福建省泉州市第七中学2023-2024学年高二下学期期中数学试卷

这是一份福建省泉州市第七中学2023-2024学年高二下学期期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）随机变量ξ的分布列如表格所示，其中2b＝a+c，则b等于（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
4．（5分）将A、B、C、D、E排成一列，要求A、B、C在排列中顺序为“A、B、C”或“C、B、A”（可以不相邻），这样的排列数有多少种（ ）
A．12种B．20种C．40种D．60种
5．（5分）曲线C：xy＝1（x＞0）上到直线x+16y+2＝0距离最短的点坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）（x2﹣x+y）5的展开式中x5y2的系数为（ ）
A．﹣10B．10C．﹣30D．30
7．（5分）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（ ）
A．22种B．24种C．25种D．27种
8．（5分）已知函数，若y＝f（x）﹣kx恰有两个零点，则k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
（多选）9．（6分）已知函数f（x）＝x﹣sinx，则（ ）
A．f（x）为奇函数
B．f（x）为其定义域上的减函数
C．f（x）有唯一的零点
D．f（x）的图象与直线y＝1相切
（多选）10．（6分）设函数f（x，y）＝（1+my）x（m＞0，y＞0），则下列说法正确的是（ ）
A．若x∈N*时，则f（x、y）的展开式中常数项为1
B．当m＝3时，则f（7，y）的展开式中二项式系数最大的项为945y2
C．若f（4，y）＝a0+a1y+a2y2+a3y3+a4y4，且a3＝32，则m＝2
D．当m＝2，若f（4，y）＝a0+a1y+a2y2+a3y3+a4y4，则ai＝81
（多选）11．（6分）2023年旅游市场强劲复苏，7，8月的暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择．事件M为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件M与N互斥B．P（N|M）＝P（M|N）
C．D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．若有两空，则第一空2分，第二空3分．）
12．（5分）某质点沿直线运动的位移s（m）与时间t（min）的关系是s（t）＝t2+t，则质点在t＝2min时的瞬时速度为 m/min．
13．（5分）某校准备参加2024年高中数学联赛，把10个选手名额分配给高三年级的3个教学班．若每班至少一个名额，则不同的分配方案有 种．（用数字作答）
14．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13分）已知函数f（x）＝+lnx（a∈R）．
（1）当a＝2时，求函数f（x）在[1，e]的最小值和最大值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
16．（15分）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点．
（1）证明：PO⊥平面ABCD；
（2）若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
17．（15分）ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术．在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%．
（1）在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳．现从这8个问题中抽取3个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列；
（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为10%．
（i）求ChatGPT的回答被采纳的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率．
18．（17分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，离心率e＝2，点A到渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设M是双曲线C上任意一点，且M在第一象限，直线MA与MF的倾斜角分别为α1，α2，求2α1+α2的值．
19．（17分）已知函数f（x）＝ex+e﹣x+（2﹣b）x，g（x）＝ax2+b（a，b∈R），若曲线y＝g（x）在x＝1处的切线方程y＝2x+1+f′（0）．
（1）求实数a，b的值；
（2）若不等式f（x）≥kg（x）﹣2k+2对任意x∈R恒成立，求k的取值范围；
（3）设θ1，θ2，θ3，…，θn∈（0，），其中n∈N*，n≥2，求证：f（sinθ1）f（csθn）+f（sinθ2）f（csθn﹣1）+…+f（sinθn﹣1）f（csθ2）+f（sinθn）f（csθ1）＞6n．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：抛物线的焦点坐标为：（0，），
故选：D．
2．（5分）随机变量ξ的分布列如表格所示，其中2b＝a+c，则b等于（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，由分布列可得：，
解可得：3b＝1，即．
故选：A．
3．（5分）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在[﹣1，0]上的逐渐增大，
故函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．
导函数f′（x）的值在[0，1]上的逐渐减小，
故函数f（x）在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，
故选：B．
4．（5分）将A、B、C、D、E排成一列，要求A、B、C在排列中顺序为“A、B、C”或“C、B、A”（可以不相邻），这样的排列数有多少种（ ）
A．12种B．20种C．40种D．60种
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、三人按“A，B，C”的顺序排列，排好后有4个空位，
在4个空位中选1个安排D，有4种选法，4人排好后有5个空位，
在5个空位中选1个安排E，有5种选法，
则一共有4×5＝20种安排方法，
②、三人按“C，B，A”的顺序排列，
同理，此时有20种排列方法；
综合可得：这样的排列有20+20＝40种；
故选：C．
5．（5分）曲线C：xy＝1（x＞0）上到直线x+16y+2＝0距离最短的点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设曲线C：xy＝1（x＞0）上的点A的坐标为（m，），m＞0，
则点A到直线x+16y+2＝0的距离d＝＝，
当且仅当m＝，即m＝4时，等号成立，此时点A的坐标为（4，）．
故选：B．
6．（5分）（x2﹣x+y）5的展开式中x5y2的系数为（ ）
A．﹣10B．10C．﹣30D．30
【解答】解：（x2﹣x+y）5的展开式中x5y2项为y2•（x2）2•（﹣x）＝﹣30x5y2，
即（x2﹣x+y）5的展开式中x5y2的系数为﹣30．
故选：C．
7．（5分）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（ ）
A．22种B．24种C．25种D．27种
【解答】解：法一：根据题意，正方形ABCD的边长为2个单位，则其周长是8，
若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则三次骰子的点数之和是8或16，
若三次骰子的点数之和是8，有1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共5种组合，
若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，
其中1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，这5种组合有C31＝3种顺序，
1、2、5，1、3、4，这2种组合有A33＝6种顺序，
则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法3×5+2×6＝27种，
法二：同法一：分析可得三次骰子的点数之和是8或16，
若三次骰子的点数之和是8，相当于8个点数中用2个隔板，有C72＝21种顺序，
若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，每种组合有C31＝3种顺序，
则此时有2×3＝6种顺序，
抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法21+6＝27种，
故选：D．
8．（5分）已知函数，若y＝f（x）﹣kx恰有两个零点，则k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：因为y＝f（x）﹣kx恰有两个零点，即f（x）＝kx恰有两个零点，
所以令g（x）＝，
则y＝g（x）与y＝k有两个交点，
又因为当x＞0时，g（x）＝1﹣，g'（x）＝，
所以g（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
所以当x＞0时，g（x）min＝g（e）＝1﹣，且当x＞e时，g（x）＝1﹣＜1，
当x＜0时，g（x）＝1+，g'（x）＝﹣＞0，
所以g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且g（x）＞1，
作出g（x）的大致图象，如图所示：
因为y＝g（x）与y＝k有两个交点，
由图可得k∈（1﹣，1）∪（1，+∞）．
故选：D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
（多选）9．（6分）已知函数f（x）＝x﹣sinx，则（ ）
A．f（x）为奇函数
B．f（x）为其定义域上的减函数
C．f（x）有唯一的零点
D．f（x）的图象与直线y＝1相切
【解答】解：f（﹣x）＝﹣x+sinx＝﹣f（x），故f（x）为奇函数，A正确；
由题意f（x）＝x﹣sinx的定义域为R，对函数求导得 f'（x）＝1﹣csx≥0，
所以f（x）为R上的增函数，B正确；
f（x）为R上的增函数，f（0）＝0，所以f（x）有唯一的零点，C正确；
令f'（x）＝1﹣csx＝0，可得csx＝1，即x＝2kπ，k∈Z，
故斜率为0的切线方程为y﹣（2kπ﹣sin2kπ）＝0（x﹣2kπ），即y＝2kπ，D错误．
故选：AC．
（多选）10．（6分）设函数f（x，y）＝（1+my）x（m＞0，y＞0），则下列说法正确的是（ ）
A．若x∈N*时，则f（x、y）的展开式中常数项为1
B．当m＝3时，则f（7，y）的展开式中二项式系数最大的项为945y2
C．若f（4，y）＝a0+a1y+a2y2+a3y3+a4y4，且a3＝32，则m＝2
D．当m＝2，若f（4，y）＝a0+a1y+a2y2+a3y3+a4y4，则ai＝81
【解答】解：对于A，（1+my）x的通项公式为C（my）r，当r＝0时，C•m0＝1，故A选项正确；
对于B，当m＝3，f（7，y）的通项公式为C（3y）r＝3rCyr，当r＝3或r＝4时，二项式系数最大，因此二项式系数最大的项有两项，故B选项错误；
对于C选项，由于a3＝Cm3＝32，所以m＝2，故C选项正确；
对于D，若m＝2，则f（4，y）＝（1+2y）4，令x＝1，则a0+a1+a2+a3+a4＝（1+2）4＝81，故D选项正确．
故选：ACD．
（多选）11．（6分）2023年旅游市场强劲复苏，7，8月的暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择．事件M为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件M与N互斥B．P（N|M）＝P（M|N）
C．D．
【解答】解：选项A，甲选择北京和乙选择上海可能同时发生，不互斥，错误；
选项B，由题意，事件总数为＝36种，事件M，N的个数均为+＝12种，
则P（M）＝P（N）＝＝，P（MN）＝＝，
P（N|M）＝＝，P（M|N）＝＝，即P（N|M）＝P（M|N），正确；
选项C，P（）＝1﹣P（MN）＝1﹣＝，正确；
选项D，P（M∪N）＝P（M）+P（N）﹣P（MN）＝+﹣＝，错误．
故选：BC．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．若有两空，则第一空2分，第二空3分．）
12．（5分）某质点沿直线运动的位移s（m）与时间t（min）的关系是s（t）＝t2+t，则质点在t＝2min时的瞬时速度为 5 m/min．
【解答】解：s（t）＝t2+t，
则s'（t）＝2t+1，
故s'（2）＝2×2+1＝5m/min．
故答案为：5．
13．（5分）某校准备参加2024年高中数学联赛，把10个选手名额分配给高三年级的3个教学班．若每班至少一个名额，则不同的分配方案有 36 种．（用数字作答）
【解答】解：根据题意，只须把10个名额分成3份，每份至少一个名额即可，分别对应3个班，
选用隔板法，即将10个名额排成一列，共9个间隔即空位，从其9个空位中，选取2个，插入隔板就符合题意，
即＝36种分配方案．
故答案为：36．
14．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是 13 ．
【解答】解：∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，
∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，
∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，
∴△AF1F2为等边三角形，
∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，
∴，
由等腰三角形的性质可得，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，
设直线DE方程为y＝，D（x1，y1），E（x2，y2），
将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx﹣32c2＝0，
由韦达定理可得，，，
|DE|＝＝＝＝，解得c＝，
△ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|＝4a＝8c＝．
故答案为：13．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13分）已知函数f（x）＝+lnx（a∈R）．
（1）当a＝2时，求函数f（x）在[1，e]的最小值和最大值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
【解答】解：（1）当a＝2时，，x∈[1，e]，
则f′（x）＝﹣+＝，
令f′（x）＝0得，x＝2，
所以当x∈[1，2]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（2，e]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x＝2时，f（x）取得极小值，也是最小值f（2）＝1+ln2，
又因为f（1）＝2，f（e）＝1+＜2，
所以f（x）的最大值为2，
综上所述，函数f（x）在[1，e]的最小值为1+ln2，最大值2；
（2）因为，
所以，
当a≤0时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故此时f（x）在（0，+∞）上为增函数；
当a＞0时，令f′（x）＝0，得x＝a，
当0＜x＜a时，f'（x）＜0；当x＞a时，f'（x）＞0，
故此时f（x）在（a，+∞）上为增函数；在（0，a）上为减函数，
综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数；当a＞0时，f（x）在（a，+∞）上为增函数；在（0，a）上为减函数．
16．（15分）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点．
（1）证明：PO⊥平面ABCD；
（2）若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵BD⊥PA，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，又PO⊂平面PAC，∴BD⊥PO，
∵PA＝PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，
∵AC，BD⊂平面ABCD，AC∩BD＝O，
∴PO⊥平面ABCD；
（2）因为菱形的边长为，
由余弦定理得，
又∠ABC∈（0，π）∴，
∴，从而可求得：BD＝2，
根据第（1）问可知：PO⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，
∴PO⊥AC，又AC⊥BD，∴OA，OB，PO两两垂直，
∴分别以OA，OB，PO所在直线为x轴，y轴，z轴，建系如图，则根据题意可得：
，设P（0，0，t）（t＞0），
∴，，
设为平面PCD的一个法向量，
则，可得，取，
∵BO⊥平面PAC，∴平面PAC的一个法向量为，
∵平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，
∴＝，
∴57t2＝48t2+36，∴t2＝4，又t＞0，
∴t＝2，即|OP|＝2，
∴P（0，0，2），∴，
又平面PCD的一个法向量，
记直线PB与平面PCD所成角为θ，
则．
17．（15分）ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术．在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%．
（1）在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳．现从这8个问题中抽取3个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列；
（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为10%．
（i）求ChatGPT的回答被采纳的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率．
【解答】解：（1）易知的X所有可能取值为0，1，2，3，
则，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝＝，，
所以X的分布列为：
（2）（i）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“ChatGP7的回答被采纳”为事件C，
则P（A）＝0.9，P（B）＝0.1，P（C|B）＝0.5，P（C|A）＝0.85，
所以P（C）＝P（CB）+P（CA）＝P（B）P（C|B）+P（A）P（C|A）＝0.1×0.5+0.9×0.85＝0.815；
（ii）若ChatGPT的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为．
18．（17分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，离心率e＝2，点A到渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设M是双曲线C上任意一点，且M在第一象限，直线MA与MF的倾斜角分别为α1，α2，求2α1+α2的值．
【解答】解：（1）由题意得，，解得，a＝1，b＝，
所以双曲线C的方程为；
（2）由（1）知双曲线C的方程为，
所以左顶点A（﹣1，0），右焦点F（2，0），
设M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则．当x0＝2时，y0＝3，此时kMA＝1，，，所以2α1+α2＝π．
当x0≠2时，，，
所以＝＝﹣tanα2，
又由点M在第一象限，易知，α2∈（0，π），
所以2α1+α2＝π，
综上2α1+α2的值为π．
19．（17分）已知函数f（x）＝ex+e﹣x+（2﹣b）x，g（x）＝ax2+b（a，b∈R），若曲线y＝g（x）在x＝1处的切线方程y＝2x+1+f′（0）．
（1）求实数a，b的值；
（2）若不等式f（x）≥kg（x）﹣2k+2对任意x∈R恒成立，求k的取值范围；
（3）设θ1，θ2，θ3，…，θn∈（0，），其中n∈N*，n≥2，求证：f（sinθ1）f（csθn）+f（sinθ2）f（csθn﹣1）+…+f（sinθn﹣1）f（csθ2）+f（sinθn）f（csθ1）＞6n．
【解答】解：（1）因为f（x）＝ex+e﹣x+（2﹣b）x，所以f′（x）＝ex﹣e﹣x+（2﹣b），所以f′（0）＝2﹣b，
又因为g（x）＝ax2+b，所以g′（x）＝2ax，所以g′（x）＝2ax，
又因为曲线y＝g（x）在x＝1处的切线方程y＝2x+1+f′（0），
所以g′（1）＝2a＝2，解得a＝1；
所以g（1）＝1+b，所以1+b＝2+1+2﹣b，解得b＝2；
（2）不等式f（x）≥kg（x）﹣2k+2可化为ex+e﹣x﹣kx2﹣2≥0，设h（x）＝ex+e﹣x﹣kx2﹣2，
则h′（x）＝ex﹣e﹣x﹣2kx，设s（x）＝ex﹣e﹣x﹣2kx，则s′（x）＝ex+e﹣x﹣2k；
①当k≤1时，s′（x）＝ex+e﹣x﹣2k≥2﹣2k≥0，所以s（x）在R上单调递增；
又因为s（0）＝0，所以当x＜0时，s（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）在（﹣∞，0）上单调递减；
当x＞0时，s（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增；
所以h（x）≥h（0）＝0；
②当k＞1时，令s′（x）＜0，得e2x﹣2kex+1＜0，解得k﹣＜ex＜k+，ln（k﹣）＜x＜ln（k+），
所以s（x）在（0，ln（k+））上单调递减，所以s（x）＜s（0）＝0，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，h（x）＜h（0）＝0，不合题意；
综上，k的取值范围是（﹣∞，1]；
（3）证明：由（2）知，当k＝1时，ex+e﹣x≥x2+2，
所以f（x1）•f（x2）＝+++≥++4，
所以f（sinθi）f（csθn﹣i+1）+f（csθi）f（sinθn﹣i+1）≥12，
所以2[f（sinθ1）f（csθn）+f（sinθ2）f（csθn﹣1）+…+f（sinθn﹣1）f（csθ2）+f（sinθn）f（csθ1）＞12n，
所以f（sinθ1）f（csθn）+f（sinθ2）f（csθn﹣1）+…+f（sinθn﹣1）f（csθ2）+f（sinθn）f（sinθ1）＞6n．ξ
﹣1
0
1
P
a
b
c
ξ
﹣1
0
1
P
a
b
c
X
0
1
2
3
P