2023-2024学年四川省成都市工程职业技术学校高考班高二（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年四川省成都市工程职业技术学校高考班高二（上）期中数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）已知a∈R，则“a＞4”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（4分）抛物线y2＝﹣4x的准线方程为（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝﹣2
3．（4分）已知等边△ABC的各边长为2，则＝（ ）
A．2B．4C．﹣2D．﹣4
4．（4分）已知双曲线的一个焦点为（3，0），则m的值为（ ）
A．B．1C．3D．5
5．（4分）已知椭圆的方程为4x2+5y2＝20，则它的焦点坐标为（ ）
A．（﹣1，0），（1，0）B．（0，﹣1），（0，1）
C．（﹣2，0），（2，0）D．（0，﹣2），（0，2）
6．（4分）已知命题p：||＝||，命题q：＝，则p是q的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（4分）已知抛物线的方程是，则该抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A．8B．4C．D．
8．（4分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则＝（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程是（ ）
A．＝1B．＝1
C．＝1D．＝1
10．（4分）已知方程＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）B．（﹣2，4）
C．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）D．（﹣4，2）
11．（4分）若双曲线的中心在原点，实轴在x轴上且实轴长等于虚轴长，其中一个焦点在直线3x﹣4y+12＝0上，则该双曲线的标准方程是（ ）
A．＝1B．＝1
C．＝1D．＝1
12．（4分）平行四边形ABCD中，||＝3，||＝4，则＝（ ）
A．12B．﹣7C．7D．
13．（4分）已知椭圆C：＝1（a＞0）的短轴长和焦距相等，则该椭圆的离心率是（ ）
A．2B．C．D．1
14．（4分）若双曲线的渐近线方程是y＝±x，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
15．（4分）直线y＝x﹣1过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且与C交于A、B两点，则|AB|＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、填空题：（每小题4分，共20分.）
16．（4分）已知一抛物线的焦点为F（0，2），则该抛物线的的标准方程为 ．
17．（4分）双曲线4x2﹣y2＝4的渐近线方程是 ．
18．（4分）以椭圆＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线的标准方程为 ．
19．（4分）抛物线y2＝2px上有一点M（，），则点M到焦点距离为 ．
20．（4分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的的一个顶点与抛物线y2＝16x的焦点重合，该双曲线离心率为2，则该双曲线的标准方程为 ．
三、解答题：（70分）
21．（10分）求双曲线x2﹣2y2＝﹣8的实轴长，虚轴长，焦点坐标和顶点坐标，离心率，渐近线方程．
22．（12分）已知||＝4，向量，若，求向量的坐标．
23．（12分）已知抛物线的顶点为原点，焦点在x轴上，抛物线上一点A（﹣3，m）到焦点的距离为7，求：
（1）抛物线的标准方程；
（2）实数m的值．
24．（12分）设椭圆的离心率为，求k的值．
25．（12分）已知椭圆＝1的左右两个焦点分别为F1和F2，点P为椭圆上一点，且PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．
26．（12分）已知以椭圆的焦点为顶点的双曲线，其离心率e＝2．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知一条斜率为的直线l经过双曲线的左焦点F，且与双曲线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标分别为x1，x2，求x1+x2的值．
2023-2024学年四川省成都市工程职业技术学校高考班高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题4分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】A
【解答】解：∵，
∴，
∴a＞4或a＜0，
∴“a＞4”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
2．【答案】B
【解答】解：由抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的准线方程为x＝，
则抛物线y2＝﹣4x的准线方程为x＝1．
故选：B．
3．【答案】C
【解答】解：∵等边△ABC的各边长为2，
∴＝2×2×cs120°＝﹣2．
故选：C．
4．【答案】D
【解答】解：∵双曲线的一个焦点为（3，0），
∴m+4＝32，
∴m＝5，
故选：D．
5．【答案】A
【解答】解：∵椭圆的方程为4x2+5y2＝20，
∴椭圆的标准方程为，
∴椭圆的焦点坐标为（，0），即（±1，0），
故选：A．
6．【答案】B
【解答】解：∵＝⇒||＝||，但||＝||推不出＝，
∴p是q的必要不充分条件．
故选：B．
7．【答案】B
【解答】解：抛物线的方程是，化为标准方程为x2＝8y，
所以2p＝8，即p＝4，
所以该抛物线的焦点到其准线的距离为4．
故选：B．
8．【答案】D
【解答】解：∵，∴，即8a2＝9b2，
∴．
故选：D．
9．【答案】C
【解答】解：∵椭圆与x轴的交点到两焦点的距离分别为3和1，
∴焦距长为3﹣1＝2，半长轴长为＝2，
∴2c＝2，c＝1，a＝2，
∴b2＝4﹣1＝3，
∴椭圆的标准方程是，
故选：C．
10．【答案】B
【解答】解：∵方程＝1表示双曲线，m﹣4＞m+2，
∴m﹣4＜0＜m+2，
∴﹣2＜m＜4，
故选：B．
11．【答案】C
【解答】解：∵3x﹣4y+12＝0，y＝0，
∴x＝﹣4，
∵双曲线的实轴在x轴上且实轴长等于虚轴长，一个焦点在直线3x﹣4y+12＝0上，
∴双曲线的焦点坐标为（±4，0），
∴双曲线的半实轴长与半虚轴长均为＝2，
∴双曲线的标准方程是，
故选：C．
12．【答案】B
【解答】解：＝（+）•（﹣）＝（+）•（﹣）＝﹣＝9﹣16＝﹣7．
故选：B．
13．【答案】C
【解答】解：∵椭圆C：＝1（a＞0）的短轴长和焦距相等，
∴2a＝2，
∴a＝1，
∴椭圆的离心率是＝，
故选：C．
14．【答案】C
【解答】解：∵双曲线的渐近线方程是y＝±x，
∴a＝b，
∴双曲线的离心率是＝，
故选：C．
15．【答案】D
【解答】解：∵抛物线C：y2＝2px，
∴抛物线的焦点F（，0），
∵直线y＝x﹣1过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，
∴0＝，解得p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线与抛物线方程，化简整理可得，x2﹣6x+1＝0，
由韦达定理可得，x1+x2＝6，
|AB|＝x1+x2+p＝6+2＝8．
故选：D．
二、填空题：（每小题4分，共20分.）
16．【答案】x2＝8y．
【解答】解：依题意，抛物线的焦点在y轴正半轴，设其标准方程为x2＝2py（p＞0），
又焦点为（0，2），
则，解得p＝4，
则抛物线的标准方程为x2＝8y．
故答案为：x2＝8y．
17．【答案】见试题解答内容
【解答】解：将双曲线化成标准方程，得x2﹣＝1，
∴a＝1且b＝2，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±2x．
故答案为：y＝±2x．
18．【答案】．
【解答】解：∵椭圆＝1的顶点为（±5，0），（0，±），焦点为（±，0），
∴以椭圆＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线的c＝5，a＝，b＝，
∴双曲线的标准方程为，
故答案为：．
19．【答案】．
【解答】解：依题意，，
解得，
则该抛物线的准线方程为，
故点M到焦点距离为．
故答案为：．
20．【答案】．
【解答】解：抛物线y2＝16x的焦点为（4，0），
∵双曲线＝1（a＞0，b＞0）的的一个顶点与抛物线y2＝16x的焦点重合，该双曲线离心率为2，
∴a＝4，c＝8，b＝＝4，
∴双曲线的标准方程为，
故答案为：．
三、解答题：（70分）
21．【答案】双曲线x2﹣2y2＝﹣8的实轴长为4，虚轴长为4，焦点坐标为（0，），顶点坐标为（0，±2），离心率为，渐近线方程为y＝．
【解答】解：∵双曲线x2﹣2y2＝﹣8的标准方程为，
∴双曲线x2﹣2y2＝﹣8的实轴长为2＝4，虚轴长为2＝4，焦点坐标为（0，），即（0，），顶点坐标为（0，±2），离心率为＝，渐近线方程为y＝．
22．【答案】向量的坐标为（﹣2，2）或（2，﹣2）．
【解答】解：∵向量，，
∴设向量的坐标为（﹣m，m）（m≠0），
∵||＝4，
∴m2＝4，
∴m＝±2，
∴向量的坐标为（﹣2，2）或（2，﹣2）．
23．【答案】（1）y2＝﹣16x；（2）．
【解答】解：（1）因为抛物线的焦点在x轴上，经过的点A（﹣3，m），
所以抛物线的焦点在x轴负半轴，
设抛物线的方程为y2＝﹣2px，则准线为x＝，
因为抛物线上一点A（﹣3，m）到焦点的距离为7，
所以由抛物线的定义可得抛物线上一点A（﹣3，m）到准线的距离为7，
所以﹣（﹣3）＝7，解得p＝8，
所以抛物的方程为y2＝﹣16x．
（2）当x＝﹣3时，m2＝48，
解得．
24．【答案】k的值为4或﹣．
【解答】解：∵椭圆的离心率为，
∴当k+8＞9时，a2＝k+8，b2＝9，
∴＝＝＝，
∴k＝4，
∵椭圆的离心率为，
∴当0＜k+8＜9时，a2＝9，b2＝k+8，
∴＝＝＝，
∴k＝﹣，
∴k的值为4或﹣．
25．【答案】9．
【解答】解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
∵椭圆＝1的左右两个焦点分别为F1和F2，点P为椭圆上一点，且PF1⊥PF2，
∴椭圆的焦距长为2＝8，
∴m+n＝10，m2+n2＝82＝64，
∴2mn＝36，
∴mn＝18，
∴△PF1F2的面积为mn＝9．
26．【答案】（1）双曲线的标准方程为；
（2）x1+x2＝．
【解答】解：（1）椭圆的焦点为（±5，0），
∵双曲线以椭圆的焦点为顶点的双曲线，离心率e＝2，
∴设双曲线的标准方程为，
∵双曲线离心率e＝2，
∴，
∴b2＝75，
∴双曲线的标准方程为；
（2）∵双曲线的标准方程为，
∴双曲线的左焦点为（﹣10，0），
∴经过双曲线的左焦点F且斜率为的直线l的方程为y＝（x+10），
∵y＝（x+10），，
∴，
∴x1+x2＝．