北京市第十三中学分校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

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1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而判断得出答案．
【详解】A．是最简二次根式，故此选项符合题意；
B．不是最简二次根式，故此选项不合题意；
C．不是最简二次根式，故此选项不合题意；
D．不是最简二次根式，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．
2. 下列曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意；
B．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意；
C．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意；
D．对于每一个自变量x的取值，因变量y有且只有一个值与之相对应，所以y是x的函数故本选项不符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了函数的基本概念，熟练掌握如果x取任意一个量，y都有唯一的一个量与x对应，那么相应地x就叫做这个函数的自变量或如果y是x的函数，那么x是这个函数的自变量是解题的关键．
3. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，6B. 2，，C. 1，2，D. 6，8，10
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
B、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
C、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
D、由于，能构成直角三角形，故本选项正确，符合题意．
故选择：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断．
【详解】解：A、与不能合并，所以选项错误；
B、，所以选项错误；
C、，所以选项错误；
D、，所以选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，属于基础题，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
5. 在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A. 测量对角线是否相互平分B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量一组对角是否都为直角D. 测量四边形其中的三个角是否都为直角
【答案】D
【解析】
【分析】利用矩形的判定方法进行判断即可.
【详解】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的判定方法，掌握矩形的判定是解决问题的关键.
6. 某农民统计了自己养鸡场1000只鸡出售时质量的数据，如下表：
这组数据的众数是（ ）
A. 1.0B. 1.5C. 1.8D. 2.0
【答案】B
【解析】
【分析】出现次数最多的数据即为该组数据的众数，根据定义解答．
【详解】解：出现次数最多的是1.5，即这组数据的众数是1.5，
故选：B．
【点睛】此题考查了众数的定义，熟记定义是解题的关键．
7. 如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有（ ）
A. ①②③B. ②③C. ②③④D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质及角平分线的定义易证是等边三角形，再根据等边三角形的性质及线段的数量关系即可判断①；根据等腰三角形的性质及角的和差即可得出，再根据三角形的面积公式即可判断②；根据线段的关系及三角形面积公式即可判断③；根据平行四边形的性质及含30度的直角三角形的性质得出，再根据线段间的关系即可判断④
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故①错误，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
∵，
∴E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故③正确，符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故④正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
8. 如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接CF、CG、AE，证可得，当A、E、F、C四点共线时，即得最小值；
【详解】解：如图，连接CF、CG、AE，
∵
∴
在和中，
∵
∴
∴
∴
当时，最小，
∴d1＋d2＋d3的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，正确构造全等三角形是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每题2分，共16分）
9. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：二次根式有意义，
，
，
故答案为：．
10. 某校要在张平和李波两位跳远成绩优秀的同学中选择一位同学代表学校参加区春季运动会．体育老师对两位同学近10次的测试数据进行了统计，发现其平均数都是米，并将两位同学的测试数据制成了折线图．如果要选出一名发挥相对稳定的同学参赛，则应该选择__________（填“张平”或“李波”）．
【答案】李波
【解析】
【分析】平均数相同的情况下波动小的发挥稳定
【详解】解：平均数相等的情况下波动小的发挥稳定，李波波动小，更稳定，故选李波，
故答案为：李波.
【点睛】本题考查对数据的波动的理解，需要学生对折线统计图的理解．
11. 有一个三角形两边长为3和4，要使该三角形为直角三角形，则第三边长为________
【答案】5或
【解析】
【分析】题中没有明确斜边长，关键勾股定理的逆定理，分两种情况讨论即可解题．
【详解】解：①当3和4是直角边时，第三边为；②当4为斜边时，第三边长为．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，掌握直角三角形三边的数量关系是解题关键．
12. 如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C均在格点上，点D为的中点，则线段的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理的逆定理证明，再利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
【详解】解：，，，
，
，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接OM，若，，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，由菱形的性质得，，，由勾股定理得，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可得解．根据勾股定理求出AB的长是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴．
故答案为：．
14. 在平行四边形中，，，过点D作于点H，连接．若平分，则的长是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
根据平行四边形的性质得出，，再证，得，然后根据线段的和差得出，最后根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按此规律继续下去，则的值为________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查图形规律探究，等腰直角三角形、正方形性质，勾股定理，总结归纳出规律是解题的关键．
根据题意表示出，，的值，找到规律，根据规律计算即可．
【详解】解：由题意可知，面积为的正方形的边长为1，，
面积为的正方形的边长为，，
面积为的正方形的边长为，，
面积为的正方形的边长为，，
．
一般规律：
，则．
故答案为：．
16. 甲车与乙车同时从M地出发去往N地，如图所示，折线和线段分别是甲、乙两车行进过程中路程与时间的关系，已知甲车中途有事停留36分钟后再继续前往N地，两车同时到达N地，则下列说法：①乙车的速度为70千米/时；②甲车再次出发后的速度为100千米/时；③两车在到达N地前不会相遇；④甲车再次出发时，两车相距60千米．其中正确的有________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】本题主要考查行程问题的函数图象，掌握“速度路程时间”以及函数图象上的点的坐标的实际意义，是解题的关键．根据“速度路程时间”，可得乙的速度以及甲车再次出发后的速度，即可判断①②；根据函数图象，可直接判断③；求出甲车再次出发时，乙车行驶的路程，即可得到两车的距离，即可判断④．
【详解】解：乙车的速度为：千米/时，故①错误；
甲车再次出发后的速度为：千米/时，故②正确；
由图象知，两车在到达B地前不会相遇，故③正确；
∵甲车再次出发时，两车相距：千米，故④正确，
故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共10个小题，共68分）
17. （1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；
（1）根据二次根式的加减进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（3）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（4）先根据平方差公式和二次根式的除法进行计算，然后计算加减即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
18. 如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，在格点上，每一个小正方形的边长为1．
（1）以为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．
（2）计算你所画菱形的面积．
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）6或8或10（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的定义并结合格点的特征进行作图；
（2）利用菱形面积公式求解．
【详解】解：（1）根据题意，菱形ABCD即为所求
（2）图1中AC=2，BD=6
∴图1中菱形面积．
图2中，AC=，BD=
∴图2中菱形面积．
图3中，
∴图3菱形面积．
【点睛】本题考查菱形的性质，掌握菱形的概念准确作图是关键．
19. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：BC=DE
【答案】证明见解析.
【解析】
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD=BC，
∴∠BAE=∠E ，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠E=∠DAE ，
∴DA=DE，
又∵AD=BC，
∴BC=DE．
20. 2023年9月18日，我校隆重举行“叩问苍穹 征途永志——与英雄航天员共话航天志”主题活动．此次活动中，执行神舟十五号飞行任务的英雄航天员张陆老师与同学们一起谈论理想、爱国和坚持．同学们踊跃举手，畅所欲言的场景，大家一定还记忆犹新．为了获悉学生对航天知识的了解程度，活动前学校从七、八两个年级各随机抽取40名学生，进行了航天知识问卷测试，获得学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、苗述和分析．下面给出了部分信息：
a．八年级40名学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）；
b．八年级成绩在这一组的是：
70 70 71 72 74 75 75 75 75 76 77 78 79
c．七、八两个年级成绩的平均分、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在七年级抽取的学生中，记成绩高于抽取学生平均分的学生人数为．在八年级抽取的学生中，记成绩高于抽取学生平均分的学生人数为．比较，的大小，并说明理由；
（3）假设八年级共有200名学生参加测试，估计参加测试的学生成绩不低于80分的人数．
【答案】（1）74.5
（2），理由见解析
（3）60人
【解析】
【分析】本题考查了频数直方图，求中位数，以及中位数的意义，样本估计总体，从统计图表中获取信息是解题的关键．
（1）根据中位数的定义结合根据频数直方图即可得出答案；
（2）根据中位数的意义，可得，，即可求解；
（3）根据样本估计总体，用200乘以分数高于80分的占比即可求解．
【小问1详解】
∵第一组有3人，第二组有12人，第三组有13人，
∴中位数；
【小问2详解】
，理由如下：
由于七年级抽取的40名学生的平均分是73.8，中位数是72.5，
因此，所抽取的40名学生的得分在73.8及以上的人数少于一半，也就是的值小于等于20，
由题意得，
所以；
【小问3详解】
（人），
答：估计参加测试的学生成绩不低于80分的人数为60人．
21. 小凡同学在学习了三角形中位线定理后，重新组合题设和结论，得到如下命题：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线．即在中，若D为中点，，则E为中点．
（1）请你完成这一命题的证明．
（2）小凡同学发现由这个命题可以得到一种作线段中点的方法：
如图，要作线段的中点：
①作射线；
②以A为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点E，再以E为圆心，以长为半径画弧，交射线于点C；
③连接BC，过点E作交于点D，连接，则点D为线段的中点．
请你仿照小凡的方法，将线段五等分（不必证明，保留作图痕迹，平行线可通过三角尺、直尺完成，无需尺规作图）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线等分线段，解题的关键是读懂题意，掌握全等三角形的判定定理．
（1）证明过E作交于F，证明，可得，即E为的中点；
（2）①作射线；②以A为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点C，再以C为圆心，以长为半径画弧，交射线于点D，再以D为圆心，以长为半径画弧，交射线于点E，再以E为圆心，以长为半径画弧，交射线于点F，再以F为圆心，以长为半径画弧，交射线于点G；③连接，分别过C，D，E，F作的平行线，交于H，I，J，K，则H，I，J，K即为线段的五等分点．
【小问1详解】
证明：过E作交于F，如图：
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵D为中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴E为的中点；
【小问2详解】
解：①作射线；
②以A为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点C，再以C为圆心，以长为半径画弧，交射线于点D，再以D为圆心，以长为半径画弧，交射线于点E，再以E为圆心，以长为半径画弧，交射线于点F，再以F为圆心，以长为半径画弧，交射线于点G；
③连接，分别过C，D，E，F作的平行线，交于H，I，J，K，
如图：
则H，I，J，K即为线段的五等分点．
22. 如图，在中，对角线交于点O，．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若，，作的平分线交于点E，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，根据矩形的性质得到，，根据角平分线的定义得到．根据勾股定理得到．根据直角三角形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴平行四边形为矩形；
【小问2详解】
解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵为的平分线，
∴．
∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴
23. “天幕”是大家特别喜欢的一种露营设备，既起到遮阳防雨的作用，又开放通风．图1是一种“天幕”，图2是其截面示意图，其截面示意图为轴对称图形，，于点O，于点B，于点F，天晴时打开“天幕”遮阳，．
（1）求遮阳宽度的长；
（2）将拉绳固定在天幕杆上，若支杆与天幕杆的横向距离，求拉绳的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
（1）根据等腰三角形的性质，直角三角形的 边角关系进行计算即可；
（2）利用直角三角形的边角关系进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴；
小问2详解】
解：如图，过点E作，垂足为G，
则，
∴，
答：拉绳的长为；
24. 汉语中的对联呈现对仗之美的不变性，即字面上、词类上声律上相对称．数学中也存对偶原理，即对于一个已知数或代数式或一个已知命题，我们引进一个与之对应的有某种对偶关系的命题，然后一起参与运算，从而使问题变得简单．阅读下列材料，回答问题．
材料一：我们将与称为一对“对偶式”．
因为，所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“去掉．
例如：已知，求的值．
解：．
∵，∴，
材料二：如图，点，点，以为斜边作，则，，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离．
（1）利用材料一，解关于x的方程：，其中；
（2）利用材料二，求代数式的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的化简求值，两点间的距离公式，解题的关键是读懂题意，掌握二次根式相关的运算法则．
（1）求出，得出，，故，再检验可得答案；
（2）原式，根据两点之间，线段最短可知，当点点在点，组成的线段上时，的值最小，最小值为，即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
经检验，是原方程的解，
∴；
【小问2详解】
而可看作到，的距离之和，如图：
根据两点之间，线段最短可知，当点在点，组成的线段上时，的值最小，最小值为，
∴的最小值为．
25. 已知正方形和一动点E，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图1，当点E在正方形内部时，
①依题意补全图1；
②求证：；
（2）如图2，当点E在正方形外部时，连接，取中点M，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）；理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；
②证明，根据全等三角形对应边相等得出结果即可；
（2）连接、，延长，使，连接，延长交于点G，证明，得出，，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论．
【小问1详解】
解：①依题意补全图1，如图所示：
②∵四边形为正方形，
∴，，
根据旋转可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：；理由如下：
连接、，延长，使，连接，延长交于点G，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
根据旋转可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
∵点M为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，平行线的判定和性质，解题的 关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
26. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：若存在实数，，，使得且，则称点为以点和为端点的线段的等差点．

（1）若线段的两个端点坐标分别为和，则下列点是线段等差点的有__________；（填写序号即可）
①；②；③；④．
（2）点A，都在直线上，已知点A的横坐标为，，．
①如图1，当时，线段的等差点在线段上，求满足条件的点的坐标；
②如图2，点横坐标为2，以为对角线构造正方形，在正方形的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若线段上存在其中某条线段的等差点，直接写出的取值范围__________．
【答案】（1）①④ （2）①或；②或．
【解析】
【分析】（1）的两个端点坐标分别为和，根据定义计算检验即可；
（2）①根据解析式得，当时，，，待定系数法确定直线解析式，联立，求解交点即等差点坐标为；设点，根据定义求解；
②如图，点横坐标为2，可知，，，，分别在x轴、直线上，如图，正方形上两点的一个等差点为，点位于时，取最小值，；正方形上两点的一个等差点为，点位于时，取最大值，；任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部，故，或，，所以或．
【小问1详解】
解：的两个端点坐标分别为和
①：∵
∴是等差点；
②：∵且
∴不是等差点；
③：∵，且
∴不是等差点；
④：∵且
∴是等差点．
故答案为①④．
【小问2详解】
解：①∵点A直线上，横坐标为，
∴
当时，，
设直线解析式为，则
，解得，
∴直线解析式为，联立，得
，解得
∴交点即等差点坐标为；
设点，则或，解得或
∴或；
②如图，点横坐标为2，以为对角线构造正方形，可知，，，，分别在x轴、直线上，
如图，根据等差点定义知，正方形上两点的一个等差点为，点位于时，取最小值，，；

如图，正方形上两点的一个等差点为，点位于时，取最大值，；
正方形的边上（包括顶点）任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部，故，或，即，
综上，或．
【点睛】本题考查正方形性质，一次函数，待定系数法，理解新定义是解题的关键，注意动态问题的多情况分析．质量/kg
1.0
1.2
1.5
1.8
2.0
频数
108
226
325
245
96
年级
平均分
中位数
七
73.8
72.5
八
73.8
m