江苏省常州市2024年九年级数学中考二模试卷(含答案)

这是一份江苏省常州市2024年九年级数学中考二模试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．的倒数是( )
A.B.4C.D.
2．截止2024年1月31日，理想汽车累计交付量达到约664500辆，其中664500可用科学记数法表示为( )
A.B.C.D.
3．计算，结果正确的是( )
A.B.C.D.
4．如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是( )
A.B.C.D.
5．一元二次方程的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.有一个实数根D.没有实数根
6．当时，代数式的值为6，那么当时，这个代数式的值是( )
A.1B.-4C.6D.-5
7．如图，A、B、C、D、E、F为的六等分点，甲同学从中任取三点画一个三角形，乙同学用剩下的点画一个三角形，则甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为( )
A.B.1C.D.
8．小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后又开始匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况( )
A.B.C.D.
二、填空题
9．4的算术平方根是_______.
10．使有意义的x的取值范围是_______.
11．分解因式：_______.
12．点关于直线对称的点的坐标是_______.
13．已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_______.
14．已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积_______.
15．在中，，，则_______.
16．如图，是的直径，是的切线，交于点D，连结，若，则的大小为_______°.
17．如图，正方形的边长为10，，，，则线段的长为_______.
18．如图，正方形的边长为6，O为正方形对角线的中点，点E在边上，且，点F是边上的动点，连接，点G为的中点，连接、，当时，线段的长为_______.
三、解答题
19．计算
（1）；
（2）.
20．解方程和不等式
（1）解方程：；
（2）解不等式组：.
21．为增进学生对数学知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了30名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析.如图1是将这30名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标绘制而成.
（1）学生甲第一次成绩是70分，则该生第二次成绩是______分.
（2）两次成绩均达到或高于90分的学生有______个.
（3）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，如图2是这30位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成8组：，，，，，，，），在的成绩分别是77、77、78、78、78、79、79，则这30位学生平均成绩的中位数是______.
（4）假设全校有1200名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数.
22．2024年春晚，魔术师表演了一个与纸牌相关的魔术，让人大开眼界，这个魔术中隐含了一个数学问题——约瑟夫问题，春晚结束后，小华和小丽玩起了抽扑克牌游戏，他们从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为3，6，7，9.将这四张牌背面朝上，洗匀.
（1）小丽从中随机抽出一张牌，则抽到这张牌是奇数的概率是______；
（2）小丽从中随机抽取一张，记下牌面上的数字后放回，背面朝上，洗匀，接着小华再从中随机抽取一张，记下牌面上的数字，请求出他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率.
23．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E.
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的周长.
24．《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案.
25．如图，，，反比例函数的图像过点，反比例函数经过点A.
（1）求a和k的值.
（2）过点B作轴，与双曲线交于点C，求的面积.
26．定义：若实数a、b、、满足，（k为常数，），则在平面直角坐标系中，称点为的“k值友好点”.例如，点是点的“1值友好点”.
（1）在，，，四点中，点______是点的“k值友好点”.
（2）设点是点的“k值友好点”.
①当时，求k的值.
②若点A坐标为，当时，请直接写出点Q的坐标以及k的值.
27．如图，抛物线，抛物线交x轴于点A、B（点A在点B的右侧），交y轴于点C，抛物线与抛物线关于原点成中心对称.
（1）求抛物线的函数表达式和直线对应的函数表达式.
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连接、，与相交于点P.
①作轴，垂足为E，当时，求点P的横坐标.
②请求出的最大值.
28．如图1，小明借助几何软件进行数学探究：中，，，D是边的中点，E是线段上的动点（不与点A、点D重合），边关于对称的线段为，连接.
（1）当为等腰直角三角形时，的大小为______°.
（2）图2，延长，交射线于点G.
①请问的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由.
②若，则的面积最大为______，此时______.
参考答案
1．答案：A
解析：的倒数是，
故选：A.
2．答案：C
解析：，
故选：C.
3．答案：D
解析：
故选：D.
4．答案：A
解析：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
如图所示，
故选A.
5．答案：A
解析：由题意得：中：，，，
，
，
方程有两个不相等的实数根.
故选：
6．答案：B
解析：当时，代数式的值为6，
，
，
当时，.
故选：B.
7．答案：B
解析：A、B、C、D、E、F为的六等分点，
由对称性可知甲从六个点中选择任意的三个点组成的三角形，与剩下的三个点组成的三角形的三条边分别对应相等，
甲乙两人所画的三角形一定全等，
甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为1，
故选：B.
8．答案：B
解析：汽车经历：加速-匀速-减速到站-加速-匀速，
加速：速度增加，
匀速：速度保持不变，
减速：速度下降，
到站：速度为0.
观察四个选项的图象是否符合题干要求，只有B选项符合.
故选B.
9．答案：2
解析：，
4的算术平方根是2，
故答案为：2.
10．答案：
解析：由条件得：，
解得：，
故答案为.
11．答案：
解析：
，
故答案为：.
12．答案：
解析：设点关于直线对称的点为，
，
解得，，
.
故答案为：.
13．答案：/
解析：反比例函数，当时，y随x的增大而减小，
，
解得.
故答案为：.
14．答案：
解析：依题意，，
故答案为：.
15．答案：
解析：由知，可设，则，，
.
故答案为.
16．答案：32
解析：是的直径，是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：32.
17．答案：75
解析：正方形的边长为，，，
，，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
解得：，
故答案为：75.
18．答案：
解析：如图所示，连接，，，
四边形是正方形，
，
点G为的中点，
，
当时，
O，E，B，F四点共圆，
，
是直径，
，
O为正方形对角线的中点，
，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
在，中，
，
，
，
，
在中，，
故答案为：.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）
；
（2）
.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）
解得：
经检验，是原方程的根，
∴原方程的根为
（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：.
21．答案：（1）75
（2）8
（3）79
（4）1200名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为360人
解析：（1）由图1可知，横坐标为70时，对应的纵坐标为75，
该生第二次成绩是75分；
故答案为：75；
（2）由图1可知：横纵坐标均大于等于90的点的个数为8个，
两次成绩均达到或高于90分的学生有8个；
故答案为：8；
（3）将平均成绩按从低到高排序，可知，中位数为第15个和第16个数据的平均数，
中位数位于这一组数据中，第15个和第16个数据均为79，
中位数为79；
（4）由直方图可知，两次活动平均成绩不低于90分的学生人数有：人，
1200名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为：人；
答：1200名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为360人.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到这张牌是奇数的结果有：3，7，9，共3种，
抽到这张牌是奇数的概率为.
故答案为：.
（2）列表如下：
共有16种等可能的结果，其中他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的结果有：，，，，，，，，，共9种，
他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率为.
23．答案：（1）证明见解析
（2）28
解析：（1），，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形
，
四边形是矩形；
（2）四边形为菱形，
，，，
由勾股定理得：
，而，
，
由（1）得四边形是矩形，
四边形的周长.
24．答案：（1）每头牛值3两银子，每只羊值2两银子
（2）有商人3种购买方案，①购买7头牛，13只羊；②购买8头牛，12只羊；③购买9头牛，11只羊
解析：（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，
由题意得：，
解得：，
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；
（2）设购买m头牛，则购买只羊，
依题意得：，
解得：，
m为整数，
，8，9，
有商人3种购买方案：
①购买7头牛，13只羊；
②购买8头牛，12只羊；
③购买9头牛，11只羊.
25．答案：（1），
（2）15
解析：（1）反比例函数的图象过点，
，即，
，，
如图所示，作轴，轴，垂足分别为D，E，
，，
，
，
，，
点A的坐标为，
将点A坐标代入得，
.
（2）轴，，
将代入中，得，
点C的坐标为，
所在的直线为，当时，即，
，

.
26．答案：（1）
（2）①
②时，，时，
解析：（1）若是的“k值友好点”，则，不合题意；
若是的“k值友好点”，则，不合题意；
若是的“k值友好点”，则，不合题意，
若是的“k值友好点”，则，符合题意，
故答案为：；
（2）①，
，
，
，
点是点的“k值友好点”.
，，
，
，
即，
解得：；
②，，
设A，P的中点为B，则即，
如图所示，作轴，轴，，交于点C，则，
是直角三角形，
，且，
以C为圆心为半径作圆，
，
，
，，
，
解得：（舍去）或，
，
同理可得当以为圆心时，，，
综上所述，时，，时，.
27．答案：（1），
（2）①P的横坐标为
②的最大值为：
解析：（1）抛物线，抛物线与抛物线关于原点成中心对称.
抛物线为：，
，
当，
解得：，，
，；
，
当时，，
，
设为，
，
解得：，
为；
（2）①如图，连接，设，
而，
设直线为，
，
解得：，
直线为，
，
解得：，
，，
，
，
解得：，（不符合题意的根舍去），
，
P的横坐标为；
②作于H，而，
，
，
，
，，
，，
，
，，
当时，
的最大值为：.
28．答案：（1）15
（2）①
②；
解析：（1）为等腰直角三角形，
，
，
，
边关于对称的线段为，
，
；
故答案为：15；
（2）的大小不变，始终为.
设的大小为x，则，
关于的对称线段为，
，
，
，
，
是的外角，
；
②由①知：，
，
点G在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，如图，过点O作于H，交优弧于点，连接，
当时，即点G位于点时，的面积最大，
弦，
，即垂直平分，
，，
，
，
，
，，
，
面积最大值是；
此时，点的位置如图所示，过点E作于K，
则，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：；.
3
6
7
9
3
6
7
9