新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题17三角函数概念与诱导公式(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题17三角函数概念与诱导公式(原卷版+解析)，共59页。
知识点一：三角函数基本概念
1．角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
(4)象限角的集合表示方法：
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
(2)角度制和弧度制的互化：,,．
(3)扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
3．任意角的三角函数
(1)定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
记忆口诀 INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET :三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4．三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．
知识点二：同角三角函数基本关系
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：．
(2)商数关系：；
知识点三：三角函数诱导公式
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【方法技巧与总结】
1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．“”方程思想知一求二．
【题型归纳目录】
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别
题型二：等分角的象限问题
题型三：弧长与扇形面积公式的计算
题型四：三角函数定义题
题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值
题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的
题型七：诱导求值与变形
【典例例题】
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别
例1．（2023·全国·高三专题练习）与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例2．（2023·全国·高三专题练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2023·上海市嘉定区第二中学高一阶段练习）设集合，集合，则（ ）
A．B． C． D．
（多选题）例4．（2023·全国·高三专题练习）如果角与角的终边相同，角与的终边相同，那么的可能值为（ ）
A．B．C．D．
（多选题）例5．（2023·全国·高三专题练习）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）写出两个与终边相同的角___________．
【方法技巧与总结】
（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．
（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．
题型二：等分角的象限问题
例7．（2023·浙江·高三专题练习）若，则的终边在（ ）
A．第一、三象限B．第一、二象限
C．第二、四象限D．第三、四象限
例8．（2023·全国·高三专题练习（理））角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
例9．（2023·全国·高三专题练习）θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（ ）
A．sinB．csC．sin 2θD．cs 2θ
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【方法技巧与总结】
先从的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）的象限分布图示．
题型三：弧长与扇形面积公式的计算
例11．（2023·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧及其所对弦围成的图形．若弧田的弦长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧长为_______，弧田的面积为_________．
例12．（2023·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
例13．（2023·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为的圆面中剪下扇形，使剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
例14．（2023·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为，墙壁截面为矩形，且，则扇形的面积是__________.
例15．（2023·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC的面积S为，若，则当该纸叠扇的周长C最小时，BD的长度为___________.
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________ cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm2.
【方法技巧与总结】
（1）熟记弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2（弧度制）
（2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法
题型四：三角函数定义题
例17．（2023·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
例18．（2023·河北衡水·高三阶段练习）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
例19．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知角的始边与轴非负半轴重合，终边上一点，若，则（ ）
A．3B．C．D．
例20．（2023·北京·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
任意角的正弦、余弦、正切的定义；
题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值
例21．（2023·全国·高三专题练习）如果，且，则的化简为_____.
例22．（2023·河北·石家庄二中模拟预测）若角满足，，则在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
例23．（2023·浙江·模拟预测）已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要
例24．（2023·重庆·高三开学考试）若，则下列三角函数值为正值的是（ ）
A．B．C．D．
例25．（2023·全国·高三专题练习（理））我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点在第三象限，则角的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
例26．（2023·全国·高三专题练习（理））已知，则（ ）
A．B．C．D．
例27．（2023·江西南昌·三模（文））若角的终边不在坐标轴上，且，则( )
A．B．C．D．
例28．（2023·全国·高三专题练习（理））若是第二象限角，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．
余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．
正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．
题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的
例29．（2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））若，则的值为___________.
例30．（2023·河北·沧县中学模拟预测）已知，则___________．
例31．（2023·广东惠州·一模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
例32．（2023·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
例33．（2023·海南·模拟预测）已知角为第二象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
例34．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
例35．（2023·全国·高三阶段练习（理））若，则（ ）
A．B．
C．D．
例36．（2023·广东广州·三模）已知，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例37．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
例38．（2023·山西晋中·模拟预测（理））若，则等于（ ）
A．B．2C．D．
例39．（2023·湖北·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．
（2）若无象限条件，一般“弦化切”．
题型七：诱导求值与变形
例40．（2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
例41．（2023·贵州·贵阳一中模拟预测（文））若则（ ）
A．B．C．D．
例42．（2023·青海·海东市教育研究室一模（理））（ ）
A．B．C．D．
例43．（2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知，则（ ）
A．2B．—2C．D．
【方法技巧与总结】
（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．
（2）通过等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．
（3）等可利用诱导公式把的三角函数化
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·宁夏·银川一中模拟预测（理））中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧长度是弧长度的3倍，，则该曲池的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·海南中学高三阶段练习）二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示李节变迁的24个特定节令．如图，每个节气对应地球在黄道上运动所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河北·模拟预测）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·福建省福州格致中学模拟预测）已知角的大小如图所示，则（ ）
A．B．5C．D．
5．（2023·江西·临川一中模拟预测（文））（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）若，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·四川成都·模拟预测（文））已知向量，，，若，则（ ）
A．2B．-2C．3D．
8．（2023·黑龙江·哈九中模拟预测（文））数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（ ）．
A．4B．C．2D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的有（ ）
A．经过30分钟，钟表的分针转过弧度
B．
C．若，，则为第二象限角
D．若为第二象限角，则为第一或第三象限角
10．（2023·全国·高三专题练习）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为，圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，圆心角为，当与的比值为（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·江苏·高三专题练习）已知－ ＜θ＜，且sinθ＋csθ＝a，其中a∈(0，1)，则关于tanθ的值，在以下四个答案中，不可能是（ ）
A．－3B．3或C．-D．－3或-
12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．成立的条件是角是锐角
B．若（），则
C．若（），则
D．若，则
三、填空题
13．（2023·山东·德州市教育科学研究院二模）已知角θ的终边过点，且，则tanθ=____________．
14．（2023·福建·莆田二中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，圆O与x轴的正半轴交于点A，点B，C在圆O上，若射线OB平分∠AOC，B（，），则点C的横坐标为___________.
15．（2023·全国·模拟预测）已知为第三象限角，且，则______．
16．（2023·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数，点O为坐标原点，点，向量，是向量与的夹角，则的值为______．
四、解答题
17．（2023·浙江·高三专题练习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度.
(1)求关于x的函数表达式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.
18．（2023·江西南昌·一模（理））已知圆心在坐标原点的两个同心圆的半径分别为1和2，点和点分别从初始位置和处，按逆时针方向以相同速率同时作圆周运动.
(1)当点运动的路程为时，求线段的长度；
(2)记，，求的最大值.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知角.
（Ⅰ）把角写成（）的形式，并确定角所在的象限；
（Ⅱ）若角与的终边相同，且，求角.
20．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线长l=4，M为母线SA上的一个点，且SM=x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A．求：
(1)绳子的最短长度的平方f(x).
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离.
(3)f(x)的最大值.
21．（2023·浙江·高三专题练习）已知.
（1）化简；
（2）若角的终边经过点，求.
22．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知是角终边上一点，求，，的值；
（2）已知，求下列各式的值：
①；
②．
23．（2023·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，.
(1)若角为锐角，求的取值范围；
(2)在中，分别是角的对边，若，的面积为，求的值.
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
＋
＋
－
－
＋
－
－
＋
＋
－
＋
－
三角函数线
INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\4-1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\4-1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\4-1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\4-2.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\4-2.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\4-2.TIF" \* MERGEFORMATINET
有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
专题17 三角函数概念与诱导公式
【考点预测】
知识点一：三角函数基本概念
1．角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
(4)象限角的集合表示方法：
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
(2)角度制和弧度制的互化：,,．
(3)扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
3．任意角的三角函数
(1)定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
记忆口诀 INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET :三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4．三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．
知识点二：同角三角函数基本关系
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：．
(2)商数关系：；
知识点三：三角函数诱导公式
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【方法技巧与总结】
1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．“”方程思想知一求二．
【题型归纳目录】
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别
题型二：等分角的象限问题
题型三：弧长与扇形面积公式的计算
题型四：三角函数定义题
题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值
题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的
题型七：诱导求值与变形
【典例例题】
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别
例1．（2023·全国·高三专题练习）与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：C
【解析】
分析：
要写出与的终边相同的角，只要在该角上加的整数倍即可．
【详解】
首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB错误；
又与的终边相同的角可以写成，
所以正确．
故选：．
例2．（2023·全国·高三专题练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据若终边相同，则求解.
【详解】
解：
，由图知，
角的取值集合为:
故选：D.
【点睛】
本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题.
例3．（2023·上海市嘉定区第二中学高一阶段练习）设集合，集合，则（ ）
A．B． C． D．
答案：D
【解析】
分析：
考虑中角的终边的位置，再考虑中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系.
【详解】
. 表示终边在直线上的角，
表示终边在直线上的角，
而 表示终边在四条射线上的角，
四条射线分别是射线 ，
它们构成直线、直线，故.
故选：D.
【点睛】
本题考查终边相同的角，注意的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线，而的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题.
（多选题）例4．（2023·全国·高三专题练习）如果角与角的终边相同，角与的终边相同，那么的可能值为（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】
根据终边相同可得角与角之间的关系，从而可得的代数形式，故可得正确的选项.
【详解】
因为角与角的终边相同，故，其中，
同理，其中，
故，其中，
当或时，或，故AC正确，
令，此方程无整数解；
令即，此方程无整数解；
故BD错误.
故选：AC.
（多选题）例5．（2023·全国·高三专题练习）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BD
【解析】
分析：
根据和的终边关于轴对称时，逐一判断正误即可.
【详解】
根据和的终边关于轴对称时可知，
选项B中，符合题意；选项D中，符合题意；
选项AC中，可取时显然可见和的终边不关于轴对称.
故选：BD.
例6．（2023·全国·高三专题练习）写出两个与终边相同的角___________．
答案：，(其他正确答案也可)
【解析】
分析：
利用终边相同的角的定义求解.
【详解】
设是与终边相同的角，
则，
令，得，
令，得，
故答案为：，(其他正确答案也可)
【方法技巧与总结】
（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．
（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．
题型二：等分角的象限问题
例7．（2023·浙江·高三专题练习）若，则的终边在（ ）
A．第一、三象限B．第一、二象限
C．第二、四象限D．第三、四象限
答案：A
【解析】
分析：
分和讨论可得角的终边所在的象限.
【详解】
解：因为，所以
当时，，其终边在第三象限；
当时，，其终边在第一象限.
综上，的终边在第一、三象限.
故选：A.
例8．（2023·全国·高三专题练习（理））角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：D
【解析】
分析：
由题意知，，，即可得的范围，讨论、、对应的终边位置即可.
【详解】
∵角的终边在第一象限，
∴，，则，，
当时，此时的终边落在第一象限，
当时，此时的终边落在第二象限，
当时，此时的终边落在第三象限，
综上，角的终边不可能落在第四象限，
故选：D.
例9．（2023·全国·高三专题练习）θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（ ）
A．sinB．csC．sin 2θD．cs 2θ
答案：C
【解析】
表示出第二象限角的范围，求出和所在象限，确定函数值的符号．
【详解】
因为θ是第二象限角，
所以，
则，
所以2θ为第三或第四象限角或终边在轴负半轴上，，所以sin 2θ