2024年安徽省池州市青阳县多校中考三模数学试题（原卷版+解析版）

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1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 2024年1月1日，某地4个时刻的气温（单位：）分别为，0，1，，其中最低的气温是（ ）
A B. 0C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键；由题意可根据有理数的大小比较进行求解．
【详解】解：∵，
∴最低气温是；
故选A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、与不是同类项，无法合并，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
3. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图，左视图是从左面看得到的图形，由此解答即可，考查了空间想象能力．
【详解】解：由题意得：它的左视图为一个三角形，如图：
，
故选：C．
4. 安徽省有力推进一批风电、光伏和储能重大项目，着力增强新能源的供给能力，新能源综合利用水平不断提高，2023年，全省可再生能源发电量623.3亿千瓦时，同比增长19.9％，其中623.3亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：623.3亿用科学记数法表示为．
故选：B．
5. 某弹力球从高处下落再反弹起来，可以直观地看出球的下落高度越高，反弹高度也就越高，某数学兴趣小组利用同一个该小球在同一水平地面上做了多次实验，实验数据如下图，根据该图估计，当反弹高度y为时，该小球的下落高度x约为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了求解实际问题中函数解析式的能力，关键是能根据题目给出的数据，准确理解并运用该知识．先求出函数关系式，再求解即可．
【详解】由题图可以判定y与x的函数图象近似为一条直线，且过原点，
所以该函数是正比例函数，
设该函数关系式为，将代入，得，解得，
即，
∴当反弹高度y为时，该小球的下落高度x约为．
故选：D
6. 如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（ ）．

A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，据此即可作答．
【详解】解：∵任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了简单概率的计算，明确题意，知道只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，是解答本题的关键．
7. 已知非零实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据完全平方公式，非负数的性质进行变形求解即可．
【详解】∵非零实数a，b，c满足，
∴，
∴
，故选项A不正确；
同理可得，
故选项C正确；
∵，
∴，
∴，
故选项B不正确；
∵a，b，c均为非零实数，，
∴，
∴，
故选项D不正确．
故选：C
8. 如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为25，，则该平底烧瓶的高度为（ ）
A. 20B. 40C. 60D. 80
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题关键．连接，过点O作，交于点E，交于点F，，利用垂径定理，得到，再利用勾股定理，，，即可求出平底烧瓶的高度．
【详解】如图，连接，过点O作，交于点E，交于点F，
∵，
∴，
且易知平分，
∵，
∴，
在和中，，
由勾股定理得，，
∴该烧瓶的高度为．
故选：D
9. 如图，在菱形中，已知，．动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿折线运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设在此过程中运动时间为x秒，的面积为y．则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题关键在于分情况讨论． 当P、Q分别在、上运动时，；当P、Q分别在、上运动时，同理求解即可．
【详解】解：当、分别在、上运动时，
是菱形，，，则、为边长为2cm的等边三角形，
过点作于点，

，
函数最大值为，符合条件的有A、B、D；
当、分别在、上运动时，
同理可得：，
符合条件的有B；
故选B．
10. 如图，在中，，，，点D在上，将沿折叠，点B落在边的上方点E处，与相交于点F，若，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理求，从而可求得，即可判定A；利用等腰三角形的性质与折叠的性质证明，即可得出结论，可判定B；利用平行线的性质和折叠的性质得，再由直角三角形两锐角互余，求得，从而得出，即，可判定C；根据，在中，，由于，则，可判定D．
【详解】解：A．∵，，，∴，又∵，∴，正确，故此选项不符合题意；
B．∵，∴，由折叠的性质得，∴，∴，∴，正确，故此选项不符合题意；
C．∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，正确，故此选项不符合题意；
D．∵，∴，∴，在中，，又∵，∴，∴错误，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式2x﹣1＜3解集是__．
【答案】x＜2
【解析】
【详解】试题解析：
故答案为
12. 关于的方程没有实数根，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由于方程没有实数根，则其判别式，由此可以建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．
【详解】解：由题意知，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
13. 如图，已知点，以点O为圆心，长为半径画弧交反比例函数的图象于点B，连接，若线段与该反比例函数图象的另一交点C恰为的中点，则k的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握反比例函数k的几何意义是解决问题的关键．连接，过点B作于点D，过点C作于点E，先求得E为的中点，且，可得，从而求出，再由勾股定理求解即可．
【详解】如图，连接，过点B作于点D，过点C作于点E，
则，
，
，
∵C为的中点，
∴E为的中点，且，
又∵点B，C都在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，已知点为正方形内一点，点，分别在，边上，且，，连接，，若，．

（1）的最小值为________；
（2）在（1）的条件下，四边形的面积为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查正方形的几何综合，结合三角形全等的判定与性质，线段的最值问题，本题的关键是利用等腰直角三角形构造全等．
（1）连接，过点分别作于点，于点，证明，得点在对角线上，利用是等腰直角三角形，得当最小时，最小，再计算即可；
（2）可知四边形为正方形，计算即可．
【详解】（1）如图，连接，过点分别作于点，于点，

∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴点对角线上，
在正方形中，，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最小时，最小，
∴当时，即当点和点重合时，最小，
最小值等于；
（2）由（1）可得当点和点重合时，四边形为正方形，
∴四边形的面积为．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简：，然后从中选出一个合适的整数作为的值代入求值．
【答案】，当时，原式；当时，原式；当时，原式．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，先利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，再根据分式有意义的条件得可选的整数为或或，选择一个代入化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式是解题的关键．
【详解】解：
，
，
，
∵分式有意义，
∴，
∴在中可选的整数为或或，
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）把向左平移4个单位，再向下平移5个单位，画出平移后的；
（2）画出关于x轴对称的；
（3）画出以O点为位似中心的位似图形，使得与的位似比为，并写出各顶点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析；，，
【解析】
【分析】本题主要考查了位似作图，轴对称作图，平移作图，根据题意作出对应点的位置，是解题的关键．
（1）先作出点、B、C平移后的对应点、、，然后顺次连接即可；
（2）先作出点A、B、C关于x轴的对称点、、，然后顺次连接即可；
（3）先根据位似作出点A、B、C的对称点、、，然后顺次连接即可；最后根据图形写出点、、的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作的三角形；
【小问2详解】
解：如图，即为所求作的三角形；
【小问3详解】
解：如图，即为所求作的三角形；，，．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式：_____________；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】（1）；
（2），证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查数字的变化类、整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明．
（1）根据题目中等式的特点，可以写出第4个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
【小问1详解】
第4个等式是：，
故答案为：；
【小问2详解】
第n个等式：．
证明：右边，
，
，
，
，
∴左边＝右边，
∴等式成立．
18. 每年的5月20日是中国学生营养日，营养专家建议学生早餐最好包括谷类食物、肉蛋类食物和奶豆类食物．小明根据专家的建议为自己搭配了一份的营养早餐，蛋白质总含量占，包括一个谷物面包，一个鸡蛋和一盒牛奶．他查阅了相关资料，蛋白质含量如下表所示：
其中一个鸡蛋60克，请计算小明这份营养早餐中需要谷物面包和牛奶各多少克？
【答案】小明这份营养早餐中需要谷物面包120克，牛奶220克．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小明这份营养早餐中需要谷物面包x克，牛奶y克，根据小明根据专家的建议为自己搭配了一份的营养早餐，蛋白质总含量占10%，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设小明这份营养早餐中需要谷物面包x克，牛奶y克，
根据题意得：
，
解得：，
答：小明这份营养早餐中需要谷物面包120克，牛奶220克．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在距某信号塔（垂直地面）的底部点B的右侧30米处有一个斜坡，斜坡的坡度i为，斜坡上4米处有一竖直广告牌（即米，），已知当阳光与水平线夹角成时，信号塔的影子顶端正好和广告牌的顶端影子重合于点E（即点A，C，E在同一条直线上），经测量长度为9米，求信号塔的高度．（结果保留整数）（参考数据：）

【答案】信号塔的高度约为26米．
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是对坡度坡角的理解掌握情况．过点E分别作的垂线，垂足为G，F，设，则，则在中，（米），由勾股定理得，再列出方程求解即可．
【详解】解：如图，过点E分别作的垂线，垂足为G，F，

则得四边形为矩形，
∴，
∵的坡度i为，
∴设，则，
在中，（米），
由勾股定理得，
即，
解得（负值已舍去），
∴米，米，
在中，（米），，
∴（米），
∴（米），
答：信号塔的高度约为26米．
20. 如图，是的直径，为上一点，为上一点，且，延长交于，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，三角形外角的性质．熟练掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．
（1）根据圆周角定理得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到，从而得到结论；
（2）连接、，如图，利用（1）的结论和圆周角定理得到，则，所以，然后利用勾股定理计算的长．
【小问1详解】
证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：连接、，如图，
由（1）得，
，
，
，
，
，
而，
．
六、（本题满分12分）
21. 实施乡村振兴计划以来，农村经济发展进入了快车道．为了解某村今年一季度经济发展状况，从该村360户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下(单位：万元)
0.69 0.73 0.74 0.80 0.81 0.98 0.93 0.81 0.89 0.69
0.74 0.99 0.98 0.78 0.80 0.89 0.83 0.89 0.94 0.89
整理数据：
（1）表格中：________，________；
（2）试估计今年一季度该村家庭人均收入不低于0.85万元的户数；
（3）该村小明家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．
【答案】（1）3，4 （2）162户
（3）明家今年第一季度人均收入超过村里一半家庭，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了频数统计表，中位数的应用，样本估计总体，解题的关键是理解统计数据得到相应结论．
（1）根据题干中的数据求出a和b的值即可；
（2）用360乘以样本中今年一季度该村家庭人均收入不低于0.85万元的户数所占的百分比求解即可；
（3）根据中位数的性质求解即可．
【小问1详解】
根据题意可得，一季度家庭人均收入在的有3户，
∴，
在的有4户，
∴，
故答案为：3，4；
【小问2详解】
答：该村家庭人均收入不低于0.85万元为162户．
【小问3详解】
选择中位数，
将20户家庭人均收入的数据从小到大排列为：
0.69，0.69，0.73，0.74，0.74，0.78，0.80，0.80，0.81，0.81，0.83，0.89，0.89，0.89，0.89，0.93，0.94，0.98，0.98，0.99，
∴中位数，
说明该村有一半以上家庭人均收入达到0.82万元，
而0.83万元0.82万元，说明小明家今年第一季度人均收入超过村里一半家庭．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在四边形中，，点为上一点，且，过点作交的延长线于点，连接，．

（1）求证：；
（2）如图（2），连接交于点．
①若．求证：平分；
②若，求的值．
【答案】（1）见详解 （2）①见详解；②
【解析】
【分析】（1）先证，再证四边形是平行四边形，则，然后证，则，由SAS即可得出结论；
（2）①连接CG，先证四边形是平行四边形，得，再证四边形是平行四边形，然后证平行四边形是菱形，即可得出结论；
先证，得，进而证△BDE∽△CFE，得，则，然后求出，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
，
即，
，
在和中，，
；
【小问2详解】
解：①证明：如图2，连接CG，

由（1）得：，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴平行四边形是菱形，
平分；
②解：由（1）可知，，
，
，
，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
由①可知，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
即，
两边除以得：，
解得：，或（舍去），
∴．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，已知．
（1）求a，b的值；
（2）若点P是第一象限抛物线上一点．
（ⅰ）如图2，连接，，，若的面积为3，求点P的坐标；
（ⅱ）如图3，是抛物线的对称轴，点D是顶点，点E是对称轴与x轴的交点，直线与直线交于点G，的面积为，的面积为，判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1），
（2）（ⅰ）或；（ⅱ）是，8
【解析】
【小问1详解】
解：当时，，
∴，
∴点，点，
∴可设抛物线对应的函数解析式为，
将点代入，得，
解得，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：设．
（ⅰ）如图，过点P作轴交于点Q．
设直线解析式为
反，，代入得
，解得：
∴直线的解析式为，
则点，
∴，
∴，
整理，得，解得，，
当时，；当时，，
∴点P的坐标为或；
（ⅱ）为定值．
设直线AP的解析式为，代入，，
得解得
∴直线的解析式为．
∵
∴抛物线的对称轴为直线，
把代入，得，
∴点F的坐标为，
∴．
设直线的解析式为，
代入，，
得解得
∴直线的解析式为，
把代入，得，
∴点G的坐标为，
∴，
∴，
即为定值，该定值为8．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解板式、一次函数解析式，二次函数图象性质，三角形的面积等知识．此题属二次函数综合题目—面积问题，在坐标系中，银题关键是掌握求三边均不与坐标轴平行的三角形面积的方法．方法一：“宽高法”．．方法二：“割补法”．．
食物
谷物面包
鸡蛋
牛奶
蛋白质含量占比
分组
频数
2
1
5
2
3