2023-2024学年吉林省普通高中友好学校联合体高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省普通高中友好学校联合体高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(3,2,1)，b=(2,4,0)，则4a−2b=( )
A. (16,0,4)B. (8,16,4)C. (8,−16,4)D. (8,0,4)
2.若直线x+2y=0与直线mx−y+5=0垂直，则m=( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
3.在等差数列{an}中，a3+a5=12−a7，则a1+a9=( )
A. 8B. 12C. 16D. 20
4.已知圆的方程为x2+y2−4x=0，过点(2,1)的该圆的所有弦中，最短弦的长为( )
A. 1B. 2C. 2 3D. 4
5.数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓(忽略水泥建筑的厚度)近似看成抛物线y=ax2的一部分，其焦点坐标为(0,−2)，校门最高点到地面距离约为18米，则校门位于地面宽度最大约为( )
A. 18米B. 21米C. 24米D. 27米
6.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1的中心，则异面直线AE与BD1所成角的余弦值为( )
A. 24
B. 23
C. 104
D. 63
7.数列{an}满足a1=2，an+1=an−1an+1，则数列{an}的前2022项的乘积为( )
A. −1B. −13C. 23D. 1
8.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为( )
A. 6
B. 3
C. 2
D. 33
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆O1：(x−1)2+(y+2)2=4，圆O2：(x−5)2+y2=9，则( )
A. |O1O2|=2 5
B. 圆O1与圆O2的公共弦所在直线方程为8x+4y−15=0
C. 圆O1与圆O2相离
D. 圆O1与圆O2的公切线有2条
10.给出下列命题，其中正确的是( )
A. 任意向量a，b，c满足(a⋅b)⋅c=a⋅(c⋅b)
B. 在空间直角坐标系中，点P(−2,4,3)关于坐标平面yOz的对称点是(−2,−4,−3)
C. 若{a,b,c}是空间的一组基底，则{a+b,b+c,c+a}也是空间的一组基底
D. 若四面体A−BCD为正四面体，G为△BCD的重心，则3AG=AB+AC+AD
11.已知双曲线C：x2a2−y23=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P为C上一点，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线C的实轴长为2B. 双曲线C的一条渐近线方程为y= 3x
C. |PF1|−|PF2|=2D. 双曲线C的焦距为4
12.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，⋯，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列{an}，则( )
A. a4=9B. an+1−an=n+1
C. a10=54D. i=1n1ai=2nn+1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等比数列{an}的公比q，若a1=13，a4=9，则q= ______．
14.经过椭圆x24+y2=1的左焦点F1，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的右焦点，则△AF2B的周长为______．
15.在四面体ABCD中，E是棱CD的中点，且BE=xAB+yAC+zAD，则x+y+z的值为______．
16.已知A，B是抛物线C：y2=2px(p>0)上两点，焦点为F，抛物线上的点(12,y0)到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，则p= ______；若OA⊥OB，则直线AB恒过定点______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知等差数列{an}的公差d=2，且a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=(12)an，求数列{an+bn}的前n项和Sn．
18.(本小题12分)
圆C的圆心为(2,0)，且过点A(1, 3).
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线l：kx−y+4=0与圆C交M，N两点，且|MN|=2 2，求k．
19.(本小题12分)
如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点D为A1B的中点，AA1= 3AB=2 3．
(1)证明：BC/​/平面AC1D；
(2)求直线BC到平面AC1D的距离．
20.(本小题12分)
设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn+1=3an(n∈N*)．
(1)求Sn；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn．
21.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，且PD=CD=2AD=2，E为PC中点．
(1)求证：DE⊥平面PCB；
(2)求二面角A−BP−C的正弦值．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，短轴一个端点到右焦点F的距离为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于P点，设PA=λ1AF,PB=λ2BF，试判断λ1+λ2是否为定值？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：若向量a=(3,2,1)，b=(2,4,0)，
则4a−2b=4(3,2,1)−2(2,4,0)=(8,0,4)，
故选：D．
利用空间向量的坐标运算求解即可．
本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，考查运算求解能力，属于基础题．
由直线的垂直关系可得关于m的方程，求解即可．
【解答】
解：因为直线x+2y=0与直线mx−y+5=0垂直，
所以1×m+2×(−1)=0，解得m=2．
故本题选B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的通项公式及其性质，为基础题．
由题意可得a3+a5+a7=12=3a5，解得a5，再利用a1+a9=2a5，即可得出．
【解答】解：在等差数列{an}中，a3+a5=12−a7，
∴a3+a5+a7=12=3a5，
解得a5=4，
则a1+a9=2a5=8，
故选A．
4.【答案】C
【解析】解：∵圆的方程为x2+y2−4x=0，可化为：(x−2)2+y2=4，
∴圆心A(2,0)，半径r=2，设B(2,1)，
∴当AB与圆的弦垂直时，弦最短，
其中|AB|=1，
最短弦的长为2 r2−|AB|=2 4−1=2 3．
故选：C．
计算出圆的圆心A(2,0)和半径，设B(2,1)，由几何性质知：当AB与圆的弦垂直时，弦最短，再利用垂径定理求解出最短弦长．
本题考查直线与圆的位置关系，考查垂径定理的应用，属基础题．
5.【答案】C
【解析】解：把抛物线y=ax2，化为x2=1ay，
∵焦点坐标为(0,−2)，
∴14a=−2，解得a=−18．
把点(x,−18)代入抛物线方程可得：−18=−18x2，
解得x=±12，
则校门位于地面宽度最大约为24m，
故选：C．
把抛物线y=ax2，化为x2=1ay，根据焦点坐标为(0,−2)，可得14a=−2，解得a.把点(x,−18)代入抛物线方程可得x，即可得出结论．
本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：建立如图的坐标系，设正方体棱长为2，
则A(2,0,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，E(1,1,2)，
则AE=(−1,1,2)，BD1=(−2,−2,2)，
则|AE|= 1+1+4= 6，|BD1|= 4+4+4=2 3，
则cs=AE⋅BD1|AE||BD1|=2−2+4 6×2 3=46 2=4 212= 23，
即异面直线AE与BD1所成角的余弦值为 23，
故选：B．
建立空间直角坐标系，求出向量坐标，利用向量法进行求解即可．
本题主要考查空间异面直线所成角的求解，建立坐标系，利用坐标系和向量法是解决本题的关键，是中档题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意，可知：
a1=2，
a2=a1−1 a1+1=13，
a3=a2−1a2+1=−12，
a4=a3−1a3+1=−3，
a5=a4−1a4+1=2，
…，
∴数列{an}是以4为最小正周期的周期数列，a1⋅a2⋅a3⋅a4=1，
又∵2022÷4=505…2，
∴a2021=a1=2，a2022=a2=13，
则数列{an}的前2022项的乘积为23．
故选：C．
根据递推关系逐步代入可发现数列{an}是一个周期数列，因此可由周期数列的特点得出a2022的值，进而可求．
本题主要考查周期数列的判定以及根据周期数列的特点求出周期数列某项的值，属基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的定义与简单性质，属基础题．
【解答】
解：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c，
∴MF1=2ccs30∘=43 3c，MF2=2c⋅tan30°=23 3c，
∴2a=MF1−MF2=43 3c−23 3c=23 3c，
∴e=ca= 3，
故选：B．
9.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，圆O1：(x−1)2+(y+2)2=4，其圆心O1(1,−2)，半径r=2，
圆O2：(x−5)2+y2=9，其圆心O2(5,0)，半径R=3，
依次分析选项：
对于A，|O1O2|= 16+4=2 5，A正确；
对于B，由于3−2