2024年江西省南昌市部分中学中考数学一模试卷

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一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.我国在环保方面取得的成就，为可持续发展奠定了基础.以下四个环保标志分别是“绿色食品”“节水”“安全饮品”“循环再生”，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在实数1，0， 3，−2中，最小的数是( )
A. 1B. 0C. 3D. −2
3.下列运算正确的是( )
A. x⋅x4=x5B. (a2)3=a5C. 3x2−x2=3D. (2x2)3=6x6
4.已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+a2−1=0有一个根为x=0，则a的值为( )
A. 0B. ±1C. −1D. 4
5.如图，已知AB=AC，AB=8，BC=3，以A、B两点为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M、N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为( )
A. 8 B. 10 C. 11 D. 13
6.如图，四边形ABCD是一个边长为4的菱形纸片，且∠A=60°.现有以下三种方式在纸片剪出一个圆：①直接在菱形纸片上作圆并剪下；②将菱形纸片按如下方式裁剪拼接成一个矩形，再在拼接好的矩形中作圆并剪下；③按如图的方式剪出再拼接成一个圆.三种方式得到的三个最大的圆的半径分别是( )
A. 3, 3,2B. 3,2,2C. 2, 3,2D. 3, 3, 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.单项式13πa2b的次数是______．
8.据统计，2024年春节假日期间，荆州市累计接待游客4095000人次，4095000用科学记数法可表示为______．
9.函数y= 2x+1的自变量x的取值范围是______．
10.因式分解：9a2−9= ______．
11.一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地，设这辆汽车原计划的速度是x km/ℎ，根据题意所列方程是______．
12.如图，点P是边长为6的等边△ABC内一点，连接AP、BP、CP，且∠APB=150°，∠BPC=120°，则△APC的面积是______．
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题3分)
计算：(π−2024)0−2tan45°+|−2|+ 9．
14.(本小题3分)
如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，其中AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.
求证：△ABE≌△CDF．
15.(本小题6分)
如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求完成下列作图：
①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹．
(1)在图1中画一个△ADE，使得△ADE∽△ACB，且相似比为1：2．
(2)在图2中以AB为直径的半圆上找一点P，画出∠PBA，使得∠PBA=22.5°．
16.(本小题6分)
观察小明的作业，回答下列问题．
小明的作业
解：(aa−b−1)÷b2+aba2−2ab+b2−aa+b
=a−a−ba−b⋅(a−b)2b(a+b)−aa+b第一步
=−a−ba+b−aa+b第二步
=−2a+b.第三步
(1)小明的作业中，从第______步开始出现错误．
(2)从第二步到第三步是否正确？若不正确，请说明错误原因．
(3)请写出正确的计算过程．
17.(本小题6分)
从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加羽毛球单打比赛．
(1)若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，则恰好选中乙的概率是______；
(2)任意选取2名学生参加比赛，求选中丙的概率.(用树状图或列表的方法求解)
18.(本小题6分)
如图，一次函数y=−2x+b(b为常数)的图象与反比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的图象交于A，B两点，且点A的坐标为(−1,4)．
(1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式；
(2)点C在y轴上，当S△ABC=3时，求点C的坐标．
19.(本小题8分)
为弘扬中华传统文化，某学校开展民族乐器“开心30分”体验活动.根据学校实际情况，决定开设A：古筝；B：唢呐；C：二胡；D：琵琶四种体验乐器.为了解学生最喜欢哪一种民族乐器，随机抽取了一部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两个统计图请结合图中的信息解答下列问题：
(1)本次共调查了多少名学生？
(2)请将两个统计图补充完整．
(3)若该中学有1200名学生，喜欢体验古筝民族乐器的学生约有多少名？
20.(本小题8分)
垃圾分类齐参与，美好生活共创建.为巩固创文成果，某社区计划购买甲，乙两种型号的垃圾桶，已知每个甲型垃圾桶比每个乙型垃圾桶少40元，且300元购买甲型垃圾桶的数量与500元购买乙型垃圾桶的数量相同．
(1)求甲、乙两种型号的垃圾桶的单价；
(2)若需购买甲，乙两种型号的垃圾桶共100个，总费用不超过8500元，至少需购买甲型垃圾桶多少个？
21.(本小题8分)
如图所示，点P表示广场上的一盏照明灯．
(1)请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子(用线段表示)；
(2)若小丽到灯柱MO的距离为4.5米，照明灯P到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离(结果精确到0.1米)．
(参考数据：tan55°≈1.428，sin55°≈0.819，cs55°≈0.574)
22.(本小题9分)
如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，BD=AD，连接AC，BC，AD，BD，过点D作DE/​/AB交CB的延长线于点E．
(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)若AB=10，BC=6，求AD，BE的长．
23.(本小题9分)
某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠BAC=θ(0°<θ<90°).现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．
活动一：
如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
(1)小棒能无限摆下去吗？答：______.(填“能”或“不能”)
(2)设AA1=A1A2=A2A3=1．
①θ= ______度；
②若记小棒A2n−1A2n的长度为an(n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，…)求出此时a2，a3的值，并直接写出an(用含n的式子表示)．

活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．
数学思考：
(3)若已经摆放了3根小棒，θ1= ______，θ2= ______，θ3= ______；(用含θ的式子表示)
(4)若只能摆放4根小棒，求θ的范围．
24.(本小题12分)
【定义】
例如，如图1，过点A作AB⊥l1交l1于点B，线段AB的长度称为点A到l1的垂直距离，过A作AC平行于y轴交l1于点C，AC的长就是点A到l1的竖直距离．

【探索】
当l1与x轴平行时，AB=AC．
当l1与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离AB与点到直线的竖直距离AC存在一定的数量关系，当直线l1为y=12x+1时，AB= ______AC．
【应用】
如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为30°，该斜坡上有一棵小树(垂直于水平面)，树高2m，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距OA=2m，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线y=−x2+bx，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处．
(1)b= ______．
(2)如图3，现决定在山上种另一棵树MN(垂直于水平面)，树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架PN，求出PN的最大值．
【拓展】
(3)如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时OC=4 3m，如图，种植一棵树MN(垂直于水平面)，为了保证灌溉，请求出MN最高应为多少？