【押题卷5】江苏省宿迁市2024届新高考数学临门卷

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1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知为等差数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．设双曲线的一个顶点坐标为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点。我们可以把看作每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作每天的“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍。那么当“进步”的值是“退步”的值的倍，大约经过（ ）天。（参考数据：）
A． B． C． D．
5．北京故宫博物馆展示着一件来自2200年前的宝物 秦诏文权（如图1所示）。此文权下部呈圆台形，上部为鼻衄，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一。某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2所示），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为，高为，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线与圆，过直线上的任意一点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．在锐角中，若，且，则能取到的值有（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．一项比赛共有位评委，选手完成比赛后，每位评委现场给出一个“初始评分”，去掉一个最高分，去掉一个最低分，剩余位评委的评分为“有效评分”。则下列叙述一定正确的是（ ）
A．同一个选手的“初始评分”的中位数等于“有效评分”的中位数
B．同一个选手的“初始评分”的下四分位数等于“有效评分”的下四分位数
C．同一个选手的“初始评分”的平均数不低于“有效评分”的平均数
D．同一个选手的“初始评分”的方差不低于“有效评分”的方差
10．在平面直角坐标系中，动点到两个定点的距离之积等于，记点的轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线关于原点对称 B．曲线与轴恰有个公共点
C．的周长最小值为 D．的面积最大值为
11．定义在的函数满足，且当时，，则（ ）
A．是奇函数 B．在上单调递减
C． D．
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分。
12．曲线在处的切线方程为 ．
13．已知为虚数单位，，复数在复平面内对应的点在第四象限，写出满足题意的的一个值为 ．
14．素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制的“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的直四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为，高为的正四棱柱构成（图2），则一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的点出发，沿表面到达点的最短路线长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知各项递增的等比数列，其前项和为，满足．
（1）求的通项公式；
（2）记数列的通项公式为，将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前项和．
16．（15分）如图所示，在五面体中，四边形为矩形，平面平面，且，正的边长为．
（1）证明：平面；
（2）若，且直线与平面所成角的最小值为，求的值．
17．（15分）某单位有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．已知第1周选择使用密码．
（1）求第周使用密码的概率；
（2）记前周使用密码的次数为，求．
18．（17分）设抛物线的方程为，其中常数，是抛物线的焦点．
（1）若直线被抛物线所截得的弦长为，求的值；
（2）设是点关于顶点的对称点，是抛物线上的动点，求的最大值；
（3）设，是两条互相垂直，且均经过点的直线，与抛物线交于点，与抛物线交于点，若点满足，求点的轨迹方程．
19．（17分）英国数学家泰勒发现了如下公式：
，
其中，为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．
设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）设实数使得对恒成立，求的最大值．