2024年浙江省金华市义乌市九年级中考二模数学试题

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1．全卷共4页，有3大题，24小题．满分为120分．考试时间120分钟．
2．本卷答案必须做在答题纸的对应位置上，做在试题卷上无效．
3．请考生将姓名、准考证号填写在答题纸的对应位置上，并认真核准条形码的姓名、准考证号．
4．作图时，可先使用2B铅笔，确定后必须使用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑．
5．本次考试不能使用计算器．
温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！
卷I
说明：本卷共有1大题，10小题，每小题3分，共30分．请用2B铅笔在“答题纸”上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满．
一、选择题（请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．
【详解】解：的绝对值是2024．
故选：A．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法，分别根据它们的运算法则计算出各选项的结果后再进行判断即可
【详解】解：A. ，故该选项计算错误，不符合题意；
B ，故该选项计算错误，不符合题意；
C. ，故该选项计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意，
故选：D
3. 如图，由相同的小正方体搭成的几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了小正方体堆砌成的几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从上面看，看到的图形分为上下两层共三列，上面一层有三个小正方形，下面一层中间一列有1个小正方形，即看到的图形如下：
，
故选：C．
4. 据统计，目前我国每年直接浪费掉的粮食达到3500万吨，浪费掉的粮食就足够满足两亿人一年的口粮．将数据3500万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．
根据科学记数法的定义，计算求值即可；
【详解】解：3500万，
故选：A．
5. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：∵1，2，3，4，5中大于2的有3、4、5，共3个，
∴从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为．
故选C．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．
6. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式的意义“二次根式中被开方数是非负数”．根据被开方数即可求解．
【详解】解：，
∴．
故选：B．
7. 如图，已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中点A落在直线m上，直线n分别交边于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过B作，则，利用平行线的性质可的，，即可求解．
【详解】解：过B作，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
8. 如图，中，已知．现以为一边向外侧作等边三角形，分别取的中点记为，连接．则的长为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作，交延长线于点，由直角三角形的性质得，，由等边三角形的性质得，，进而利用中点和勾股定理得，，最后，在中利用勾股定理即可得解．
【详解】解：过点作，交延长线于点，
∵．
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∵分别取的中点记为，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键．
9. 已知和是关于x的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数a，使得，则称函数和是“奇妙函数”．以下函数和不是“奇妙函数”的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程、分式方程，根据题意令，然后得出关于x的方程，如果方程有解，则称函数和是“奇妙函数”，若无解，则称函数和不是“奇妙函数”．
【详解】解：A、令，
则，
整理得：，
解得：，，
∴函数和是“奇妙函数”，故A不符合题意；
B、令，
则，
整理得：，
∵，
∴方程无实数解，
∴函数和不是“奇妙函数”，故B符合题意；
C、令，
则，
整理得：，
解得：，，
∴函数和是“奇妙函数”，故C不符合题意；
D、令，
则，
整理得：，
解得：，，
∴函数和是“奇妙函数”，故D不符合题意．
故选：B．
10. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助此分割方法所得图形证明了勾股定理．如图所示，矩形就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中，一定能求出矩形面积的是（ ）
A. 与的积B. 与的积
C. 与的积D. 与的积
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的运用，根据图形得到关于x的方程，并用整体代入思想解答是解题关键．欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，可设小正方形的边长为x，在直角三角形中，利用勾股定理建立关于x 的方程，利用整体代入思想解决问题，从而求出矩形的面积．
【详解】解：设小正方形的边长为x，设，则，
∴，
在中，， 即，
整理得，，
矩形的面积为：，
∴该矩形的面积为，
∴矩形的面积是与的积，
故选：A．
卷Ⅱ
说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．答题请用0.5毫米及以上的黑色签字笔书写在“答题纸”的对应位置上．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 的立方根是__________．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据立方根的定义进行求解即可得．
【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
12. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解提公因式法．利用提公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
13. 已知某班一合作学习小组6名同学一周在家劳动的时间（单位：h）分别为：，则这组数据的中位数是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义求解即可．
【详解】解：将这组数据重新排列为3、4、4、5、5、6，
∴这组数据的中位数是，
故答案：
14. 一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为________________．
【答案】3
【解析】
【分析】设该圆锥底面圆的半径为，则可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为，
根据题意得，解得，
即该圆锥底面圆的半径为3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查圆锥的底面半径，掌握弧长公式是关键．
15. 如图，在中，，，，是边上的中线，点E在上，连结，将沿着向内部翻折得到．若，则________．

【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．延长交于点，利用等积法求得，利用正切函数求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：延长交于点，交于点，如图，

由折叠知，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵是边上的中线，
∴，，
∵，
又，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
故答案为：2．
16. 如图，抛物线图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且．
（1）________．
（2）已知点P为该抛物线上一点且设其横坐标为，记该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）这部分图象的最高点和最低点到x轴的距离分别为．若，则t的取值范围为________．
【答案】 ①. 2 ②. 或或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）把点A坐标为代入，进行计算，即可作答．
（2）根据“点P在抛物线的段上”进行分类讨论，然后根据部分图象的最低点和最高点到x轴的距离分别为，．若”，列方程计算，即可作答．
【详解】解：（1）∵抛物线的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且．
∴，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）如图，由（1）得：，设，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，
∴，
解得：，，
∴，，
当时，，即，
当时，最高点为，最低点为顶点，
∴，
即，
解得：，（舍去），，（舍去），
当时，最高点为，最低点为顶点，
∴，即，
解得：（舍去），（舍去），
当，最高点为，最低点为顶点，
∴，
当时，最高点为，最低点为点，
∴，即，
解得：（舍去），（舍去），（舍去），
综上：t的取值范围为：或或．
故答案为：或或．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算．根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值分别计算即可．
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：．其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：
，
当时，
原式
19. 小汪解答“解分式方程：
”的过程如下：
你认为他的解题过程正确吗？若正确，请检验；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并写出正确的解答过程．
【答案】第①步开始错，正解见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程等知识点，根据解分式方程的步骤进行判断并改正即可，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
【详解】不正确，从第①步开始错，正确步骤如下：
原方程去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
20. 为了着力解决小眼镜、小胖墩和学生心理健康问题等建议，某校开设了以“小课间大运动大课间小比赛”的活动课程，学校要求每位学生在“丢沙包”“滚保龄球”“踢毽子”与“跳绳”四门课程中选且只能选其中一门并随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图，请根据图表信息回答下列问题：
（1）这次活动一共调查了________名学生，并补全条形统计图．
（2）求图2中“丢沙包”扇形圆心角的度数．
（3）若该学校共有1500名学生，请估计该校有多少名学生喜欢“滚保龄球”．
【答案】（1）40，图见解析
（2）
（3）225人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数据之间的关系是正确解答的关键．
（1）由“踢毽子”的人数及其所占百分比求出总人数，总人数减去“丢沙包、踢毽子、跳绳”的人数和即可得出“滚保龄球”的人数，从而补全图形；
（2）用乘以“丢沙包”人数所占比例即可；
（3）用总人数乘以样本中“滚保龄球”人数所占比例即可．
小问1详解】
解：这次活动一共调查学生（名），
则“滚保龄球”的人数为（名），
补全图形如下：
故答案为：40；
【小问2详解】
解：“丢沙包”扇形圆心角的度数为；
【小问3详解】
解：（人），
答：估计该校有225名学生喜欢“滚保龄球”．
21. 如图，已知四边形是菱形，延长至点E，使．
（1）求证：．
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质：
（1）根据菱形的性质，结合等边对等角得到，，根据三角形的内角和定理，即可得出结果；
（2）连结，交于点O，根据菱形的性质和三角形的中线平分面积推出，即可得出结果．
【小问1详解】
菱形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
连结，交于点O，
菱形，
，
，
，
，
，
．
22.
【答案】（1）；（2）门高为；（3）此时的长为．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意得，抛物线的顶点为，从而可设抛物线的解析式为，又抛物线过，求出即可得解；
（2）依据题意，设，又在抛物线，求出后即可得解；
（3）依据题意，由，，可得直线为，再结合，可设为，进而可得，根据直线与抛物线相切△，求出后即可得直线，最后可以判断得解．
【详解】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为，
可设抛物线的解析式为．
又抛物线过，
．
．
抛物线的解析式为；
（2）由题意，设，
．
又在抛物线，
．
或（舍去）．
；
答：门高为；
（3）由题意，，，
直线为．
又∵，
可设为．
．
．
△．
．
直线为．
令，
．即，
答：此时的长为．
23. 【基础巩固】
（1）如图1，在中，点是上的一点，且，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，过点作，交于点．若，，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在中，点是的中点，连结，交于点，且．若，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）证明，得出，可得出结论；
（2）设，则，，由相似三角形的性质得出答案；
（3）证明，设，则，得出，证明，得出，设，则，，过点作于，则可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
设，则，，
∵，
∴，
∴或（负值不符合题意，舍去），
由（1）知：，
∴，
∴，
∴；
（3）∵在中，点是的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴或（负值不符合题意，舍去），
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
∴，
过点作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，三角形外角的定义及性质，平行线的性质等知识点，掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义是解题的关键．
24. 如图1，已知是的直径，点C为的中点，点D为上一点（不与重合）．连结，，，过点A作，交直线于点E．
（1）当点D在上时，
①求的度数．
②若，，求的值．
（2）如图2，记，作点D关于直径的对称点F，连结，．若为等腰三角形，请直接写出的值（用含a的代数式表示）．
【答案】（1）①；②
（2）的值为或或或
【解析】
【分析】（1）①利用圆周角定理求得，再证明是等腰直角三角形，求得，据此求解即可；②证明和都是等腰直角三角形，证明，求得，，据此求解即可；
（2）分四种情况讨论，证明是等边三角形，求得直径的长，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，结合等腰直角三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：①连接，
∵是的直径，
∴，
∵点C为的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，，交于点，连接，
∵，
∴，
∵点D与点F关于直径对称，
∴，
∴，
∵点C为的中点，
∴的度数为，
∴的度数为，的度数为，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，，
由（1）得是等腰直角三角形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴；
如图，延长交于点，连接，，直线交于点，连接，
∵，
∴，
∵点D与点F关于直径对称，
∴，
∴，
∵点C为的中点，
∴的度数为，
∴的度数为，的度数为，
∴，
∴是等边三角形，
∵是的直径，
∴，
∴，，
∴，
由（1）得是等腰直角三角形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴；
如图，延长交于点，连接，，直线交于点，连接，
同理，，，，
∴；
如图，连接，，直线交于点，连接，
同理，，是等腰直角三角形，
∴，，
∴；
综上，的值为或或或．
【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
解：去分母得：…①，
去括号得：…②，
移项得：…③，
合并同类项得：…④，
系数化为1得：…⑤，
经检验，是原分式方程的解．
草莓种植大棚的设计
生活背景
草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光．
建立模型
（1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式．
解决问题
（2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值．
（3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长．