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辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）
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一．选择题（共10小题）
1. 曲线的单调增区间是（ ）
A. B. C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】求函数的导函数，令，可求单调递增区间.
【详解】由，可得，
令，可得，因为，所以，则有，
所以函数的单调递增区间是.
故选：B.
2. 用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数学归纳法的定义逐项分析、计算判断作答.
【详解】显然当时，，而当时，，A不是；
当时，，B不是；当时，，C不是；
当时，，符合要求，D是．
故选：D
3. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则 的值为 （ ）
A 1B. 3C. 5D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，再根据等差数列的通项计算即可.
【详解】∵成等比数列，
∴，则，可得.
故选：A.
4. 设随机变量服从正态分布且，则（ ）
A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.9
【答案】B
【解析】
【分析】利用正态分布对称性计算可得.
【详解】随机变量服从正态分布且，则，
.
故选：B
5. 已知甲同学从学校的2个科技类社团，4个艺术类社团，3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设事件为“仅有一个是艺术类社团”，事件为“另一个是体育类社团的概率”，利用条件概率公式可得结论.
【详解】设事件为“仅有一个是艺术类社团”，事件为“另一个是体育类社团的概率”，
则，，
.
故选：A.
6. 某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可求得的值.
【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
且，，，
因此，.
故选：B.
7. 已知等差数列的前项和为，，，则满足的值为（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列式求，进而可得，分析其符号即可得结果.
【详解】设等差数列的公差为d，
因为，则，解得，
可得，
且，当时，；当时，；
可知：当或时，；当时，；
若，所以.
故选：B.
8. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】观察的式子结构，构造函数，利用导数判断得的单调性，从而判断得，再利用对数函数的单调性判断得，从而得解.
【详解】因为，
观察的式子结构，构造函数，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
因为，所以，即，
所以，即，即；
又，所以，即；
综上，.
故选：B.
二．多选题（共3小题）
9. 丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据凸函数的定义，求导，即可根据二阶导数的正负判断.
【详解】对于A，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于B，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于C，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于D，由，得，则，因为，所以，所以此函数不是凸函数，
故选：ABC
10. 已知由样本数据（i=1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为，且．剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点．则下列说法正确的是
A. 相关变量x，y具有正相关关系
B. 剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C. 剔除该异常点后的回归直线方程经过点
D. 剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，求出新样本中心点，进而求出新回归直线的斜率，再逐项判断即得.
【详解】依题意，原样本中，，
剔除一个偏离直线较大异常点后，新样本中，，
因此剔除该异常点后的回归直线方程经过点，C正确；
由新的回归直线经过点，得新的回归直线斜率为，因此相关变量x，y具有负相关关系，A错误；
又，则剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变大，D错误；
由剔除的是偏离直线较大的异常点，得剔除该点后，新样本数据的线性相关程度变强，即样本相关系数的绝对值变大，B正确.
故选：BC
11. 已知数列满足：，其中，下列说法正确的有（ ）
A. 当时，
B. 当时，数列是递增数列
C. 当时，若数列是递增数列，则
D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据可得，即可迭代求解A，根据，时，可得为常数列，即可判断B；根据二次函数的单调性，证出当时，从而判断出数列的单调性，建立关于的一元二次不等式，解出首项的取值范围，判断出C项的正误；当，时，根据递推关系证出，从而可得，由此推导出，进而利用等比数列的求和公式证出，从而判断出D项的正误．
【详解】对于A，当时，，又，故，
所以，故A项正确．
对于B，因为且，
所以，
当，时，，此时数列是常数列，故B项错误；
对于C, 由于数列是递增数列, 当时，故，，
故， 所以，即，
解得或，故C项正确；
对于D,当时，，结合，可知，
，，结合，
可知是递增数列，，则，
即，所以，
即，
所以，当时，，所以，
可得，故D项正确；
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：递推关系式转化的常见形式
（1）转化为常数，则数列是等差数列．
（2）转化为常数，则数列是等差数列．
（3）转化为常数，则数列是等差数列．
（4）转化为常数，则数列是等差数列．
（5）转化为常数，则数列是等差数列．
（6）转化为常数，则数列是等差数列．
三．填空题（共3小题）
12. 函数的极小值点为______．
【答案】2
【解析】
【分析】求导，根据函数的单调性，结合极值点的定义即可求解.
【详解】解：因为，
令，得或，
则在上单调递增，在上单调递减，所以极小值点为2．
故答案为：2
13. 已知数列满足，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据递推关系可得，即可根据等差数列求解.
【详解】由于，
，即，
又，
数列是首项为1，公差为2的等差数列；
，
，
故答案为：
14. 某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关．若甲、乙两人每局获胜的概率分别为，且满足，每局之间相互独立．记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为______．
【答案】27
【解析】
【分析】根据相互独立事件可得，即可根据基本不等式得，进而结合二次函数的单调性求解，由二项分布的期望公式即可求解.
【详解】解：不妨设每一轮训练通过的概率为p，
则，
此时，当且仅当时，等号成立，
易知函数开口向下，对称轴，
所以，
又每局之间相互独立，记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，所以，
所以，解得，
则甲、乙两人训练的轮数至少为27轮．
故答案为：27
四．解答题（共5小题）
15. 乒乓球，被称为中国的“国球”．某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示：
（1）补全列联表，并判断我们能否有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？
（2）为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为，求的分布列和数学期望．
参考公式：．
【答案】（1）列联表见解析；有
（2）分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】（1）列出列联表，求出并与比较即可；
（2）分别求抽取的3人中男生和女生的人数，写出的可能取值，求出概率，求出期望.
【小问1详解】
依题意可得列联表如下：
，
我们有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关；
【小问2详解】
由（1）得抽取的3人中人为男生，人为女生，
则的可能取值为、、、，
所以，，
，，
所以的分布列为：
所以．
16. 已知数列的前项和满足．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，记数列的前项和为，若存在使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义、通项公式进行求解即可；
（2）利用错位相减法，结合一次函数的单调性进行求解即可.
【小问1详解】
，当时，，
当，时，，，
两式相减得：为非零定值，而，
即是以1为首项，公比的等比数列，所以；
【小问2详解】
，
所以，
，
两式相减：，
由得，，
即存在使成立，
随着增大，在减小，
当时，，
故求的取值范围是．
17. 设函数
（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；
（2）若在上为减函数，求的取值范围．
【答案】（1），切线方程为；（2）.
【解析】
【详解】试题解析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得，由已知得，可得，于是有，，，由点斜式可得切线方程；（2）由题意在上恒成立，即在上恒成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由得．
试题解析：（1）对求导得
因为在处取得极值，所以，即.
当时，,故,从而在点处切线方程为,化简得
（2）由（1）得，,
令
由，解得.
当时，,故为减函数；
当时，,故为增函数；
当时，,故为减函数；
由在上为减函数，知，解得
故a的取值范围为.
考点：复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．
18. 某微信群群主为了了解微信随机红包的金额拆分机制，统计了本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如下频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图估计红包金额的平均值与众数；
（2）群主预告今天晚上7点将有3个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包.小明是该群的一位成员，以频率作为概率，求小明至少两次抢到10元以上金额的红包的概率.
（3）在春节期间，群主为了活跃气氛，在群内发起抢红包游戏规定：每轮“手气最佳”者发下一轮红包，每个红包发出后，所有人都参与抢红包.第一个红包由群主发.根据以往抢红包经验，群主自己发红包时，抢到“手气最佳”的概率为；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为.设前轮中群主发红包的次数为，第轮由群主发红包的概率为.求及的期望.
【答案】（1）平均值9.05，众数2.5
（2）；
（3），
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的信息和平均值计算的规定列式计算即得，众数可根据定义从图中直接读取；
（2）先由图中信息求得每个红包抢到10元以上金额的概率，因3次抢红包相互独立，且每次抢只有抢到10元以上或以下两种情况，故满足独立重复试验模型，运用其概率公式计算即得；
（3）由题意分析得到与的递推式，再根据其特征构造等比数列，求得的表达式；再设为第轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，分析知服从两点分布，由此求得，因前轮中群主发红包的次数为，则，于是求即是求数列的前项和，计算即得.
【小问1详解】
由频率分布直方图可得,红包金额的平均值为:
；
众数为最高矩形的中点坐标，即为2.5；
【小问2详解】
由题可知，每个红包抢到10元以上金额的概率为，且3次红包相互独立，
由独立重复试验概率公式，至少两次抢到10元以上金额的概率为；
【小问3详解】
由题意，，，
由，又，
∴是以为首项，为公比的等比数列，∴.
∴
设为第轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，
故服从两点分布：，.，
∴.
由已知，则
【点睛】关键点点睛：解决此类题目的关键在于弄清随机变量的特征、要求，判断其属于哪种分布，才能运用公式推导计算；其次，对于常见的递推公式，如，要掌握构造等比数列的方法过程，才能运用相关通项公式和求和公式解决问题.
19. 若数列满足：存在等差数列，使得集合元素的个数为不大于，则称数列具有性质.
（1）已知数列满足，.求证：数列是等差数列，且数列有性质；
（2）若数列有性质，数列有性质，证明：数列有性质；
（3）记为数列的前n项和，若数列具有性质，是否存在，使得数列具有性质？说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）存在，且，理由见解析
【解析】
【分析】（1）借助题目所给条件可得，结合等差数列定义可得数列是等差数列，结合新定义找到对应的等差数列，使得集合元素的个数不大于；
（2）构造对应函数、，结合所给定义可得集合元素的个数不超过个，即可得证；
（3）借助与的关系，得到当时，，存在等差数列，使元素个数不超过个，即可得证.
【小问1详解】
由，
故，
即，
又，故数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，即，
故存在等差数列，使，
由，故数列有性质；
【小问2详解】
设对数列，存在等差数列，使，
对数列，存在等差数列，使，
则对数列，存在等差数列，
使的值为，
这样的最多有个，即数列有性质；
【小问3详解】
设对数列，存在等差数列，且其公差为，使得，
当时，有
，
由，
故当时，，
当时，，当时，可能有种，
故这样的最多有个，
即存等差数列，使，
的元素个数不超过个，
故一定存在，使得数列具有性质.
【点睛】关键点点睛：本题最后一小问关键点在于借助与的关系，得到当时，，从而将数列具有性质这个条件使用上.
乒乓球爱好者
非乒乓球爱好者
总计
男
40
56
女
24
总计
100
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
乒乓球爱好者
非乒乓球爱好者
总计
男
40
16
56
女
20
24
44
总计
60
40
100
0
1
2
3
一．选择题（共10小题）
1. 曲线的单调增区间是（ ）
A. B. C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】求函数的导函数，令，可求单调递增区间.
【详解】由，可得，
令，可得，因为，所以，则有，
所以函数的单调递增区间是.
故选：B.
2. 用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数学归纳法的定义逐项分析、计算判断作答.
【详解】显然当时，，而当时，，A不是；
当时，，B不是；当时，，C不是；
当时，，符合要求，D是．
故选：D
3. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则 的值为 （ ）
A 1B. 3C. 5D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，再根据等差数列的通项计算即可.
【详解】∵成等比数列，
∴，则，可得.
故选：A.
4. 设随机变量服从正态分布且，则（ ）
A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.9
【答案】B
【解析】
【分析】利用正态分布对称性计算可得.
【详解】随机变量服从正态分布且，则，
.
故选：B
5. 已知甲同学从学校的2个科技类社团，4个艺术类社团，3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设事件为“仅有一个是艺术类社团”，事件为“另一个是体育类社团的概率”，利用条件概率公式可得结论.
【详解】设事件为“仅有一个是艺术类社团”，事件为“另一个是体育类社团的概率”，
则，，
.
故选：A.
6. 某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可求得的值.
【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
且，，，
因此，.
故选：B.
7. 已知等差数列的前项和为，，，则满足的值为（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列式求，进而可得，分析其符号即可得结果.
【详解】设等差数列的公差为d，
因为，则，解得，
可得，
且，当时，；当时，；
可知：当或时，；当时，；
若，所以.
故选：B.
8. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】观察的式子结构，构造函数，利用导数判断得的单调性，从而判断得，再利用对数函数的单调性判断得，从而得解.
【详解】因为，
观察的式子结构，构造函数，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
因为，所以，即，
所以，即，即；
又，所以，即；
综上，.
故选：B.
二．多选题（共3小题）
9. 丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据凸函数的定义，求导，即可根据二阶导数的正负判断.
【详解】对于A，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于B，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于C，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于D，由，得，则，因为，所以，所以此函数不是凸函数，
故选：ABC
10. 已知由样本数据（i=1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为，且．剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点．则下列说法正确的是
A. 相关变量x，y具有正相关关系
B. 剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C. 剔除该异常点后的回归直线方程经过点
D. 剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，求出新样本中心点，进而求出新回归直线的斜率，再逐项判断即得.
【详解】依题意，原样本中，，
剔除一个偏离直线较大异常点后，新样本中，，
因此剔除该异常点后的回归直线方程经过点，C正确；
由新的回归直线经过点，得新的回归直线斜率为，因此相关变量x，y具有负相关关系，A错误；
又，则剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变大，D错误；
由剔除的是偏离直线较大的异常点，得剔除该点后，新样本数据的线性相关程度变强，即样本相关系数的绝对值变大，B正确.
故选：BC
11. 已知数列满足：，其中，下列说法正确的有（ ）
A. 当时，
B. 当时，数列是递增数列
C. 当时，若数列是递增数列，则
D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据可得，即可迭代求解A，根据，时，可得为常数列，即可判断B；根据二次函数的单调性，证出当时，从而判断出数列的单调性，建立关于的一元二次不等式，解出首项的取值范围，判断出C项的正误；当，时，根据递推关系证出，从而可得，由此推导出，进而利用等比数列的求和公式证出，从而判断出D项的正误．
【详解】对于A，当时，，又，故，
所以，故A项正确．
对于B，因为且，
所以，
当，时，，此时数列是常数列，故B项错误；
对于C, 由于数列是递增数列, 当时，故，，
故， 所以，即，
解得或，故C项正确；
对于D,当时，，结合，可知，
，，结合，
可知是递增数列，，则，
即，所以，
即，
所以，当时，，所以，
可得，故D项正确；
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：递推关系式转化的常见形式
（1）转化为常数，则数列是等差数列．
（2）转化为常数，则数列是等差数列．
（3）转化为常数，则数列是等差数列．
（4）转化为常数，则数列是等差数列．
（5）转化为常数，则数列是等差数列．
（6）转化为常数，则数列是等差数列．
三．填空题（共3小题）
12. 函数的极小值点为______．
【答案】2
【解析】
【分析】求导，根据函数的单调性，结合极值点的定义即可求解.
【详解】解：因为，
令，得或，
则在上单调递增，在上单调递减，所以极小值点为2．
故答案为：2
13. 已知数列满足，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据递推关系可得，即可根据等差数列求解.
【详解】由于，
，即，
又，
数列是首项为1，公差为2的等差数列；
，
，
故答案为：
14. 某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关．若甲、乙两人每局获胜的概率分别为，且满足，每局之间相互独立．记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为______．
【答案】27
【解析】
【分析】根据相互独立事件可得，即可根据基本不等式得，进而结合二次函数的单调性求解，由二项分布的期望公式即可求解.
【详解】解：不妨设每一轮训练通过的概率为p，
则，
此时，当且仅当时，等号成立，
易知函数开口向下，对称轴，
所以，
又每局之间相互独立，记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，所以，
所以，解得，
则甲、乙两人训练的轮数至少为27轮．
故答案为：27
四．解答题（共5小题）
15. 乒乓球，被称为中国的“国球”．某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示：
（1）补全列联表，并判断我们能否有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？
（2）为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为，求的分布列和数学期望．
参考公式：．
【答案】（1）列联表见解析；有
（2）分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】（1）列出列联表，求出并与比较即可；
（2）分别求抽取的3人中男生和女生的人数，写出的可能取值，求出概率，求出期望.
【小问1详解】
依题意可得列联表如下：
，
我们有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关；
【小问2详解】
由（1）得抽取的3人中人为男生，人为女生，
则的可能取值为、、、，
所以，，
，，
所以的分布列为：
所以．
16. 已知数列的前项和满足．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，记数列的前项和为，若存在使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义、通项公式进行求解即可；
（2）利用错位相减法，结合一次函数的单调性进行求解即可.
【小问1详解】
，当时，，
当，时，，，
两式相减得：为非零定值，而，
即是以1为首项，公比的等比数列，所以；
【小问2详解】
，
所以，
，
两式相减：，
由得，，
即存在使成立，
随着增大，在减小，
当时，，
故求的取值范围是．
17. 设函数
（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；
（2）若在上为减函数，求的取值范围．
【答案】（1），切线方程为；（2）.
【解析】
【详解】试题解析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得，由已知得，可得，于是有，，，由点斜式可得切线方程；（2）由题意在上恒成立，即在上恒成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由得．
试题解析：（1）对求导得
因为在处取得极值，所以，即.
当时，,故,从而在点处切线方程为,化简得
（2）由（1）得，,
令
由，解得.
当时，,故为减函数；
当时，,故为增函数；
当时，,故为减函数；
由在上为减函数，知，解得
故a的取值范围为.
考点：复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．
18. 某微信群群主为了了解微信随机红包的金额拆分机制，统计了本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如下频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图估计红包金额的平均值与众数；
（2）群主预告今天晚上7点将有3个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包.小明是该群的一位成员，以频率作为概率，求小明至少两次抢到10元以上金额的红包的概率.
（3）在春节期间，群主为了活跃气氛，在群内发起抢红包游戏规定：每轮“手气最佳”者发下一轮红包，每个红包发出后，所有人都参与抢红包.第一个红包由群主发.根据以往抢红包经验，群主自己发红包时，抢到“手气最佳”的概率为；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为.设前轮中群主发红包的次数为，第轮由群主发红包的概率为.求及的期望.
【答案】（1）平均值9.05，众数2.5
（2）；
（3），
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的信息和平均值计算的规定列式计算即得，众数可根据定义从图中直接读取；
（2）先由图中信息求得每个红包抢到10元以上金额的概率，因3次抢红包相互独立，且每次抢只有抢到10元以上或以下两种情况，故满足独立重复试验模型，运用其概率公式计算即得；
（3）由题意分析得到与的递推式，再根据其特征构造等比数列，求得的表达式；再设为第轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，分析知服从两点分布，由此求得，因前轮中群主发红包的次数为，则，于是求即是求数列的前项和，计算即得.
【小问1详解】
由频率分布直方图可得,红包金额的平均值为:
；
众数为最高矩形的中点坐标，即为2.5；
【小问2详解】
由题可知，每个红包抢到10元以上金额的概率为，且3次红包相互独立，
由独立重复试验概率公式，至少两次抢到10元以上金额的概率为；
【小问3详解】
由题意，，，
由，又，
∴是以为首项，为公比的等比数列，∴.
∴
设为第轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，
故服从两点分布：，.，
∴.
由已知，则
【点睛】关键点点睛：解决此类题目的关键在于弄清随机变量的特征、要求，判断其属于哪种分布，才能运用公式推导计算；其次，对于常见的递推公式，如，要掌握构造等比数列的方法过程，才能运用相关通项公式和求和公式解决问题.
19. 若数列满足：存在等差数列，使得集合元素的个数为不大于，则称数列具有性质.
（1）已知数列满足，.求证：数列是等差数列，且数列有性质；
（2）若数列有性质，数列有性质，证明：数列有性质；
（3）记为数列的前n项和，若数列具有性质，是否存在，使得数列具有性质？说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）存在，且，理由见解析
【解析】
【分析】（1）借助题目所给条件可得，结合等差数列定义可得数列是等差数列，结合新定义找到对应的等差数列，使得集合元素的个数不大于；
（2）构造对应函数、，结合所给定义可得集合元素的个数不超过个，即可得证；
（3）借助与的关系，得到当时，，存在等差数列，使元素个数不超过个，即可得证.
【小问1详解】
由，
故，
即，
又，故数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，即，
故存在等差数列，使，
由，故数列有性质；
【小问2详解】
设对数列，存在等差数列，使，
对数列，存在等差数列，使，
则对数列，存在等差数列，
使的值为，
这样的最多有个，即数列有性质；
【小问3详解】
设对数列，存在等差数列，且其公差为，使得，
当时，有
，
由，
故当时，，
当时，，当时，可能有种，
故这样的最多有个，
即存等差数列，使，
的元素个数不超过个，
故一定存在，使得数列具有性质.
【点睛】关键点点睛：本题最后一小问关键点在于借助与的关系，得到当时，，从而将数列具有性质这个条件使用上.
乒乓球爱好者
非乒乓球爱好者
总计
男
40
56
女
24
总计
100
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
乒乓球爱好者
非乒乓球爱好者
总计
男
40
16
56
女
20
24
44
总计
60
40
100
0
1
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