北师大版七年级数学下册第5章生活中的轴对称单元测试(能力提升卷大)(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册第5章生活中的轴对称单元测试(能力提升卷大)(原卷版+解析)，共21页。
注意事项：
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋•越城区校级期末）下列四个图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B． C．D．
2．（2023秋•明水县校级期末）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．直角三角形B．等腰梯形C．锐角D．等腰三角形
3．（2023秋•卧龙区校级期末）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40°B．100°C．40°或100°D．50°或70°
4．（2023秋•乌鲁木齐期末）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是轴对称图形并且对称轴条数最多的是（ ）
A．等角螺旋线B．心形线
C．四叶玫瑰线D．蝴蝶曲线
5．（2023秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（ ）
A．60°B．45°C．40°D．30°
6．（2023秋•东昌府区校级期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（ ）
A．三条高线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点
7．（2023秋•广饶县校级期末）如图，已知△ABC周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，则△ABC的面积是（ ）
A．1B．8C．2D．5
8．（2023秋•南陵县期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交BC，AB于D，E两点，若AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）
A．6cmB．12cmC．15cmD．24cm
9．（2023秋•滨城区校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E已知△ABC与△BCE的周长分别为18cm和10cm，则BD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
10．（2023秋•桥西区校级期末）如图所示，点O为△ABC三个内角平分线的交点，∠B＝50度，BC＜AB，点M，N分别为AB，BC上的点，且ON＝OM．甲、乙、丙三位同学有如下判断：
甲：∠MON＝130度；
乙：四边形OMBN的面积是不变的；
丙：当ON⊥BC时，△MON周长取得最小值．
其中正确的是（ ）
A．只有丙正确B．只有甲、乙正确
C．只有乙、丙正确D．甲、乙、丙都正确
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023秋•天河区校级期末）已知等腰三角形的底边长为2，腰长为8，则它的周长为 ．
12．（2023秋•铁西区校级期末）周长为12的等腰三角形，其底边长y与腰长x的函数关系式为 ．
13．（2023秋•沈河区校级期末）在同一平面内，线段AB＝5cm，C为任意一点，则AC+BC的最小值为 ．
14．（2023秋•海珠区校级期末）轴对称图形都有自己的对称轴，请你尝试写出：只有1条对称轴、只有3条对称轴、有无数条对称轴的平面图形名称 、 、 ．
15．（2023秋•榆树市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，且∠BAD＝30°，若AD＝DE，∠DAE＝72°，则∠EDC的度数为 ．
16．（2023秋•蓬江区期末）如图，在锐角三角形ABC中，AC＝6，S△ABC＝24，CD平分∠ACB，若P、Q分别是CD、BC上的动点，则BP+PQ的最小值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023秋•谢家集区期中）如图，在4×4的方格中，请分别在甲、乙、丙三个图中添加一个正方形到空白方格中，与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形．
18．（2023秋•苍溪县期末）如图所示是一个8×8的正方形网格，图中每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；
（2）求△OCC1的面积．
19．（2023秋•紫阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝32°，∠BAD＝42°，求∠DAC的度数．
20．（2023•南京模拟）如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
（1）图中点C的对应点是点 ，∠B的对应角是 ；
（2）若DE＝5，BF＝2，则CF的长为 ；
（3）若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．
21．（2023秋•阳江期末）如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．
22．（2023春•济南期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．
（1）如图（1），若∠A＝40°，则∠NMB＝ 度；
（2）如图（2），若∠A＝70°，则∠NMB＝ 度；
（3）如图（3），若∠A＝120°，则∠NMB＝ 度；
（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．
23．（2023秋•龙江县校级期末）如图所示，点P在∠AOB内，点M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，MN分别交OA，OB于点E，F．
（1）若∠AOB＝α°，则∠MON＝ ，∠EPF＝ （用含α的代数式表示）；
（2）①若△PEF的周长是10cm，求MN的长．
②若∠O＝45°，OP＝xcm，直接写出△PEF的周长的最小值（用含x的代数式表示）
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第5章生活中的轴对称单元测试
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋•越城区校级期末）下列四个图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
分析：根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故A不合题意；
B．不是轴对称图形，故B不合题意；
C．不是轴对称图形，故C不合题意；
D．是轴对称图形，故D符合题意．
故选：D．
2．（2023秋•明水县校级期末）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．直角三角形B．等腰梯形C．锐角D．等腰三角形
分析：根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：等腰梯形，锐角等腰三角形以及能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
直角三角形不一定能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不一定是轴对称图形，
故选：A．
3．（2023秋•卧龙区校级期末）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40°B．100°C．40°或100°D．50°或70°
分析：分这个角为底角和顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：当这个内角为顶角时，则顶角为40°，
当这个内角为底角时，则两个底角都为40°，此时顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，
故选：C．
4．（2023秋•乌鲁木齐期末）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是轴对称图形并且对称轴条数最多的是（ ）
A．等角螺旋线B．心形线
C．四叶玫瑰线D．蝴蝶曲线
分析：首先判断出图形是轴对称图形，再找出对称轴的条数．
【解答】解：A、该图形没有对称轴；
B、该图形轴对称对称图形，有1条对称轴；
C、该图形轴对称对称图形，有4条对称轴；
D、该图形轴对称对称图形，有1条对称轴；
故选：C．
5．（2023秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（ ）
A．60°B．45°C．40°D．30°
分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC＝∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣30°）＝75°，
∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，
∴BC＝BD，
∴∠CBD＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×75°＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝75°﹣30°＝45°．
故选：B．
6．（2023秋•东昌府区校级期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（ ）
A．三条高线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点
分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可．
【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上．
故选：B．
7．（2023秋•广饶县校级期末）如图，已知△ABC周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，则△ABC的面积是（ ）
A．1B．8C．2D．5
分析：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE＝OF＝OD＝1，根据S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△OBC，即可求出答案．
【解答】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，
∴OE＝OD，OD＝OF，即OE＝OF＝OD＝1，
∵△ABC的周长为10，
∴AB+AC+BC＝10，
∴S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△OBC＝＝＝＝5，
故选：D．
8．（2023秋•南陵县期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交BC，AB于D，E两点，若AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）
A．6cmB．12cmC．15cmD．24cm
分析：由线段垂直平分线的性质推出BC+AC＝9cm，从而求出△ABC的周长．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴DB＝DA，BE＝AE＝3cm，
∵△ADC的周长为9cm，
∴CD+DA+AC＝9cm，
∴CD+BD+AC＝9cm，
∴BC+AC＝9cm，
∴△ABC的周长＝BC+AC+AB＝BC+AC+2AE＝9+2×3＝15（cm），
故选：C．
9．（2023秋•滨城区校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E已知△ABC与△BCE的周长分别为18cm和10cm，则BD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
分析：根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可得到答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，，
∵△BCE的周长为10cm，
∴BC+BE+CE＝10cm，
∴BC+CE+AE＝BC+AC＝10cm，
∵△ABC的周长为18cm，
∴AB+AC+BC＝18cm，
∴AB＝18﹣10＝8cm，
∴cm，
故选：B．
10．（2023秋•桥西区校级期末）如图所示，点O为△ABC三个内角平分线的交点，∠B＝50度，BC＜AB，点M，N分别为AB，BC上的点，且ON＝OM．甲、乙、丙三位同学有如下判断：
甲：∠MON＝130度；
乙：四边形OMBN的面积是不变的；
丙：当ON⊥BC时，△MON周长取得最小值．
其中正确的是（ ）
A．只有丙正确B．只有甲、乙正确
C．只有乙、丙正确D．甲、乙、丙都正确
分析：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB于点D，E，根据三角形内心可得OD＝OE，然后证明△DON≌△EOM，可得∠DOE＝∠MON，根据△DON≌△EOM得到四边形OMBN的面积＝2，根据点D的位置固定，可得四边形OMBN的面积是定值，过点O作OF⊥MN于点F，根据ON＝OM，∠MON＝130°可得∠ONM＝25°，MN＝2NF＝2ONcs25°，所以△MON的周长＝2ON（cs25°+1），可得当ON最小时，即当ON⊥BC时，△MON的周长取得最小值，据此解题．
【解答】解：如图，过点O作OD⊥BC，OE⊥AB于点D，E，连接OB，
∵O点是△ABC的内心，
∴OB是∠ABC的平分线，
∴OD＝OE，
∵∠ABC＝50°，
∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
在Rt△DON与Rt△EOM中，
，
∴Rt△DON≌Rt△EOM（HL），
∴∠DON＝∠EOM，
∴∠DON+∠EON＝∠EOM+∠EON，
∴∠DOE＝∠MON＝130°，故甲的判断正确；
∵△DON≌△EOM，
∴四边形OMBN的面积＝四边形DOEB的面积＝2S△BOD，
∵点D的位置固定，
∴四边形OMBN的面积是定值，故乙的判断正确；
如图，过点O作OF⊥MN于点F，
∵ON＝OM，∠MON＝130°，
∴，
∴MN＝2NF＝2ONcs25°，
∴△MON的周长＝MN+2ON＝2ONcs25°+2ON＝2ON（cs25°+1），
∴当ON最小时，即当△MON的周长取最小值，即此时ON⊥BC，故丙的判断正确，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋•天河区校级期末）已知等腰三角形的底边长为2，腰长为8，则它的周长为 18 ．
分析：根据等腰三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：∵等腰三角形的底边长为2，腰长为8，
∴它的周长＝2+8+8＝18，
故答案为：18．
12．（2023秋•铁西区校级期末）周长为12的等腰三角形，其底边长y与腰长x的函数关系式为 y＝﹣2x+12 ．
分析：等腰三角形的底边长＝周长﹣2×腰长，根据2腰长的和大于底边长及底边长为正数可得自变量的取值．
【解答】解：∵等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长为12，
∴y＝12﹣2x，
故答案为：y＝﹣2x+12．
13．（2023秋•沈河区校级期末）在同一平面内，线段AB＝5cm，C为任意一点，则AC+BC的最小值为 5cm ．
分析：已知点C为任意一点，当点C在线段AB外时，点A、B、C构成三角形；根据三角形中两边之和大于第三边，可以得到AC+BC＞AB；当点C在线段AB上时，AC与BC的和为线段AB的长，据此求出AC+BC的最小值．
【解答】解：根据两点之间的所有连线中，线段最短，可知只有当点C在线段AB上时，AC与BC的和最小，即为AB的长5cm．
故答案为：5cm．
14．（2023秋•海珠区校级期末）轴对称图形都有自己的对称轴，请你尝试写出：只有1条对称轴、只有3条对称轴、有无数条对称轴的平面图形名称 等腰梯形 、 等边三角形 、 圆 ．
分析：直接利用轴对称图形的定义得出答案．
【解答】解：只有1条对称轴、只有3条对称轴、有无数条对称轴的平面图形名称分别是：等腰梯形、等边三角形、圆．
故答案为：等腰梯形、等边三角形、圆．
15．（2023秋•榆树市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，且∠BAD＝30°，若AD＝DE，∠DAE＝72°，则∠EDC的度数为 33° ．
分析：利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理可得．
【解答】解：∵∠BAD＝30°，∠DAE＝72°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝＝39°，
∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝72°，
∵∠AED＝∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝∠AED﹣∠C＝72°﹣39°＝33°，
故答案为：33°．
16．（2023秋•蓬江区期末）如图，在锐角三角形ABC中，AC＝6，S△ABC＝24，CD平分∠ACB，若P、Q分别是CD、BC上的动点，则BP+PQ的最小值是 8 ．
分析：过点B作BE⊥AC交于E点，交DC于P点，过点P作PQ⊥BC交于Q点，此时BP+PQ的值最小，再由三角形的面积求出AC边上的高即为所求．
【解答】解：过点B作BE⊥AC交于E点，交DC于P点，过点P作PQ⊥BC交于Q点，
∵CD平分∠ACB，
∴PE＝PQ，
∴BP+PQ＝BP+PE＝BE，
此时BP+PQ的值最小，
∵AC＝6，S△ABC＝24，
∴BE＝8，
∴BP+PQ的值最小为8，
故答案为：8．
三．解答题（共7小题）
17．（2023秋•谢家集区期中）如图，在4×4的方格中，请分别在甲、乙、丙三个图中添加一个正方形到空白方格中，与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形．
分析：直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
【解答】解：如图所示：
．
18．（2023秋•苍溪县期末）如图所示是一个8×8的正方形网格，图中每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；
（2）求△OCC1的面积．
分析：（1）利用轴对称的性质画出A、B、C关于直线OM的对称点A1、B1、C1即可；
（2）利用三角形面积公式计算．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）△OCC1的面积＝×4×3＝6．
19．（2023秋•紫阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝32°，∠BAD＝42°，求∠DAC的度数．
分析：如图，首先证明∠C＝∠B＝32°，进而求出∠BAC＝116°，问题即可解决．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝32°，
∴∠C＝∠B＝32°，
∴∠BAC＝180°﹣32°﹣32°＝116°，
∴∠DAC＝116°﹣42°＝74°．
20．（2023•南京模拟）如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
（1）图中点C的对应点是点 E ，∠B的对应角是 ∠D ；
（2）若DE＝5，BF＝2，则CF的长为 3 ；
（3）若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．
分析：根据△ABC与△ADE关于直线MN对称确定对称点，从而确定对称线段、对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，
∴图中点C的对应点是点E，∠B的对应角是∠D；
故答案为：E，∠D．
（2）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，
∴△ABC≌△ADE，
∴BC＝DE＝5，
∴CF＝BC﹣BF＝3．
故答案为：3．
（3）∵∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，
∴∠CAE＝108°﹣30°＝78°，
再根据对称性，
∴∠EAF＝∠CAF，
∴∠EAF＝＝39°．
21．（2023秋•阳江期末）如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．
分析：先根据等腰三角形的判定得到PA＝PB，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到距离．
【解答】证明：∵∠PAB＝∠PBA，
∴PA＝PB，
∵PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，
∴P点在∠MON的平分线上，
∴OP平分∠MON．
22．（2023春•济南期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．
（1）如图（1），若∠A＝40°，则∠NMB＝ 20 度；
（2）如图（2），若∠A＝70°，则∠NMB＝ 35 度；
（3）如图（3），若∠A＝120°，则∠NMB＝ 60 度；
（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．
分析：（1）利用等腰三角形的性质求出∠B，再利用三角形内角和定理解决问题即可．
（2）（3）（4）方法类似．
【解答】解：（1）如图1中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，
∵MN⊥AB，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝20°，
故答案为20．
（2）如图2中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣70°）＝55°，
∵MN⊥AB，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝35°，
故答案为35．
（3）如图3中，
如图1中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣120°）＝30°，
∵MN⊥AB，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝60°，
故答案为60．
（4）结论：∠NMB＝∠A．
理由：如图1中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）
∵MN⊥AB，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝90°﹣（90°﹣∠A）＝∠A．
23．（2023秋•龙江县校级期末）如图所示，点P在∠AOB内，点M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，MN分别交OA，OB于点E，F．
（1）若∠AOB＝α°，则∠MON＝ 2α° ，∠EPF＝ 180°﹣2α° （用含α的代数式表示）；
（2）①若△PEF的周长是10cm，求MN的长．
②若∠O＝45°，OP＝xcm，直接写出△PEF的周长的最小值（用含x的代数式表示）
分析：（1）如图，连接OP、OM、ON，根据轴对称的性质可得△OMP和△EMP都是等腰三角形，且∠MOA＝∠AOP，进而可根据等腰三角形的性质得∠OME＝∠OPE，同理可得∠BOP＝∠BON，∠OPF＝∠ONF，于是可推得∠MON＝2∠AOB，∠EPF＝∠OPE+∠OPF＝∠OMN+∠ONM，再根据已知条件和三角形的内角和定理即可求出答案；
（2）①根据轴对称的性质可推出MN＝△PEF的周长，进而可得结果；
②易得△OMN是等腰直角三角形，且OM＝ON＝OP＝x，从而可根据勾股定理求出MN，而由轴对称的性质可知MN即为△PEF的周长的最小值，于是可得结果．
【解答】解：（1）如图，连接OP、OM、ON．
∵M是点P关于AO的对称点，
∴OP＝OM，ME＝PE，∠MOA＝∠AOP，
∴∠OMP＝∠OPM，∠EMP＝∠EPM，
∴∠OME＝∠OPE，
同理可得：OP＝ON，∠BOP＝∠BON，∠OPF＝∠ONF，
∴OM＝ON，∠MON＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2α°；
∴∠OMN+∠ONM＝180°﹣∠MON＝180°﹣2α°，
∴∠EPF＝∠OPE+∠OPF＝∠OMN+∠ONM＝180°﹣2α°，
故答案为：2α°，180°﹣2α°；
（2）①∵M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，
∴ME＝PE，NF＝PF，
∴MN＝ME+EF+FN＝PE+EF+PF＝△PEF的周长，
∵△PEF的周长等于10cm，
∴MN＝10cm；
②∵∠AOB＝45°，OM＝ON＝OP＝x，
∴∠MON＝2∠AOB＝90°，，
∵MN＝△PEF的周长，且△PEF的周长的最小值为MN的长，
∴△PEF的周长的最小值是cm．
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