广西南宁市四大学区2024年初中毕业班适应性测试中考二模数学试题(含解析)

这是一份广西南宁市四大学区2024年初中毕业班适应性测试中考二模数学试题(含解析)，共24页。试卷主要包含了本试卷分第I卷两部分等内容，欢迎下载使用。

数学
（考试形式：闭卷考试时间：120分钟分值：120分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.
2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项.
3.不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1．若向北走5步记作+5步，则向南走7步记作（ ）
A．+7步B．﹣7步C．+12步D．﹣2步
2．下列图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．二次根式的化简结果正确的是（ ）
A．3B．2C．D．
4．如图所示的几何体，它的主视图正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，，，分别交，于点，，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
6．正五边形的外角和为（ ）
A．B．C．D．
7．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．已知是方程的解，那么的值是（ ）
A．B．0C．1D．2
9．某空气质量监测点记载的今年三月份某五天的空气质量指数（AQI）为：35，27，34，40，26，则这组数据的中位数是（ ）
A．26B．27C．33D．34
10．如图，在平面直角坐标系中，将点 绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
11．为鼓励学生积极参加阳光体育健身活动，某学校计划购买一批篮球和足球．若购买30个篮球，20个足球，需花费2350元；若购买20个篮球，40个足球，需花费2500元．则篮球、足球的单价各是多少元？设篮球的单价为元，足球的单价为元，则下列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴正半轴上，，C为中点，将沿翻折，使点A落在反比例函数图象上的处，且，则k的值是（ ）
A．B．C．-3D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13．若分式有意义，则的取值范围是 .
14．计算 ．
15．在某校举行的数学竞赛中，某班名学生的成绩统计如图所示，则这名学生成绩的众数是 分．
16．在半径为6的圆中，的圆心角所对的扇形面积等于 （结果保留）．
17．如图，，，，抛物线过O、A、B三点，则该抛物线的解析式为 ．

18．如图，矩形中，，，点E，F将对角线三等分，点P是矩形边上的动点．则的最小值为 .
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．计算：．
20．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
21．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形边长为单位1，的三个顶点分别在正方形格点上．
(1)请画出关于x轴对称的图形，点A，B，C的对应点分别是点，，，并写出点的坐标．
(2)的中点坐标为_____________；与的交点坐标为_____________．
22．随着汉服文化、李子柒的短视频及游戏“原神”等在全球的流行，激发了公众对传统文化的兴趣．基于这股文化热潮，学校开展了一项调查，以下是两幅不完整的调查结果统计：

是否应该将“保护和继承传统文化”引入校园
(1)请补全条形统计图；
(2)根据调查结果，学校举办了一场名为《国韵华章——文化自信》的诗词大赛，第一轮为经典诵读，参赛者均从《短歌行》《将进酒》《观沧海》《木兰辞》（分别用A，B，C，D表示）中随机抽取一首进行朗诵；第二轮为诗词讲解，参赛者均从《兼葭》《沁园春·雪》《念奴娇·赤壁怀古》（分别用E，F，G表示）中随机抽取一首进行讲解，晓慧参加了诗词大赛。利用画树状图或列表法，求晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》的概率．
23．如图，，以点A为圆心，小于长为半径作弧，分别交于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线，交于点M．
(1)若，求的度数；
(2)若，垂足为N，延长交于点O，连接，求证：．
24．共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向3～10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，收费y（元）与骑行时间x（min）之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应．
(1)骑行B品牌10分钟后，每分钟收费____________元；
(2)如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/h，小明家到工厂的距离为6km，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢?
(3)若A品牌与B品牌的收费相差元，求x的值．
25．在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环，设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂．从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题．
(1)如图1，在正方形中，O为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切；
(2)如图2，在正方形中，，，，分别与相切于点N，M，E，且，，求的半径；
(3)如图3，半径为1的在边长为4的正方形内任意移动，在其任意移动的过程中，所移动过的最大区域面积为_____________．
26．综合与实践
【问题初探】数学小组先以抛物线为例，对函数图象的平移变换做了以下研究：
(1)k的值为____________，若在抛物线上，则平移后对应的点为坐标为____________；
【探究归纳】同学们对函数图象向左平移1个单位，解析式中的x反而变为产生了疑惑，这与点的坐标平移规律不一样，从而展开深入研究，以下是他们的部分相关研究笔记：
定义：函数图象按平移是指沿x轴方向向右平移h个单位或向左平移个单位；再沿y轴向上平移k个单位或向下平移个单位．
设抛物线为上的任意一点为，将抛物线按平移后，M的对应点，
【拓展应用】同学们发现，这种方法同样适用于一次函数以及反比例函数等函数图象的平移前后解析式的研究．
(2)若反比例函数按平移，求平移后的函数解析式；
(3)若抛物线按平移，规定平移路径长为．将抛物线平移后交直线于A，B两点，，当平移路径最短时，求m，n的值．
参考答案与解析
1．B
【分析】审清题意，要明白“”和“”所表示的意义是相反的。
【详解】解：向北走五步记作步.
“”号就表示向南走,
向南走7步记作步.
故选：B
【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对相反意义的量中先规定其中一个为正，则另一个就用负表示。
2．B
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．A
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：．
故选A．
4．D
【分析】本题主要考查简单几何题的三视图，正确把握观察角度是关键．
直接利用主视图的观察角度进而得出视图．
【详解】解：从正面看，是一个六边形．
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．根据平行线的性质和对顶角相等即可得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
6．B
【分析】根据任意多边形的外角和等于解答即可．
【详解】解：∵任意多边形的外角和等于，
∴正五边形的外角和为．
故选B．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，多边形的外角和等于．多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为．
7．C
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：A. 不是同类项，不能合并，原计算错误；
B. ，原计算错误；
C. ，原计算正确；
D. ，原计算错误；
故选C．
8．A
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程求出a的值即可．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
∴，
故选：A．
9．D
【分析】本题考查了中位数的定义，熟练掌握中位数的计算方法是解题的关键．
【详解】解：将数据从小到大依次排列为：26，27，34，35，40，
∴中位数为第三个位置上的数即34．
故选：D．
10．B
【分析】作轴于Q，得到，利用P点坐标求出三角形的两条边长，将绕O点旋转后得到，Q点由y轴旋转到了x轴，根据的位置和的长度得到点坐标．
【详解】解：作轴于Q，如图，
，
，，
点绕原点O顺时针旋转得到点相当于把绕原点O顺时针旋转得到，
，，，
点的坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标系与图形旋转，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标，本题中旋转是解题的关键．
11．B
【分析】本题考查了列二元一次方程组，正确找出等量关系是解题关键．设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据“购买30个篮球，20个足球，需花费2350元；购买20个篮球，40个足球，需花费2500元”列方程即可．
【详解】解：根据题意，得，
故选：B．
12．A
【分析】由折叠的性质得，，证明是等边三角形得，求出，，可得，进而可求出反比例函数解析式．
【详解】如图，
由折叠的性质得，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，C为中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及待定系数法求反比例函数解析式，求出是解答本题的关键．
13．
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不等于零，得出，求出即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
14．##
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．根据即可得出答案．
【详解】解：．
故答案为： ．
15．
【分析】根据众数的定义可以得解．
【详解】由图可知，80分有2人，85分1人，90分5人，95分2人，根据众数的定义，90分是这10名学生成绩的众数．
故答案为90．
【点睛】本题综合考查众数的求解和折线统计图的分析，正确分析折线统计图并根据众数的定义进行求解是解题关键．
16．
【分析】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式：是解题的关键；根据扇形面积公式求解即可．
【详解】由题意知，，
故答案为：．
17．##
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，待定系数法求二次函数解析式．先求出，然后用待定系数法求解即可．
【详解】如图，作于点C

∵，，，
∴，
∴，
设函数解析式为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
18．
【分析】由勾股定理得的长，分两种情况讨论，即①作F关于垂直对称点M并过交于点H，当点P在边上时位于H点时，②作点F关于的对称点M，连接交于点H，当点P在边上位于H点时，然后根据矩形性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理，即可求解．
【详解】解：，，
，
①作点F关于的对称点M，连接交于点H，当点P在边上位于H点时，此时最小，
由图可知：，
过点E作，延长与交于点N，
，
点E，F将对角线三等分，
，
，
，
，
；
②作点F关于的对称点M，连接交于点H，当点P在边上位于H点时，此时最小，
由图可知：，
过点E作，延长与交于点N，
，
点E，F将对角线三等分，
，
，
，
，
，
的最小值．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是轴对称最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握轴对称的性质及勾股定理是解决此题的关键．
19．
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算顺序是解题关键．
【详解】解：原式
20．，见解析.
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以，原不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
21．(1)图见解析，；
(2) ，．
【分析】（1）先画出点A、B、C关于x轴对称的对应点，再依次连接即可得出，然后写出点的坐标；
（2）根据中点坐标公式可求出的中点坐标；先判断与的交点在x轴上，然后求出直线的解析式即可求解．
【详解】（1）如图所示：即为所求，
（2）∵，，
∴的中点坐标为即．
∵关于x轴对称的图形，
∴与的交点在x轴上．
设直线的解析式为，把，代入，得
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴与的交点坐标为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了轴对称图形的画法，写出直角坐标系中点的坐标，待定系数法求函数解析式其中掌握画法是做题的关键．
22．(1)，补图见解析；
(2)．
【分析】本题主要考查数据的收集与整理，利用树状图计算概率，熟练掌握概率的计算方法以及借助统计表和统计图计算百分比是解题关键．
（1）借助统计表计算即可．
（2）利用树状图进行计算即可．
【详解】（1）解： “没有必要”占比为：
补全条形统计图如图所示：

（2）画树状图如下：

共有12种可能的结果，其中晓慧第一轮抽中D《木兰辞》且第二轮抽中F《沁元春·雪》的结果共1种．
晓慧第一轮抽中D《木兰辞》且第二轮抽中《沁元春·雪》的概率为．
23．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由，可得，由作图可知，是的平分线，根据，求解作答即可；
（2）由是的平分线，，可得，则，垂直平分线段，进而可证．
【详解】（1）解：∵，
∴，
由作图可知，是的平分线，
∴，
∴的度数为；
（2）证明：∵是的平分线，，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分线段，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线，等角对等边，垂直平分线的判定与性质等知识．熟练掌握平行线的性质，角平分线，等角对等边，垂直平分线的判定与性质是解题的关键．
24．(1)
(2)小明选择A品牌的共享电动车更省钱；
(3)在或，两种收费相差元．
【分析】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，在解题时注意分类讨论．
（1）根据B品牌的电动车在10分钟后，10分钟收费为1元，即可求出B品牌的电动车10分钟后每分钟的收费；
（2）先求出小明从家到工厂所用时间为18min，再通过图象可知小于18min时选择A品牌电动车更省钱；
（3）当时两种收费相同，两种收费相差元时，分前和后两种情况讨论，分别求解即可．
【详解】（1）解：由图象可知：B品牌的电动车在10分钟后，10分钟收费为1元，
故B品牌电动车在10分钟后每分钟收费为元．
故答案为：；
（2）解：∵，，
又∵，
由图象可知，当骑行时间不足时，，即骑行A品牌的共享电动车更省钱，
∴小明选择A品牌的共享电动车更省钱；
（3）解：∵当时两种收费相同，
∴两种收费相差1.4元时，分前和后两种情况，
①当时，离越近收费相差的越少，
当时，，，
，
∴要使两种收费相差1.4元，x应小于10，
∴，
解得：；
②设B品牌在的函数关系式为，代入点和点，
∴，
解出，
∴，
同理，A品牌的函数关系式为，
当时，，
解得：．
∴在或，两种收费相差1.4元．
25．(1)证明见解析；
(2)的半径为1；
(3)．
【分析】（1）过作于，证明等于的半径即可；
（2）连接，由切线长定理得，，，证明，为的垂直平分线上，且点也在的垂直平分线上，且，，共线，再进一步可得答案；
（3）如图，设与正方形相切的切点为，证明四边形为正方形，可得，可得任意移动后扫过的最大面积为大正方形面积减去四个角的空余部分的面积；再进一步解答即可．
【详解】（1）证明：过作于，
四边形为正方形，
，
平分，即
，
即等于的半径，
与相切，
（2）连接，
与切于点
由切线长定理得，，
为的垂直平分线上
在正方形中，
，
由勾股定理得，
且点也在的垂直平分线上，
，且，，共线，
∵，
，
的半径为1．
（3）如图，设与正方形相切的切点为，
∴，，而，
∴四边形为正方形，
∴，
∴任意移动后扫过的最大面积为大正方形面积减去四个角的空余部分的面积；
∵的半径为1；正方形的边长为，
∴，
∴，
∴任意移动后扫过的最大面积为；
【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，切线的判定，切线长定理的应用，扇形面积的计算，理解题意是解本题的关键．
26．(1)；
(2)；
(3)，
【分析】（1）根据向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度即可求出．
（2）设反比例函数上的任意一点，将函数图像按平移后，M的对应点为，进而推出x与，y与之间的关系，再根据M在反比例函数上即可求出．
（3）根据抛物线的顶点，可得按平移以后的抛物线顶点坐标为，进而得出平移后的解析式为，联立一次函数解析式，利用韦达定理求出，，再根据，可求出，设平移后的路径长为l，即，然后利用二次函数最值即可求出．
【详解】（1）解：向下平移2个单位长度，
向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度
平移后
故答案为：；．
（2）设反比例函数上的任意一点，
将函数图像按平移后，M的对应点为
则，
，
M在反比例函数上，代入得
即N在函数上
平移后的函数解析式为
（3）由题可知，抛物线的顶点，
按平移以后的抛物线顶点坐标为，
设平移后的解析式为，与其直线的两个交点分别为，，
联立①②得
整理得：
则：，
由勾股定理得：
，
代入上式，再两边平方，整理得
将③代入，整理得：
设平移后的路径长为l，由已知可得
将代入上式得，
，
当时，最小，即l最小
此时
当平移路径最短时，，
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，反比例函数的图像的性质，函数图像的平移，韦达定理，两点间距离等知识，解题的关键在于熟练掌握函数图像平移后的解析式写法以及点坐标变化特征．
百分比
累积百分比
非常有必要
34.4
34.4
有必要
50.9
85.3
无所谓
3.3

没必要

94.6
非常没必要

100.0
合计
100.0