为偶函数,
由（1）知在上单调递增,,即有三个不同的实数解.
令,由,得;由,得,
在上单调递增,在上单调递减,且,
在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减
当时,;当时,,故
解得或,故a的取值范围是
解法二:由得,易得
令,则在上单调递减,在上单调递增.
由,得或
两边同时取以e为底的对数,得或,
,即有三个不同的实数解
下同解法一.
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）当时,所有满足的“约束数列”有:
①1,1,2,1,1;
②1,1,1,2,1;
③1,2,1,1,1,…
（2）是的充分不必要条件
①当时,,.
则
当且仅当时,成立
“约束数列”是公差为1的等差数列
②当“约束数列”是等差数列时,由,得,或,或
若,则的公差为0,;
若,则的公差为,;
若,则的公差为1,
即当“约束数列”是等差数列时,或或2024.
由①②,得p是q的充分不必要条件
（3）,,要使得取最大值,则
当且仅当同时满足以下三个条件时,取最大值.
①当时,;
②当时,;
③当时,
行驶里程万km
0.0
0.4
1.0
1.6
2.4
2.8
3.4
4.4
轮胎凹槽深度
8.0
7.8
7.2
6.2
5.6
4.8
4.4
4.0