2024年山东省济南市历城区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三棱柱．
故选C．
2. 自 2020年起，济南新能源汽车市场逐渐驶入发展快车道．2023年一季度，济南新能源汽车总保有量约达111500辆．将数字111500 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：，
故选：B．
3. 如图，在中，点D在的延长线上，．如果，，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和以及平行线的性质：先算出，由三角形的内角和且，得，再由两直线平行，同旁内角互补，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：D．
4. 下列以数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
5. 已知a是方程 的解，则代数式的值为（ ）
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2026
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式加减的化简求值，将代数式整体代入求解是解题的关键．由题意得，移项得，将化简为，再将代入计算，即得答案．
【详解】是方程 的解，
，
，
．
故选B．
6. “龙行朤朤，前程朋朋”表达了对未来的美好祝愿和期许．现将分别印有“龙”、“行”、“ 朤”、“ 朤”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张后放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“朤”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：把“龙”、“行”、“ 朤”、“ 朤”分别记为、、、，
列表得：
共有种等可能出现的结果，其中抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“朤”的情况有种，
抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“朤”的概率为，
故选：D．
7. 不等式组的所有整数解的和是（ ）
A. 9B. 7C. 5D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出整数解，相加即可得出答案．
详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
不等式组的整数解为：，，，，，
所有整数解的和是，
故选：C．
8. 在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象，先根据一次函数经过的象限判断的符号，再根据反比例函数的图象经过的象限，判断出的符号，看是否一致，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项错误，不符合题意；
、一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项正确，符合题意；
、一次函数的图象经过第二、三、四象限，则，，，反比例函数图象经过第一、三象限，则，此选项错误，不符合题意；
、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项错误，不符合题意；
故选：．
9. 已知，作图．
步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧交于点E，画射线．
步骤2：在上任取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点P，Q，C；
步骤3：连接，．
则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. 垂直平分D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理的推论，平行线的判定和性质，根据四量关系定理求出，根据垂径定理的推论得出垂直平分，根据圆周角定理得出，根据平行线的判定得出即可．
【详解】解：．由作图可知：，
，垂直平分，故选项A、C正确，不符合题意；
B．为半圆的直径，
，，
，
，选项B正确，不符合题意；
C．的度数未知，和互余，
不一定等于，
不一定等于，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
10. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点为“美丽点”．例如点，，，，都是“美丽点”．已知二次函数的图象上只有三个“美丽点”，其中一个“美丽点”是，当时，函数的最小值为，最大值为2，求的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将代入可得，再由图象上只有三个“美丽点”可得对应的一元二次方程必有一个有两个相等的实数根，可求得、，进而可求的取值范围．本题主要考查了函数的新定义问题以及函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，能正确理解题意是解决本题的关键．
【详解】解：一个“美丽点”是，
，
，
的图象上只有三个“美丽点”，
对应的一元二次方程必有一个有两个相等的实数根，
当时，有，
，
化简得：，
，此方程无解，
当时，有，
，
化简得：，
，
，
，
原二次函数为，
，
，
当时，二次函数有最大值为2，
当时，，
关于抛物线的对称轴直线的对称点为，
当时，函数的最小值为，最大值为2，
的取值范围为：．
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11. 因式分解：=______．
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【解析】
【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可．
【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）．
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
【点睛】考点：因式分解．
12. 七巧板被西方人称为“东方魔术”，下面的两幅图是由同一个七巧板拼成的． 一只蚂蚁图上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在阴影部分的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据七巧板对应图形的面积，结合概率公式即可得到结论．本题主要考查几何概率，七巧板，解题的关键是还原成七巧板中的图形，求得阴影部分的面积．
【详解】解：如图，设大正方形的边长为a，
则阴影部分的为标号为1，4，7的三角形的面积，即：，
∴它停在阴影部分的概率；
故答案为：
13. 若 且a为整数，则a的值是_________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算．先估算在哪两个整数之间，然后根据已知条件，求出即可．
【详解】解：，即，
，
，
故答案为：4．
14. 如图，以正五边形的边为边向外作等边三角形，连接，则 等于_____°．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的内角和，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，掌握正多边形的性质和三角形的内角和是解题的关键．
根据正多边形的性质和三角形的内角和解答即可．
【详解】解：五边形是正五边形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
故答案为：6．
15. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为_________
【答案】50
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的面积，根据大正方形的边长求出“赵爽弦图”中正方形的边长是解题的关键．
【详解】解：正方形的边长为10，
“赵爽弦图”中正方形的边长5，
空白处的面积大正方形的面积小正方形面积．
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点旋转180°得到，再将绕点旋转得到，再将绕点旋转得到，按此规律进行下去，若点的坐标为，则点的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，坐标与图形等，找出规律是解题的关键．先根据题意求出、，、的坐标，发现规律，即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，点的坐标为，将绕点旋转180°得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
故，
即，，
则，
同理可得， ，
······， ，
故点的坐标为，
即．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
根据特殊角的三角函数值、负指数幂、绝对值、开立方相关知识进行计算即可．
【详解】解：原式
18. 先化简再求值： 其中
【答案】， 6
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式
19. 如图，在中，过对角线的中点O 作直线，分别交的延长线，的延长线于点E ，M，N ， F．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
由，可得，，则，证明，则，由，可得．
【详解】证明：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
20. 某种落地灯如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点 B 旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度，支杆与悬杆之间的夹角为．（参考数据： ，，，，，）
（1）如图2，当A、B、C三点共线且时，求灯泡悬挂点 D 距离地面的高度；
（2）在图 2 所示的状态下，将支杆 绕点 B 顺时针旋转同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点 D 到地面的距离为，求的长．（结果精确到1 cm）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，直角三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键．
（1）过点 D 作于点 E．在中，根据得出，即可得出答案；
（2）过点D向地面作垂线，垂足为F，过点C作于点G，延长交于点H．在中，利用得出，从而求得、，在中，利用得出，即可解题．
【小问1详解】
解：过点 D 作于点 E．
在中，，，
，
解得，
灯泡悬挂点D距离地面的高度为（）．
【小问2详解】
解：过点D向地面作垂线，垂足为F，过点C作于点G，延长交于点H．
在中，，，
，
解得，
（），
（），
在中，，
，
解得，
的长为．
21. 甲、乙两所学校组织志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各 400名学生进入综合素质展示环节．从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：，，，，，）：
b．甲学校学生成绩在这一组的是：
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲学校50名学生成绩的中位数为_____，优秀率为_____（85分及以上为优秀）；
（2）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是_____（填“A”或“B”）；
（3）根据上述信息，推断_____学校综合素质展示的水平更高，理由为_____（至少从一个角度说明推断的合理性）；
（4）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，请预估甲学校学生分数至少达到多少分才可以入选，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）A （3）乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；
（4）预估甲学校学生分数至少达到88分才可以入选．
【解析】
【分析】本题考查了中位数，数据的集中趋势，直方图，样本估计总体，熟练掌握中位数的定义，直方图的意义，用样本估计总体的思想是解题的关键．
（1）根据中位数的定义求解即可；
（2）发现A的成绩在中位数前，而读表得出B的成绩在中位线以下，以此判断排名；
（3）计算出甲校的中位数，优秀率，比较回答即可；
（4）先计算的人数为96人，不够120人，要从分之间补充，设需要补充x个人，根据题意，得，解得x即可．
【小问1详解】
解：甲校共有50名学生，则中位数为第25位和第26位的平均成绩
由直方图和题干数据得，第25位和第26位成绩为：81和82，
∴中位数为：；
优秀率为；
故答案为：；；
【小问2详解】
解：∵A成绩为83分，高于中位数，则A排名在甲校为前半部分；
∵B成绩为83分，低于乙校中位数84，则B排名在乙校为后半部分；
故A的排名更靠前；
故答案为：A；
【小问3详解】
解：乙校，理由如下：甲校的优秀率为：，由（1）甲校的中位数是81.25分，乙校的中位数是84，优秀率为46%，从中位数，优秀率两个方面比较看出，乙校都高于甲校，故乙校高，
故答案为：乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；
【小问4详解】
解：根据题意，分的人数为为：人，不够120人，要从分之间补充，设需要补充x个人，
根据题意，得，
解得，
而这个3个数依次为89，88.5，88，至少要88分，
答：预估甲学校学生分数至少达到88分才可以入选．
22. 如图，中，以 为直径的交 于点，是 的切线，且，垂足是E，延长交于点F，连接．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，则，由切线的性质可知，则，，进而结论得证；
（2）求出，，，证明，得到，求出，进而求出的长．
【小问1详解】
证明：如图，连接．

，
，
是 的切线，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
如图，连接，．

由（1）可知，，
为的直径，
，
．
为的中点，
，
，
．
，
，
．
，，
，
又，
，
，即，
解得，
．
【点睛】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23. 2024年是中国农历甲辰龙年．元旦前，某商场进货员预测一种“吉祥龙”公仔能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”公仔，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”公仔，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”公仔每件的进价分别是多少元？
（2）若两批“吉祥龙”公仔按相同的标价销售，最后的50件“吉祥龙”公仔按标价的八折优惠售出，且在整个销售过程中需要支出1300元各项费用，要使两批“吉祥龙”公仔全部售完后获利不低于6000元（不考虑其他因素），那么每件“吉祥龙”公仔的标价至少是多少元？
【答案】（1）该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”公仔每件的进价分别是60元、64元
（2）每件“吉祥龙”公仔的标价至少是90元
【解析】
【分析】本题考查了列分式方程解决实际问题，列不等式解决实际问题，准确理解题意，找准数量关系是解题的关键．
（1）设该商场购进第一批每件的进价为x元，第二批“吉祥龙”挂件每件的进价为元，根据“所购数量是第一批购进量的2倍”列分式方程求解检验即可；
（2）设每件“吉祥龙”挂件的标价是a元，根据“两批“吉祥龙”挂件全部售完后获利不低于6000（需要减去支出1300元各项费用），且最后的50件“吉祥龙”挂件按八折优惠售出”列不等式，求解即可．
【小问1详解】
解：设该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是x元/件，则第二批“吉祥龙”挂件的进价是元，
根据题意得： ，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元/件）．
答：该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是60元/件，第二批“吉祥龙”挂件的进价是64元；
【小问2详解】
设“吉祥龙”公仔每件的标价是a元．
由题意得：
解得：
∴“吉祥龙”公仔标价至少是90元
答：每件“吉祥龙”公仔的标价至少是90元．
24. 【发现问题】
小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？
【解决问题】
小明尝试从函数图象的角度进行探究：
（1）建立函数模型
设一矩形的面积为4，周长为m ，相邻的两边长为x、y ，则． 即那么满足要求的（x，y）应该是函数 与 的图象在第_____象限内的公共点坐标．
（2）画出函数图象
①画函数 的图象；
②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则函数的图象可以看成是函数的图象向上平移_____个单位长度得到．
（3）研究函数图象
平移直线，观察两函数的图象；
①当直线平移到与函数 的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_____，周长m 的值为_____；
②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应数值m 的取值范围．
【结论运用】
（4）面积为8的矩形的周长m的取值范围为_____．
【答案】（1） 一；（2）①图见解析；②图见解析，
（3）①，8；②0个交点时，；2个交点时，
（4）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及画函数图象、函数图象的平移、解一元二次方程等知识，利用类比和数形结合思想求解是解答的关键．
（1）根据x、y是边长求解即可；
（2）①利用描点法画函数 的图象即可；②利用描点法画函数的图象，的图象即可，根据图象平移规则：上加下减求解即可；
（3）①联立方程组，根据一元二次方程根的判别式求解即可； ②由①并结合图象可求解；
（4）仿照前面求解思路，联立方程组，利用方程有实数根求解即可．
【详解】解：（1）∵x、y边长，∴，，
故满足要求的（x，y）应该是两个函数的图象在第一象限内的公共点坐标，
故答案为：一；
（2）①列表：
描点、连线得函数 的图象如图：
②列表：
描点、连线得函数的图象如图，
由得，函数的图象可以看成是函数的图象向上平移个单位长度得到，
故答案为：；
（3）由得，
由，得，此时，
解得，
∴当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为，周长m的值为8，
故答案为：，8；
②如图，
由①并结合图象知：0个交点时，；2个交点时，；
（4）当面积为8的矩形的周长是m时，相邻两边分别为x、y，则，，
∴，，
由得，
由题意，该方程有实数根，
则，解得，
故答案为：．
25. 综合与实践
【问题情境】
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，是线段上的一点，以和为直角边分别作等腰直角和等腰直角，点在边边上，连接和．
（1）试判断和的位置关系，并说明理由．
【实践探究】
（2）“勤学小组”受此问题启发，将图中的绕着点逆时针旋转角度，使得点落在的外部，得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，如图，请判断与之间的位置关系，并加以证明．
【拓展探究】
（3）“志远小组”在“勤学小组”探究的基础上，提出了这样一个问题：如图3，在： 中， D 为 内一点，当，，时，求线段的长．
【答案】（1），理由见解析（2），理由见解析（3）
【解析】
【分析】（）延长交 于点，由和 都是等腰直角三角形即可求证；
（）延长交于点，证明，根据性质和角度和差即可求证；
（）如图过点C作， 并截取 ，连接，证明，可得，求解，可得过A作 垂足为N，为等腰直角三角形，再进一步解答即可．
【详解】解：，理由：
如图，延长交 于点，
∵和 都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），理由：
如图，延长交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ；
（3） 如图
过点C作， 并截取 ，连接，
∵在中， ， ，
∴，，



∵，，
∴，
∴，
∴，，
，
∴，
在直角中， ，
∴，
，

过A作 垂足N，
∴为等腰直角三角形，


在直角中，

【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质和角所对直角边是斜边的一半，锐角三角函数的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
26. 如图1，抛物线与x轴交于点 A ，与直线交于点 ，点在y轴上．点 P 从点 B 出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O 时停止．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在图1中过点 P 作 交抛物线于点D ，连接，当四边形是平行四边形时，求的长．
（3）如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O同时出发沿x轴正方向匀速运动，速度是点 P 速度的2倍，点 P 停止运动时点Q 也停止运动．连接，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据平行四边形的性质，得到，设，则，两点见距离公式求出的值，进而求出点坐标，即可得出结果；
（3）在下方作，使得，证明，推出，勾股定理求出的长即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
；
【小问2详解】
∵轴，轴，
∴，
∵四边形是平行四边形；
∴，
∵，
∴，
∵点P在上，
设，
，
解得，
∴，
∵，
．
【小问3详解】
如图，由题意得，连接．
在下方作，使得，
∵，
∴，
∴，

∴，
（当M，Q，B三点共线时最短），
的最小值为，
，
，
即的最小值为 ．
80
80
81
82
82
83
83
84
85
86
86.5
87
87
88
88.5
89
平均数
中位数
众数
优秀率
83.3
84
78
46%
x
1
2
4
8
y
4
2
1
x
0
1
y
0