广东省高考数学模拟试卷与解析(文科)

这是一份广东省高考数学模拟试卷与解析(文科)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省高考数学模拟试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合M={x|x2≤1}，N={﹣2，0，1}，则M∩N=（　　）
A．{﹣2，0，1} B．{0，1} C．{﹣2，0} D．∅
2．设数列{an}满足，i是虚数单位，n∈N*，则数列{an}的前2015项和为（　　）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
3．设向量=（2，﹣4），=（6，x），若||=||，则x=（　　）
A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12
4．一个几何体的三视图如图所示，其中，俯视图是半径为2、圆心角为的扇形．该几何体的表面积是（　　）

A．3π+12 B．5π C．5π+12 D．8π+12
5．实数x，y满足，则|x|+|y|的最大值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．14
6．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（　　）

A．9 B．121 C．130 D．17021
7．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx，ω＞0是常数，x∈R，且图象上相邻两个最高点的距离为π，则下列说法正确的是（　　）
A．ω=1 B．曲线y=f（x）关于点（π，0）对称
C．曲线y=f（x）与直线对称 D．函数f（x）在区间单调递增
8．若a，b都是不等于1的正数，则“loga2＞logb2”是“2a＞2b”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
9．已知（a＞0，b＞0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点，则有（　　）
A．最小值9 B．最大值9 C．最小值4 D．最大值4
10．已知F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线上一点，延长PF交抛物线于点Q，若|PF|=5，则|QF|=（　　）
A． B． C． D．2
11．某商店经营一批进价为每千克3.5元的商品，调查发现，此商品的销售单价x（元/千克）与日销量y（千克）之间有如下关系：
x
5
6
7
8
y
20
17
15
12
若x与y具有线性相关关系y=x+，且=﹣2.6为使日销售利润最大，则销售单价应定为（结果保留一位小数）（　　）
A．7.5 B．7.8 C．8.1 D．8.4
12．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，满足f（x+3）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{an}满足a1=﹣1，且前n项和Sn满足，则f（a5）+f（a6）=（　　）
A．3 B．﹣3 C．0 D．6
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．从2，0，1，6四个数中随机取两个数组成一个两位数，并要求所取得较大的数为十位数字，较小的数为个位数字，则所组成的两位数是奇数的概率P=_______．
14．若双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线与圆C：相切，且圆C的圆心是双曲线的其中一个焦点，则双曲线的实轴长为_______．
15．已知四面体P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=1，PB=AC=2，则球O的表面积S=_______．
16．若数列{an}满足a1=1，且（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn=_______．
　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，若向量与共线．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若，求a的大小．
18．环保组织随机抽检市内某河流2015年内100天的水质，检测单位体积河水中重金属含量x，并根据抽检数据绘制了如下图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）假设某企业每天由重金属污染造成的经济损失y（单位：元）与单位体积河水中重金属含量x
的关系式为，若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天经济损失不超过500元的概率．

19．如图，在直三棱柱ABA1﹣DCD1中，，DD1=DA=DC=a，点E、F分别是BC、DC的中点．
（Ⅰ）证明：AF⊥ED1；
（Ⅱ）求点E到平面AFD1的距离．

20．已知椭圆Σ：（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；
（Ⅱ）若直线l经过M（0，1），与Σ交于A、B两点，，求l的方程．
21．已知函数f（x）=（x2+2ax）e﹣x（a∈R）．
（Ⅰ）当时，试证明f′（x）≤1；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间（1，3）上的单调性．
　
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．
（Ⅰ）求证：AC平分∠DAB；
（Ⅱ）若AB=9，AC=6，求CD．

　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，α∈[0，2π）），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ=2．
（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的直角坐标．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．（Ⅰ）解不等式|3﹣2x|＞5；
（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．
　
广东省高考数学模拟试卷（文科）试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合M={x|x2≤1}，N={﹣2，0，1}，则M∩N=（　　）
A．{﹣2，0，1} B．{0，1} C．{﹣2，0} D．∅
【考点】交集及其运算．
【分析】求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．
【解答】解：由M中不等式x2≤1，解得：﹣1≤x≤1，即M={x|﹣1≤x≤1}，
∵N={﹣2，0，1}，
∴M∩N={0，1}，
故选：B．
　
2．设数列{an}满足，i是虚数单位，n∈N*，则数列{an}的前2015项和为（　　）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】利用复数的周期性、运算法则即可得出．
【解答】解：，i是虚数单位，n∈N*，
∴a1=i，a2=﹣1，a3=﹣i，a4=1，
2015÷4=503×4+3，
∴数列{an}的前2015项和为i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1，
故选：D．
　
3．设向量=（2，﹣4），=（6，x），若||=||，则x=（　　）
A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】对||=||两边平方，得出，列出方程解出x．
【解答】解：∵||=||，
∴=，
∴，
∴12﹣4x=0，解得x=3．
故选：A．
　
4．一个几何体的三视图如图所示，其中，俯视图是半径为2、圆心角为的扇形．该几何体的表面积是（　　）

A．3π+12 B．5π C．5π+12 D．8π+12
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体是四分之一圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由圆的面积公式、圆柱的侧面积公式求出该几何体的表面积．
【解答】解：根据三视图可知几何体是四分之一圆柱，
且底面圆的半径是2，母线长为3，
∴该几何体的表面积S=
=5π+12，
故选：C．
　
5．实数x，y满足，则|x|+|y|的最大值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．14
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=|x|+|y|，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：设z=|x|+|y|，即|y|=﹣|x|+z，
即y=﹣|x|+z或y=|x|﹣z，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移y=﹣|x|+z，当曲线y=﹣|x|+z经过点A时，y=﹣|x|+z对应的截距最大，此时z最大，
由，得，即A（﹣2，8），此时z=|﹣2|+|8|=2+8=10，
平移y=|x|﹣z，当曲线y=|x|﹣z经过点C时，y=|x|﹣z对应的截距最小，此时z最大，
由，得，即C（4，2），此时z=|4|+|2|=2+4=6，
综上|x|+|y|的最大值为10，
故选：C．

　
6．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（　　）

A．9 B．121 C．130 D．17021
【考点】程序框图．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当c=16900时，不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．
【解答】解：模拟执行程序，可得
a=1，b=2，c=3
满足条件c＜2016，a=2，b=9，c=11
满足条件c＜2016，a=9，b=121，c=130
满足条件c＜2016，a=121，b=16900，c=17021
不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．
故选：B．
　
7．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx，ω＞0是常数，x∈R，且图象上相邻两个最高点的距离为π，则下列说法正确的是（　　）
A．ω=1 B．曲线y=f（x）关于点（π，0）对称
C．曲线y=f（x）与直线对称 D．函数f（x）在区间单调递增
【考点】正弦函数的图象．
【分析】化简可得f（x）=sin（ωx﹣），分别由三角函数的周期性、对称性和单调性，逐个选项验证可得．
【解答】解：化简可得f（x）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣），
∵函数f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，
∴周期T==π，解得ω=2，故A错误；
函数解析式为f（x）=sin（2x﹣），
显然图象不过（π，0），故B错误；
当x=时，函数值取不到±，故C错误；
解2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+可得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，
故函数的一个单调递增区间为（﹣，），故D正确．
故选：D．
　
8．若a，b都是不等于1的正数，则“loga2＞logb2”是“2a＞2b”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由loga2＜logb2和2a＞2b分别求出a，b的关系，然后利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法得答案．
【解答】解：由loga2＞logb2，得＜，
∴＜，
得0＜a＜b＜1或0＜b＜1＜a或b＞a＞1，
由2a＞2b，得a＞b，
∴loga2＞logb2”是“2a＞2b”的非必要非充分条件．
故选：D．
　
9．已知（a＞0，b＞0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点，则有（　　）
A．最小值9 B．最大值9 C．最小值4 D．最大值4
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，化简可得4a+b=1，由=（4a+b）（），化简整理，运用基本不等式即可得到所求最小值．
【解答】解：（a＞0，b＞0）的导数为f′（x）=2ax﹣，
可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=2a﹣b，
切点为（1，a+b），
可得2a﹣b=，
化为4a+b=1，
则有=（4a+b）（）=5++≥5+2=9，
当且仅当b=2a=时，取得最小值9．
故选：A．
　
10．已知F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线上一点，延长PF交抛物线于点Q，若|PF|=5，则|QF|=（　　）
A． B． C． D．2
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的性质得出P点坐标（4，4），根据点共线得出Q点坐标，从而得出|QF|．
【解答】解：抛物线的准线方程为：x=﹣1，交点F（1，0）．
设P（，a），∵|PF|=5，∴+1=5，解得a=4，即P（4，4）．
设Q（，b），∵P，F，Q三点共线，∴kPF=kQF．
即，解得b=﹣1．即Q（，﹣1）．
∴|QF|==．
故选：B．
　
11．某商店经营一批进价为每千克3.5元的商品，调查发现，此商品的销售单价x（元/千克）与日销量y（千克）之间有如下关系：
x
5
6
7
8
y
20
17
15
12
若x与y具有线性相关关系y=x+，且=﹣2.6为使日销售利润最大，则销售单价应定为（结果保留一位小数）（　　）
A．7.5 B．7.8 C．8.1 D．8.4
【考点】线性回归方程．
【分析】利用、求出线性相关关系y=x+，写出日销售利润函数z，再根据二次函数的图象与性质求出x取何值时函数有最大值．
【解答】解：计算=（5+6+7+8）=6.5，
=（20+17+15+12）=16，
代人线性相关关系y=x+中，且=﹣2.6，
即16=﹣2.6×6.5+，
解得=32.9，
所以y=﹣2.6x+32.9，
则日销售利润z=y•（x﹣3.5）
=（﹣2.6x+32.9）（x﹣3.5）
=﹣2.6x2+42x﹣32.9×3.5，
所以当x=﹣≈8.1时，
即销售单价应定为8.1（元/千克）时，日销售利润最大．　
故选：C．
　
12．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，满足f（x+3）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{an}满足a1=﹣1，且前n项和Sn满足，则f（a5）+f（a6）=（　　）
A．3 B．﹣3 C．0 D．6
【考点】函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．
【分析】可由得到Sn=2an+n，从而可得出an=2an﹣1﹣1，这样即可求出a5=﹣31，a6=﹣63，而由f（x+3）=f（x）可知f（x）的周期为3，从而可以得出f（a5）+f（a6）=f（2）+f（0），而由条件可以得出f（2）=3，f（0）=0，从而便可得出f（a5）+f（a6）的值．
【解答】解：由得，Sn=2an+n；
∴an=Sn﹣Sn﹣1=2an+n﹣2an﹣1﹣n+1；
∴an=2an﹣1﹣1，又a1=﹣1；
∴a2=﹣3，a3=﹣7，a4=﹣15，a5=﹣31，a6=﹣63；
由f（x+3）=f（x）知，f（x）的周期为3，且f（﹣2）=﹣3，f（0）=0，f（x）为R上的奇函数；
∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f[2+3×（﹣11）]+f[0+3×（﹣21）]=f（2）+f（0）=3．
故选：A．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．从2，0，1，6四个数中随机取两个数组成一个两位数，并要求所取得较大的数为十位数字，较小的数为个位数字，则所组成的两位数是奇数的概率P=．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】利用列举法求出基本事件总数和所组成的两位数是奇数，包含的基本事件个数，由此能求出所组成的两位数是奇数的概率．
【解答】解：从2，0，1，6四个数中随机取两个数组成一个两位数，并要求所取得较大的数为十位数字，较小的数为个位数字，
基本事件有10，20，21，60，61，62，
所组成的两位数是奇数，包含的基本事件有21，61，
∴所组成的两位数是奇数的概率p==．
　
14．若双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线与圆C：相切，且圆C的圆心是双曲线的其中一个焦点，则双曲线的实轴长为．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得圆C的圆心和半径，双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，化简可得a=b，由c=1，可得a，进而得到实轴长2a．
【解答】解：圆C：的圆心为（1，0），半径为r=，
双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，
由直线和圆相切的条件：d=r，
可得=，
化简为a=b，
由题意可得c=1，
由c2=a2+b2，可得a=b=，
即有双曲线的实轴长为2a=．
故答案为：．
　
15．已知四面体P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=1，PB=AC=2，则球O的表面积S=9π．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】根据条件，根据四面体P﹣ABC构造长方体，然后根据长方体和球的直径之间的关系，即可求出球的半径．
【解答】解：∵PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=1，AB=1，PB=AC=2，
∴构造长方体，则长方体的外接球和四面体的外接球是相同的，
则长方体的体对角线等于球的直径2R，
则2R==3，
∴R=，
则球O的表面积为4πR2=4=9π，
故答案为：9π．

　
16．若数列{an}满足a1=1，且（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn=．
【考点】数列的求和．
【分析】由（n∈N*），利用累加法可得an==2（﹣），从而利用裂项求和法求和．
【解答】解：∵（n∈N*），
∴﹣=2，
﹣=3，
…，
﹣=n，
累加可得，
﹣=2+3+4+5+…+n，
∴=1+2+3+4+5+…+n=，
∴an==2（﹣），
∴Sn=2（1﹣）+2（﹣）+2（﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）
=2（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）
=2（1﹣）=，
故答案为：．
　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，若向量与共线．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若，求a的大小．
【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】（Ⅰ）由向量共线的坐标表示列式，结合正弦定理化为sin（B+C）=sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，进一步得到，由此求得角C的大小；
（Ⅱ）由，结合（Ⅰ）中求得的C的值可得B，得到△ABC是直角三角形，故，，代入即可求得a值．
【解答】解：（Ⅰ）∵向量与共线，
∴c•cosB=（2a﹣b）•cosC，
由正弦定理得，sinCcosB=（2sinA﹣sinB）•cosC，
即sin（B+C）=sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，
又B+C=π﹣A，∴sin（B+C）=sinA，
得，又0＜C＜π，则；
（Ⅱ）由，得cos2B+cos2C=1，
∵，∴，
则或，
又，则，
∴△ABC是直角三角形，故，，
由，得（2a﹣b）2+c2=4，
代入得，，解得．
　
18．环保组织随机抽检市内某河流2015年内100天的水质，检测单位体积河水中重金属含量x，并根据抽检数据绘制了如下图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）假设某企业每天由重金属污染造成的经济损失y（单位：元）与单位体积河水中重金属含量x
的关系式为，若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天经济损失不超过500元的概率．

【考点】频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）由样本的频率分布直方图求出a，
（Ⅱ）由题意可得4x﹣400≤500，或5x﹣600≤500，即可求出
【解答】解：（Ⅰ）依题意，a×50+2×0.004×50+0.005×50+0.006×50=1，
解得a=0.001，
（Ⅱ）解4x﹣400≤500，得x≤225，
解5x﹣600≤500，得x≤220，
所求概率为2×0.004×50+0.005×50+0.006×50+0.001×=0.97．
　
19．如图，在直三棱柱ABA1﹣DCD1中，，DD1=DA=DC=a，点E、F分别是BC、DC的中点．
（Ⅰ）证明：AF⊥ED1；
（Ⅱ）求点E到平面AFD1的距离．

【考点】点、线、面间的距离计算．
【分析】法一：（I）由已知得，DD1⊥DC．利用线面垂直的判定定理可得DD1⊥平面ABCD．于是DD1⊥AF．由已知可得△ADF≌△CDE，得到AF⊥DE．即可证明AF⊥平面D1DE，AF⊥ED1．
（Ⅱ）设三棱锥D1﹣AEF的体积为V，点E到平面AFD1的距离为h，利用=即可得出．
法二：（I）由已知得，可得DD1⊥DC．如图所示，建立空间直角坐标系．计算•=0，即可证明⊥．
（II）设平面AD1F的法向量为=（x，y，z），可得，解得，可得点E到平面AFD1的距离d=．
【解答】法一：（I）证明：由已知得，DD1⊥DC．
连接DE，由已知得AD⊥DD1，又DD1⊥DC，AD∩DC=D，∴DD1⊥平面ABCD．
又AF⊂平面ABCD，∴DD1⊥AF．
DA=DC=a，，∠ADF=∠DCE=90°，△ADF≌△CDE，∠DAF=∠CDE，AF⊥DE．
又DD1∩DE=D，∴AF⊥平面D1DE，AF⊥ED1．
（Ⅱ）设三棱锥D1﹣AEF的体积为V，点E到平面AFD1的距离为h，，
，，
过F作FG⊥AD1于G，则，△AD1F的面积，
∴，解得．）
法二：（I）证明：由已知得，∴DD1⊥DC．
如图所示，建立空间直角坐标系．D（0，0，0），A（a，0，0），C（0，a，0），B（a，a，0），E（，a，0），F（0，，0），
D1（0，0，a）．
=， =．
∵•=﹣++0=0，∴⊥．
∴AF⊥ED1．
（II）解： =（﹣a，0，a），=．
设平面AD1F的法向量为=（x，y，z），则，∴，
取=（1，2，1），
∴点E到平面AFD1的距离d===．


　
20．已知椭圆Σ：（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；
（Ⅱ）若直线l经过M（0，1），与Σ交于A、B两点，，求l的方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由题意可得c=2，求得焦点坐标，运用椭圆的定义可得2a=6，即a=3，运用a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）讨论若l与x轴垂直，求出A，B的坐标，检验不成立；若l与x轴垂直，设l的方程y=kx+1，代入椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理，再由向量共线的坐标表示，可得k的方程，解得k，即可得到所求直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，2c=4，椭圆Σ的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），
由椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|=+=+=6，
即有a=3，则b2=a2﹣c2=5，
则椭圆Σ的方程为；
（Ⅱ）若l与x轴垂直，则l的方程为x=0，
A、B为椭圆短轴上两点，不符合题意；
若l与x轴垂直，设l的方程y=kx+1，
由得，（9k2+5）x2+18kx﹣36=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
由得，，
即有，代入韦达定理，可得
，，即有，
解得，直线l的方程为．
　
21．已知函数f（x）=（x2+2ax）e﹣x（a∈R）．
（Ⅰ）当时，试证明f′（x）≤1；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间（1，3）上的单调性．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
【分析】（Ⅰ）求导，根据导数和函数的最值得关系即可判断；
（Ⅱ）先求导，再求f′（x）=0的值，分类讨论即可求出答案．
【解答】解：（Ⅰ），f′（x）=（﹣x2+x+1）e﹣x…
设g（x）=f′（x），则g′（x）=（x2﹣3x）e﹣x…
解g′（x）=（x2﹣3x）e﹣x=0得，x=0或x=3…
x
（﹣∞，0）
0
（0，3）
3
（3，+∞）
g′（x）
+
0
﹣
0
+
g（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
g（0）=1，g（3）=﹣5e﹣3，且x→+∞时，g（x）=（﹣x2+x+1）e﹣x→0，
所以g（x）的最大值为g（0）=1，
g（x）=f′（x）≤1…
（Ⅱ）f′（x）=﹣[x2+2（a﹣1）x﹣2a]e﹣x…
解f′（x）=0得，或…
x
（﹣∞，x1）
x1
（x1，x2）
x2
（x2，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
↘
极小值
↗
极大值
↘
…
∵f′（1）=e﹣1＞0（即1∈（x1，x2）），解得…
当时，，f（x）在区间（1，3）上的单调递增…
当时，，f（x）在区间上的单调递增，在区间上的单调减…
　
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．
（Ⅰ）求证：AC平分∠DAB；
（Ⅱ）若AB=9，AC=6，求CD．

【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．
【分析】（1）连接BC，利用弦切角定理得出△ADC∽△ACB，故而∠BAC=∠DAC；
（2）根据相似三角形列出比例式计算AD，从而得出CD．
【解答】证明：（Ⅰ）连接BC，
∵AB是⊙O的直径，则∠ACB=∠ADC=90°，
∵CD是⊙O的切线，∴∠DCA=∠CBA．
∴△ADC∽△ACB，
∴∠BAC=∠DAC，
∴AC平分∠DAB．
（Ⅱ）∵△ADC∽△ACB，∴，
∴，解得AD=4，∴．

　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，α∈[0，2π）），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ=2．
（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的直角坐标．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）直线l的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ=2，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入即可化为直角坐标方程．对于曲线C的参数方程为（α为参数，α∈[0，2π）），由x=sinα+cosα得，x2=1+sin2α，代入可得普通方程．又，可得．
（II）联立，．解出即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）直线l的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ=2，可得直角坐标方程：y﹣x=2．
对于曲线C的参数方程为（α为参数，α∈[0，2π）），
由x=sinα+cosα得，x2=1+sin2α，∴x2=y．
又，
∴，与参数方程等价的普通方程是x2=y，．
（II）联立，．解得，
因此交点为（﹣1，1）．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．（Ⅰ）解不等式|3﹣2x|＞5；
（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）利用绝对值的几何运用解不等式|3﹣2x|＞5；
（Ⅱ）问题转化为（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0，通过讨论a的范围求出不等式的解集，从而求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）由|3﹣2x|＞5得|2x﹣3|＞5，
所以2x﹣3＞5或2x﹣3＜﹣5…
解得x＞4或x＜﹣1…，
原不等式的解集为{x|x＞4或x＜﹣1}…
（Ⅱ）由已知得，|x﹣a|≥x﹣1≥0，（x﹣a）2≥（x﹣1）2…
∴（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0，
a=1时，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0恒成立…
a＞1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0得，a≥2x﹣1，从而a≥3…
a＜1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0得，a≤2x﹣1，从而a≤1…
综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1]∪[3，+∞）…