2024届广东省湛江第一中学高考数学模拟试卷

这是一份2024届广东省湛江第一中学高考数学模拟试卷，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页，19题，满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题（下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出正确的选项。本题有8个小题，每小题5分，共40分）
1．若复数z满足3-4iz=4+3i，则z的虚部为（ ）
A．-4B．-45C．4D．45
2．已知集合M={x|x2-3x-4≤0}，N={x|y=lnx-2}，则M∩N=（ ）
A．2,4B．2,4C．-1,4D．-1,4
3．已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F2,0，若F关于渐近线y=bax的对称点恰好落在渐近线y=-bax上，则△ORF的面积为（ ）
A．B．2C．3D．23
4．已知直线y=kx+1与圆x2+y2=4相交于M,N两点，若MN=14，则k=（ ）
A．12B．1C．2D．2
5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金160万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.1≈0.04，lg2≈0.30）
A．2024年B．2025年C．2026年D．2027年
6．函数y=3-2cs-2x-π3的单调递增区间是（ ）
A．kπ-2π3，kπ-π6k∈ZB．kπ-π6，kπ+π3k∈Z
C．2kπ+π3，2kπ+4π3k∈ZD．2kπ-π3，2kπ+π6k∈Z
7．在△ABC中，已知D为边BC上一点，CD=λDB，∠BAD=π4．若的最大值为2，则常数λ的值为（ ）
A．10-34B．10+34C．10+14D．10-14
8．已知x1,x2是函数fx=x2-2ax+2lnx的两个极值点，且x10)交于A,B两点，点T是椭圆上的一点，且满足TA⊥TB，点P,Q分别是△OAT,△OBT的重心，点是△TAB的外心.记直线的斜率分别为k1,k2,k3，若k1k2k3=-18，则椭圆C的离心率为 .
四、解答题（本题有5题，15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分。）
15．（13分）已知函数f(x)=lnx+2ax, a∈R，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值为3，求实数a的值.
16．（15分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90∘，CB=1，CA=3，AA1=6，M为侧棱上一点，AM⊥BA1．
(1)求证：AM⊥平面A1BC；
(2)求二面角B-AM-C的大小；
(3)求点C到平面ABM的距离．
17．（15分）已知椭圆C的方程x23+y2=1椭圆左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点，∠F1PF2=120°.
(1)求△F1PF2的面积；
(2)在椭圆C上找一点P，使它到直线l：x+y+4=0的距离最短，并求出最短距离.
18．（17分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了A,B两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.
(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从A,B两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择A健身中心健身的概率分别为12,13,23，求这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率；
(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A健身中心的概率为12.若丁周六选择A健身中心，则周日仍选择A健身中心的概率为14；若周六选择B健身中心，则周日选择A健身中心的概率为.求丁周日选择B健身中心健身的概率；
(3)现用健身指数kk∈0,10来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过n.若抽取次数的期望值不超过23，求n的最大值.
参考数据：0.9829≈0.557,0.9830≈0.545,0.9831≈0.535.
19．（17分）定义：maxa,b=a,a≥b,b,a0,b>0的右焦点为F2,0，若F关于渐近线y=bax的对称点恰好落在渐近线y=-bax上，则△ORF的面积为（ ）
A．B．2C．3D．23
【答案】A
【分析】根据题意，由点F与点关于直线y=bax对称可得∠POF=60°，PO⊥PF，再由三角形的面积公式，即可得到结果.
【详解】
设与渐近线y=bax的交点为P，
由题意可知OF=2，∠POF=60°，PO⊥PF，
所以PF=3,PO=1，
则S△ORF=2S△POF=2×12×3×1=3.
故选：A
4．已知直线y=kx+1与圆x2+y2=4相交于M,N两点，若MN=14，则k=（ ）
A．12B．1C．2D．2
【答案】B
【分析】
先计算直线kx-y+1=0到圆心O的距离d，然后根据勾股定理得到d2+14MN2=4，从而代入条件即可解出k2，从而得到k.
【详解】
如图所示：

设坐标原点O到直线kx-y+1=0的距离为d，则d=0⋅k-0+1k2+1=1k2+1.
设线段MN的中点为P，则MN⊥OP，根据勾股定理，有4=OM2=OP2+PM2=d2+14MN2.
由MN=14，得4=d2+14MN2=1k2+1+144，故1k2+1=12，解得k2=1，故k=1.
故选：B.
5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金160万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.1≈0.04，lg2≈0.30）
A．2024年B．2025年C．2026年D．2027年
【答案】C
【分析】假设经过n年后全年投入的研发资金开始超过200万元，列不等式求解即可.
【详解】假设经过n年后全年投入的研发资金开始超过200万元，
即160⋅(1.1)n>200，所以n>1-3lg2lg1.1=，
因此超过200万元的年份是2026年．
故选：C．
6．函数y=3-2cs-2x-π3的单调递增区间是（ ）
A．kπ-2π3，kπ-π6k∈ZB．kπ-π6，kπ+π3k∈Z
C．2kπ+π3，2kπ+4π3k∈ZD．2kπ-π3，2kπ+π6k∈Z
【答案】B
【分析】根据题意要求函数y的单调递增区间即求函数y=cs2x+π3的递减区间即可求解.
【详解】由题意得y=3-2cs-2x-π3=3-2cs-2x+π3=3-2cs2x+π3，
要求y的递增区间即求y=cs2x+π3的递减区间，
当2kπ≤2x+π3≤π+2kπ，k∈Z，即kπ-π6≤x≤π3+kπ，k∈Z时，
y=cs2x+π3单调递减，即y=3-cs2x+π3单调递增，故B正确.
故选：B.
7．在△ABC中，已知D为边BC上一点，CD=λDB，∠BAD=π4．若的最大值为2，则常数λ的值为（ ）
A．10-34B．10+34C．10+14D．10-14
【答案】D
【分析】令CD=λDB=2λ且0≤λ≤1，求得△ABD外接圆半径为r=2，若B(-1,0),D(1,0)，结合已知得点A在圆x2+(y-1)2=2被BD分割的优弧上运动，进而确定的最大，只需AC与圆相切，综合运用两点距离、圆的性质、正弦定理、三角恒等变换列方程求参数λ.
【详解】令CD=λDB=2λ且0≤λ≤1，即，则△ABD外接圆半径为r=BD2sin∠BAD=2，
若B(-1,0),D(1,0)，△ABD的外接圆方程为(x-m)2+(y-n)2=2，
所以m+12+n2=2m-12+n2=2⇒m=0n=±1，令圆心为(0,1)，
即点A在圆x2+(y-1)2=2被BD分割的优弧上运动，如下图，
要使的最大，只需AC与圆相切，由上易知C(1+2λ,0)，
则|AC|=(1+2λ)2+1-2=2λ(λ+1)，而|BC|=2(λ+1)，由圆的性质有∠DAC=∠B，
△ABC中|AC|sin∠B=|BC|sin(∠B+π4)，∠ACB=π-(2∠B+π4)=3π4-2∠B，显然∠B0，则f'x=1x-2ax2=x-2ax2，
当a≤0时，f'x>0恒成立，故fx在0,+∞上单调递增；
当a>0时，令f'x=0，得x=2a，
当x∈0,2a时，f'x