山东省泰安市新泰市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

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注意事项：
1．答题前，请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答．
2．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回．
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1. 一元二次方程3x2＋1＝6x的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为（ ）
A. 3，1B. －3，－1C. 3，－1D. －3x2，－1
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般式即可求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程3x2＋1＝6x的一次项系数为6，
∴化为一般式为：-3x2+6x-1＝0
∴二次项系数和常数项分别为：-3，-1．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程一般式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的一般式，本题属于基础题型．
2. 下列判断错误的是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 四条边都相等的四边形是菱形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定和菱形的判定，掌握相关判定定理，是解题的关键．根据矩形的判定，平行四边形的判定和菱形的判定定理，进行判断即可．
【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确；
C、对角线相等且平分的四边形是矩形，故选项错误；
D、四条边都相等的四边形是菱形，正确；
故选C．
3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案．
【详解】(A)原式=2 ，故A不是最简二次根式；
(C)原式=2 ，故B不是最简二次根式；
(D)原式= ，故D不是最简二次根式；
故选B
【点睛】此题考查最简二次根式，解题关键在于掌握运算法则
4. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．据此列式求解即可．
【详解】解：依题意，得
，
解得，．
故选：D．
5. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的除法，加减法等计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，计算正确，符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，加减法和性质，熟知相关计算法则是解题的关键．
6. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A. 对角线互相垂直B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 邻边相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正方形和菱形的性质，根据对角线相等的菱形是正方形即可得出结果．
【详解】解：∵对角线相等的菱形是正方形，
∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等；
故选B．
7. 如图，正方形的边上有一点E，连接交对角线于点F，连接． 若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内外角关系，根据正方形的性质得到，，结合得到，结合三角形内角和定理及即可得到答案；
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
8. 如图，在中，，点 分别是的中点，连接．若四边形 为菱形，则的面积为( )
A. 7.5B. 9.6C. 12D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，等边对等角，勾股定理等知识，先证明得到，利用勾股定理求出，从而得到．推导是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵点M是的中点，，
∴，
又∵四边形 为菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴的面积为：．
故选：C．
9. 关于x的一元二次方程有一个根是0，则a值为（ ）
A. 0B. 1或C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义，方程的解及解一元二次方程．
根据一元二次方程的定义可得，再把代入方程，解关于a的方程即可．
【详解】∵关于x一元二次方程有一个根是0，
∴，
解得：．
故选：D
10. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
故选A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
11. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中菱形的对角线长为（ ）

A. 20B. 30C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图1中，连接，，交点为．在图2中，理由勾股定理求出，在图1中，只要证明是等边三角形即可解决问题．
【详解】解：如图1中，连接，，交点为，．

在图2中，∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
在图1中，∵，，
∴是等边三角形，
∴
∵菱形，
∴，，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12. 如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（ ）
A 2B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．连接，由题意可得为对角线的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得的长，然后由勾股定理求得答案．
【详解】解：连接，如图所示：

由题意可得，为对角线的垂直平分线，
，，
．
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题 102分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
13. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根．直接根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据作图过程可得BF是∠EBC的平分线，然后证明△EBG≌△CBG，再利用勾股定理即可求出CG的长．
【详解】解：如图，连接EG，
根据作图过程可知：BF是∠EBC的平分线，
∴∠EBG＝∠CBG，
在△EBG和△CBG中，
，
∴△EBG≌△CBG（SAS），
∴GE＝GC，∠BEG=∠C=90°，
在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝BC＝10，
∴AE＝＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，
在Rt△DGE中，DE＝2，DG＝DC﹣CG＝6﹣CG，EG＝CG，
∴EG2﹣DE2＝DG2
∴CG2﹣22＝（6﹣CG）2，
解得CG＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，作图-基本作图，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
15. 在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中），这是用无理数表示有理数的一个范例，请计算斐波那契数列中的第2个数的值是________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．将代入计算即可．
【详解】解：将代入题中代数式得，
．
故答案为：1．
16. 已知，则的值为______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的运算．根据二次根式有意义的条件，求出的值，代入代数式进行求解即可．解题的关键是掌握被开方数为非负数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
17. 如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端向外滑动________米．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用．已知，，在中即可计算，梯子的顶端下滑2米，即米，米，在中，根据勾股定理即可计算，底端滑动的距离为，计算即可．
【详解】解：在中，，米，米，
由勾股定理得米，
在中，，米，米，
由勾股定理得米，
（米，
底端将水平滑动2米．
故答案为：2．
18. 如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上的一点，且，连接分别交、于点、，连接，则下列结论中一定成立的是________．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①；
②；
③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；
由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确；先证四边形是平行四边形，再证、是等边三角形，得，则四边形是菱形，③正确；由即可证明，则②正确．
【详解】证明：四边形是菱形，
，，，，
，
，
，
∵，
，
，
是的中位线，
，故①正确；
连接，
∵，，
四边形是平行四边形，
，
、是等边三角形，
，
∴四边形是菱形，故③正确；
∵、是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
综上，①②③都正确，
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由二次根式的性质进行化简，然后合并同类二次根式，即可得到答案；
（2）先二次根式的除法，再计算减法运算，即可得到答案．
【详解】解：（1）
原式=
=
=；
（2）
原式=
=
=．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
20. 若，，求：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）18．
【解析】
【分析】（1）先求得，的值，再利用平方差公式变形，将，的值整体代入即可求解；
（2）先求得，的值，再利用分式和完全平方公式变形，将，的值整体代入即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，，
∴
；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
，
∴
．
【点睛】本题考查完全平方公式、平方差公式、二次根式的混合运算，解题的关键是利用完全平方公式将所给式子进行变形．
21. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
22. 如图，在四边形中，，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）点E是上一点，点F是的中点，连接，若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理的逆定理；解决本题的关键是掌握矩形的性质．
（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；
（2）根据勾股定理的逆定理证明，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵点F是的中点，
∴．
23. 如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据已知条件，证明四边形DBCE是平行四边形，可得EC∥AB，且EC＝DB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则可得四边形是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；
（2）根据已知条件可得是等边三角形，进而求得，根据，进而根据菱形的性质求得面积．
【详解】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴EC∥AB，且EC＝DB．
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴AD＝DB＝CD．
∴EC＝AD．
四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是菱形．
（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，
是等边三角形
∴AD＝DB＝CD＝6．
∴AB＝12，由勾股定理得．
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE＝BC＝6．
∴菱形．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
24. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：
因为，所以．
所以，即．所以．
所以．
请根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）9 （3）5
【解析】
【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可；
（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解；
（3）首先化简，然后把所求的式子化成代入求解即可．
【小问1详解】
；
小问2详解】
原式
；
【小问3详解】
，
则原式，
当时，原式．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键．
25. 如图，在正方形中，，点是边上一点，点是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点．
（1）【探究】求证：；
（2）【拓展】求线段的长；
（3）【延伸】求线段的长．
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
（1）由题意可得，，，可证明，故．
（2）解；由题意可得，，又因为，，，因为，所以，，所以，所以．
（3）作交于，则，可得，，因为，所以，易得，，所以，所以，又因为，是斜边上的中线，所以．
【小问1详解】
证明：由题意可得，
又∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解；由题意可得，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：如图，作交于，则，
∵
∴，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，是斜边上的中线，
∴．