培优冲刺03 导数压轴小题归类-【查漏补缺】2024年高考数学复习冲刺过关（新高考通用）

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培优冲刺03 导数压轴小题归类
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc2954" 题型一：切线条数 PAGEREF _Tc2954 \h 1
\l "_Tc18299" 题型二：公切线 PAGEREF _Tc18299 \h 5
\l "_Tc16457" 题型三：切线逼近型 PAGEREF _Tc16457 \h 7
\l "_Tc25137" 题型四：“切线法”数学思想 PAGEREF _Tc25137 \h 10
\l "_Tc24813" 题型五：多参：双变量“恒成立”转“存在”型 PAGEREF _Tc24813 \h 14
\l "_Tc23306" 题型六：多参：构造单变量型 PAGEREF _Tc23306 \h 16
\l "_Tc24243" 题型七：同构求参 PAGEREF _Tc24243 \h 18
\l "_Tc16108" 题型八：极值型求参 PAGEREF _Tc16108 \h 20
\l "_Tc22804" 题型九：零点型求参 PAGEREF _Tc22804 \h 24
\l "_Tc9427" 题型十：三个零点型求参 PAGEREF _Tc9427 \h 28
\l "_Tc21218" 题型十一：多参：凸凹反转型 PAGEREF _Tc21218 \h 31
\l "_Tc13573" 题型十二：三角函数型 PAGEREF _Tc13573 \h 34
题型一：切线条数
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，点为平面内一点，则下列说法错误的是（ ）
A．当，时，过点可作曲线的三条切线
B．当，时，过点可作曲线的三条切线
C．若过点不能作曲线的切线，则，
D．若过点可作曲线的两条切线，则，
【答案】D
【分析】设出切点，借助导数的几何意义可得切线方程，将代入切线方程后构造相应函数，对进行分类讨论后结合导数求取方程的解的个数即可得切线条数．
【详解】令点在函数上，且其切线过点，
，，，故点的切线方程为，
由点在该直线上，故有，即，
令，，则
，由，故，
令，则或，
①当时，时，，时，，
（Ⅰ）当，时，，
时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
有，，
故当，时，有三个不同的解，
即过点可作曲线的三条切线，即A正确；
当或时，有两个不同的解，
即过点可作曲线的两条切线，故D错误；
（Ⅱ）当，时，，时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
亦有，，
故当，时，有三个不同的解，
即过点可作曲线的三条切线，
即B正确；
（Ⅲ）当，恒成立，即在上单调递减，即有且仅有唯一解，
故此时可作的切线且只能作唯一一条，当时，对任意的，恒有解，
即过点恒能作曲线的切线，②当，时，，时，，
故在上单调递增，在上单调递增减，有，时，，
故当，时，无解，
即过点不能作曲线的切线，故C正确．
故选：D.
2．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，过点作的切线，若（），则直线的条数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先得到在处的切线方程为，点一定不在上，一定为过的一条切线，再设切点坐标为，，得到切线方程，将代入，化简得到，，构造函数，求导，得到其单调性，从而得到除外，过点作的切线还有一条，得到答案．
【详解】，令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，故在R上单调递增，又，，故在处的切线方程为，点在上，故上只有点满足，
又因为，所以，故点一定不在上，且一定为过的一条切线，
设切点为，，则切线的斜率为，故切线方程为，
因为在切线上，故整理得，
由可知，恒成立，故，，令，，
则，令，则在上恒成立，故在上单调递增，
又，当时，，当时，，又时，，时，，
故恒成立，在上单调递增，故，只有1个根，即除外，过点作的切线还有一条，共2条．故选：C
3．已知函数，过点作函数的两条切线，切点分别为，下列关于直线斜率的正负，说法正确的是（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】A
【分析】求导，写出切线方程，代入点，得到两方程与，
结合斜率公式得到，构造函数判定的符号，求出答案．
【详解】因为，所以，设切点分别为，
则在处的切线方程为，即，
因为该切线过点，所以，即，
且，即，同理，，
且，即，
则，
下面判定的符号：令，则，，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，，
若，则，
令，
，即在上单调递减，且，
则，即，因为在上单调递增，则，即，
即．故选：A.
4．若过点可作函数图象的两条切线，则必有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设切点为，，求导，根据导数的几何意义可得有两个正根，利用判别式及根与系数关系列不等式可得解．
【详解】设切点为，，又，所以切线斜率，
所以切线方程为，又切线过点，则，，
即，由过点可作两条切线，所以有两个正根，
即，整理可得，故选：C.
题型二：公切线
1．若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．B．1C．eD．
【答案】B
【分析】设出切点，求出，，根据斜率列出方程，得到，，构造，利用函数单调性和图象特征，求出，从而求出答案．
【详解】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，
则，且，所以，，且，所以，
令，，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，且，，所以当时，，
因为，，即，
所以，所以，故故选：B
2．已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，结合题意可知方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与最值情况，即可得实数的取值范围．
【详解】由题意可知：，
设函数上的切点坐标为，函数上的切点坐标为，
且，，则公切线的斜率，可得，则公切线方程为，
代入得，代入可得，整理得，
令，则，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，设，则，令，解得；令，解得；
则在内单调递增，在单调递减，可得，
且当x趋近于时，趋近于；当x趋近于时，趋近于，
可得，解得，故实数的取值范围为．故选：A.
3．已知两条不同的直线与曲线都相切，则这两直线在y轴上的截距之和为（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
【答案】A
【分析】设曲线上切点为，曲线上切点为，由切线斜率得，消去得，设，利用导数证明其有两解，并且两解的积为1，从而得出曲线上两个切点的横坐标积为1，写出切线方程得出纵截距并求和即得．
【详解】设曲线上切点为，曲线上切点为，
，，因此有，消去得，设，
，易知在上是增函数，，，
因此在也即在上有唯一解，时，，递减，时，，递增，
，，，而，
，因此在和上各有一解．
设的解分别为，即，又，所以也是的解，即，，
所以方程有两解且，于是切线方程为，在轴上截距为，同理另一条切线在轴上截距是，两截距和为．故选：A．
4．若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a关于切点x的解析式，根据解析式的值域确定a的范围．
【详解】设是曲线的切点，设是曲线的切点，
对于曲线 ，其导数为 ，对于曲线 ，其导数为 ，
所以切线方程分别为：，，两切线重合，
对照斜率和纵截距可得：，解得（），令 （），
，得：，
当 时， ，是减函数，
当 时， ，是增函数，
∴且当x趋于 时，， 趋于 ；当 趋于 时， 趋于；
∴，∴；故选：D．
题型三：切线逼近型
1．已知函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令，，，可将问题转化为方程组有且只有一组实数根．后通过研究曲线，及曲线过原点与的切线，可得答案．
【详解】令，则
，令，则
，令，则.
令在上单调递增；
在上单调递减；
又，，则有且只有两根，分别为.
则函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，
等价于方程组有且只有一组实数根．
令，则，
当时，，则此时在上递增，又.
即，则有且只有一组实数根．当时，方程组有且只有一组实数根，
等价于函数图象与直线图象有两个交点，
临界情况为两条直线与图象相切．
当与相切，设对应切点为，因
，则相应切线方程为；
当与相切，设对应切点为，则相应切线方程为，则.
综上，．故选：A
2．已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，利用导数求过原点的切线，结合图象分析求解．
【详解】作出的图象，如图所示令，可得，
由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，若，则，可得，
设切点坐标为，切线斜率为，则切线方程为，
代入点，可得，解得，此时切线斜率为；
若，则，可得，
设切点坐标为，切线斜率为，
则切线方程为，代入点，可得，解得，此时切线斜率为；
结合图象可知的取值范围为．故选：D.
3．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将问题转化为函数与的图象有2个交点，则利用导数的几何意义求出直线与曲线相切时的直线的斜率，再结合图形可求出实数的取值范围．
【详解】有两个零点，即有两个正实根，
即函数与的图象有2个交点．
直线过定点，当该直线与曲线相切时，设切点为，
又，则，即，
令，则，所以在上单调递增，
又，故有唯一零点，故，
所以当直线与曲线相切时，切点为，则切线斜率为1．
要使函数与的图象有2个交点，则需满足，
所以．
故选：B．

4．已知函数，对于定义域内的任意恒有，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将不等式进行等价转化为恒成立，，原不等式等价于：，进而得到当且仅当直线与曲线相切时取得最值，利用导数的几何意义进而求解,.
【详解】不等式可化为，
因为，将不等式两边同时除以得，
令，原不等式等价于：，
设，，对求导可得，
则函数单调递减且下凸，要使恒成立，
则直线与曲线相切时取最值，如图，
当直线与曲线相切时，设切点为，
则，且，整理可得，，
解得：，此时，故选：A.
题型四：“切线法”数学思想
1．已知为函数图象上一动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】先观察出函数关于对称，在根据所求的式子可以判断时比的值要大，所以只需研究的情况即可，把所求的式子经过换元，适当的变形转化为复合函数问题，其中一个内层函数又是两点斜率问题，借助数形结合思想和导数的几何意义即可求出最值．
【详解】由函数解析式可知函数关于对称，设，不妨设
则，当，，
即当时的值要大于时的值，所以只需研究的情况即可，
当时，，设，
则，
根据复合函数单调性可知：时，递增，当，递减．
，所以的几何意义是函数上一点与点的斜率，
设过点的切线与函数的交点坐标（即切点）为，，
所以切线的斜率，切线方程为，把点代入切线方程整理得：
，所以或，设，，
所以在单调递增，所以，
即不合题意，所以，此时切线的斜率，
如图：

根据数形结合思想可知的范围为，所以当时，最大，
此时．故选：A
2．已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知得点在直线上，点在曲线上，的几何意义就是直线到曲线上点的距离最小值的平方，由此能求出的最小值．
【详解】实数满足，，
点在直线上，点在曲线上，
的几何意义就是直线到曲线上点的距离最小值的平方，
考查曲线平行于直线的切线，，令，
解得，切点为，
该切点到直线的距离，就是所求的直线与曲线间的最小距离，故的最小值为．故选：D
3．若＝＝1，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为（ ）
A．B．
C．D．e4＋5e2＋5
【答案】C
【分析】问题转化为曲线（）上的点与直线上的点之间的距离的平方，由曲线的单调性及同一平面直角坐标系中画出两解析式图象，得到曲线的切线与直线平行时，此时切点到直线的距离的平方即为所求，求出切点坐标，利用点到直线距离公式求得答案．
【详解】由得：（），，则表示曲线（）上的点与直线上的点之间的距离的平方，（），当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，且，在同一平面直角坐标系中画出两解析式，如图所示：
当曲线的切线与直线平行时，此时切点到直线的距离即为曲线（）上的点与直线上的点之间的距离的最小值，令，解得：，其中，所以切点为，其中，则即为答案．
故选：C
4．已知点是曲线上任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
判断直线与曲线的位置关系，利用式子表示的几何意义，转化为点与点确定的直线同直线夹角正弦最值求解即可．
【详解】依题意，，令直线，显然过点，
由，得，显然，
即直线与曲线相离，且，则曲线上的点在直线上方，
过作于，则，而，
因此，
令过点的直线与曲线相切的切点为，由，求导得，
则此切线斜率，解得，即切点为，
而点在曲线的对称轴上，曲线在过点的两条切线所夹含原点的区域及内部，
当点的坐标为时，锐角最大，最大，最大，
此时，，
所以的最大值为.
故先：D
题型五：多参：双变量“恒成立”转“存在”型
1．已知函数，若恒成立，则的最大值是（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B
【分析】根据题意，转化为恒成立，令，求得，得出函数的单调性与最小值，转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．
【详解】因为函数，当时，函数为单调递减函数，为单调递增函数，显然不能恒成立，所以，
由恒成立，即恒成立，即恒成立，
令，可得，
令，即，可得，即，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
所以，
则，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，函数取得最大值，最大值为，所以，
即的最大值为．故选：B.
2．已知正数满足，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】不等式可化为，分别构造函数，利用导数求出函数的最大、最小值，由不等式左边最小值等于右边的最大值，建立方程即可得解．
【详解】由，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，故，
当且仅当，即时取等号；
设，则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
当且仅当时取等号，
又，则，
此时，则.
故选：A
3．已知，为实数，，，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，结合恒成立不等式可得函数有相同零点，并用a表示出ab，再构造函数，求出最小值作答．
【详解】依题意，函数与在上都单调递增，且函数的值域是R，
，不等式恒成立，当且仅当函数与有相同的零点，
因此，由得，由得，于是得，
则，令，，求导得，
当时，，当时，，因此函数在上递减，在上递增，
当时，，从而得，
所以的取值范围为.
故选：D
4．已知m，n为实数，，若对恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】利用导数的性质，结合构造函数法进行求解即可．
【详解】，
当时，恒成立，则单调递增，，显然不恒成立，
当时，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增，
∴，
∵恒成立，∴，∴，
∴，令，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴．故选：B
题型六：多参：构造单变量型
1．已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造，，求导研究其单调性，判断出D选项，利用同角三角函数关系得到AB选项，构造差函数，得到，从而判断出C选项．
【详解】构造，，则恒成立，则，
当时，，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，因为，所以，，
又，所以，D错误，
因为，所以，，
所以，所以，A错误，B正确．
令，则，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，，即，因为，所以
因为，所以，因为在单调递减，所以，即
因为在上单调递减，所以，C错误
故选：B
2．已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】由已知得，构造，结合的单调性知，故将化为，利用导数求的最大值即可．
【详解】∵，∴即，
设，则，且，所以在上，单调递增，
正实数，，∴，即，所以等价于，即，
∴，设，∴，∴，
设，，所以单调递减，且，
所以在上，，，单调递增，在上，，，单调递减，
所以，即最大值为0，故选：A.
3．若实数满足，则（ ）
A．-4B．-3C．-2D．-1
【答案】A
【分析】根据给定等式构造函数，探讨函数的对称性及单调性，由此计算得解．
【详解】令函数，求导得，
则函数在R上单调递增，
又
，因此函数的图象关于点对称，
由，得，即，
所以.
故选：A
4．已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过构造函数，利用函数的单调性以及式子的结构特征进行分析．
【详解】因为，所以，令，所以，对函数求导：
， 由有：，
由有：，所以在单调递增，在
单调递减，因为，由有：，故A错误；
因为，所以，由有：，故D错误；
因为，所以，
因为，所以，所以，故C正确；
令 有：=，当，．所以在单调递增，当时，，
即，又，所以，因为，所以，因为在内单调递减，所以，即，故B错误．
故选：C.
题型七：同构求参
1．已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可．
【详解】由题意，不等式即，进而转化为，
令，则，
当时，，所以在上单调递增．
则不等式等价于恒成立．
因为，所以，
所以对任意恒成立，即恒成立．
设，可得，
当单调递增,当单调递减．
所以有最大值，于是，解得．
故选：B
2．已知关于x的不等式在上恒成立，则正数m的最大值为（ ）
A．B．0C．eD．1
【答案】C
【分析】将不等式变形得到，构造，研究其单调性得到，取对数后参变分离得到，构造，求导后得到，从而得到，求出，得到答案．
【详解】变形为，
即，
其中，，故，
令，则有，
因为在上恒成立，故在上单调递增，
故，两边取对数得：，则，
令，则，故当时，，
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，也是最大值，，
所以，解得：，故正数m的最大值为.
故选：C
3．已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用同构变形得到，构造函数，，
结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值．
【详解】因为，所以，
即，构造函数，所以，
令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，
当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
因为当时，单调递减，故，两边取对数得：，
令，则，令得：，令得：，
所以在单调递增，在单调递减，所以故a的最小值是．故选：C
4．已知关于的不等式恒成立，其中为自然对数的底数，，则（ ）
A．既有最小值，也有最大值B．有最小值，没有最大值
C．有最大值，没有最小值D．既没有最小值，也没有最大值
【答案】B
【分析】对不等式进行变形，构造新函数，结合单调性与同构得到，从而利用导函数研究，求出最大值，从而求出，得到答案．
【详解】变形为：，
即，
令（）则上式可化为：，
其中，所以（）单调递增，
故，即，令，
则，当时，，当时，，
所以在处取得极大值，也是最大值，
故，所以，解得：，
综上：有最小值，无最大值．
故选：B
题型八：极值型求参
1．已知函数存在极小值点，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据给定条件，利用导数结合零点存在性定理探讨极小值点，并求出极小值，利用导数求出的解集，再利用导数求出的范围．
【详解】函数的定义域为，求导得，
当时，函数在上单调递减，，
，则存在，使得，
当时，，递增，当时，，递减，
函数在取得极大值，无极小值，不符合题意；
当时，令，求导得，显然在上单调递增，
当时，，函数递减，当时，，函数递增，
于是，
当，即时，，函数在上单调递增，函数无极值，
当时，，而，
存在，使得，当时，，函数递增，
当时，，函数递减，函数在取得极大值，
又，令，求导得，
函数在上单调递减，，则，
存在，使得，当时，，函数递减，
当时，，函数递增，函数在取得极小值，因此，
由，得，，
即有，令，求导得，
函数在上单调递减，而，即有，于是，
显然，令，求导得，即函数在上单调递减
因此，即，又，则，
所以实数的取值范围为.
故选：D
2．若函数有两个极值点，且，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．的范围是
C． D．
【答案】B
【分析】原函数的极值点即为导函数的零点，求导后等价于与有两个交点，结合单调性等函数特征画出图像判断出，且；利用推导，则可得；而等价于，构造合适的函数进行分析．
【详解】，有两个极值点且，
∴，有两个零点，且在各自两边异号，
∴与有两个交点，，
记，则，易知：时，时，
∴在上递增，在上递减，
∴有最大值，且时，时，
又当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远超过趋向于正无穷的速率，所以趋向于0，且，由上可得的图像如下，
∴当且仅当时与有两个交点，
且，故A正确，B不正确．
又，
∴，故 C正确．
令，则,∴，则，，
∴要证，只需证，
只需证，
令，则，
∴在上单调递减，即时，不等式得证，故D正确．
故选：B
3．已知函数有两个极值点、，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的定义域与导函数，令，依题意可得 在区间上有两个不相等实数根，求出函数的导函数，对分类讨论，解得即可．
【详解】解：因为定义域为，，令，
函数有两个极值点，则在区间上有两个不相等的实数根，，
当时，，则函数在区间单调递增，因此在区间上不可能有两个不相等的实数根，应舍去；当时，令，解得，令，解得，即在上单调递增；
令，解得，即在上单调递减．当时，函数取得极大值即最大值．
而当时，，当时，，要使在区间上有两个不相等实数根，
则，解得，实数的取值范围是．故选：A
4．已知函数，若存在两个极值点，，当取得最小值时，实数的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】结合已知条件，分析出，然后转化为，通过求在上的最小值来确定的最小值，进而即可求解．
【详解】由题意可知，有两个变号零点，即有两个不同的正根，，
不妨令，则，当时，，故在上单调递减，
此时最多只有一个零点，不合题意；
当时，；，故在上单调递增，在单调递减，
因为，，且由对数函数性质可知，当足够大时，，所以由零点存在基本定理可知，，因为，，
所以，不妨令，由，从而，
因为，令，则，从而在单调递增，且，
故对于，，即在单调递增，从而当取得最小值是，也取得最小值，即取得最小值，不妨令，，则，令，则对于恒成立，故在上单调递增，因为，，
所以存在唯一的，使得，
故；，从而在上单调递减，在单调递增，
故，此时也取得最小值，即，故.
故选：D.
题型九：零点型求参
1．已知定义在上的函数满足，且当时，，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题设，求分段函数的解析式并画出图象，将方程有三个不同实根转化为和有三个不同的交点问题，由数形结合思想结合导数研究函数的交点情况，进而求参数的范围．
【详解】∵当时，，∴当时，，综上，，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，∵有三个不同的实数根，
∴的图象和直线有三个不同的交点，作的大致图象如图所示，
当直线和的图象相切时，设切点为，∴，可得，，
代入，可得，当过点时，.
由图知，实数的取值范围为．故选：D.
2．函数有两个零点，下列说法错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将问题转化为与有两个交点，数形结合即可判断A选项，并求出的取值范围；利用极值点偏移构造新函数，结合，即可判断D选项；对进行变形，利用表示，结合原不等式构造新函数，再求导确定最值即可判断B选项；由，结合的取值范围，即可判断C选项．
【详解】对于A，因为函数有两个零点，所以方程有两个根，
即，即与有两个交点，设，所以，
当时，解得：，此时函数单调递增，当时，解得：，此时函数单调递减，
所以是函数定义域内的唯一极大值点，则，
当时，恒成立，此时，当时，，此时，当时，，此时，画出函数图象如下图所示：
结合图象可得当时，与有两个交点，即函数有两个零点，故A选项正确；
对于D，因为，结合图像可知，因为，由可得，由可得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，则必有，则由得，，令，其中
则，则函数在上单调递减，所以，即，又，可得：，因为函数的单调递减区间为，所以，即
，故D选项错误；
对于B，，两式相减有，要证，即证，
又，即证：，又，考虑函数和函数的图象，如下图：
将的图象沿作对称变换，得，
令，且
设，则，
，当时，有；当时，有，
即在时单调递增，在时单调递减，，则在上恒成立，
在上单调递减，又，当时，，时，，
即当时，，即，，
当时，，即，，
又，即，，即，故B选项正确；
对于C，因为，所以，又因为，则，所以，又，可得，故C选项正确．故选：D.
3．在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将不等式转化为，分别研究两个函数的性质，确定的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小的取值范围，列出不等式组，求出结果．
【详解】由，化简得：，
设，，则原不等式即为．若，则当时，，，
原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴．∵，，∴.
当，即时，设，则.
设，则在单调递减，所以，所以在单调递减，∴，
∴当时，，∴在上为减函数，即，
∴当时，不等式恒成立，原不等式的解集中没有大于2的整数．
要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则，即，解得.
则实数的取值范围为．故选：D
4．若函数存在零点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】函数存在零点，转化为方程在内有解，设函数，则有解，得到在内有解，问题转化为求在上的最小值，利用导数分析函数的单调性，可求函数的最小值．
【详解】由得，
设，则，∴在上单调递增，
∴，∴，，，即．
所以存在零点等价于方程有解，令，则，
当时，；当时，，所以在上为减函数，在上为增函数，
所以．故选：B
题型十：三个零点型求参
1．已知方程有4个不同的实数根，分别记为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将问题转化为，进而构造函数，求导确定函数的单调性，结合二次方程根的分布可得，进而可求解．
【详解】易知不是方程的根，故当时，可化为，
令，得．设，则，令，可得或，令，可得，故在和上单调递减，在上单调递增，，
作出的大致图象，如图，数形结合可得方程有两个不相等的实数根，设为，，
则，且，则，解得，不妨设，
则，
由，可得．故选：A．
2．已知函数，（）的三个零点分别为，，，其中，的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造，结合零点个数及单调性求出，求出且，利用基本不等式得到，从而得到答案．
【详解】∵，令，即，（）
令，（），则，则，（），
令，（），要想除1外再有两个零点，则在上不单调，
则，解得：或，当时，在恒成立，
则在单调递增，不可能有两个零点，当时，设，即的两根为，且，
则有，故，令，解得：或，令，解得：，
所以在，上单调递增，在上单调递减，因为，所以，
又因为，若，则，因为，所以，
所以，
因为，故.
检验：当时，（），，此时在上单调递增，又，即，此时为临界情况，；
综上：的取值范围为．故选：D.
3．已知函数的三个零点分别为，其中，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对函数进行整理，构造，结合零点个数及单调性求出，求出且，利用基本不等式得到，从而得到答案．
【详解】，显然，令，（），即，（）令，（），则
，（），
令，（），
要想除1外再有两个零点，则在上不单调，则，解得：或，
当时，在恒成立，则在单调递增，不可能有两个零点，舍去
当时，设即的两根为，且，则有，故，
令，解得：或，令，解得：，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，
又因为，若，则，因为，所以，
所以
，因为，所以，故.
检验：当时，（），，此时在上单调递增，又，即，此时为临界情况，
综上：的取值范围为．故选：C
4．已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，将原函数的零点转化为方程的根，令，转化为，再令，得到使时的根的个数，再分类讨论的范围与根的关系，结合函数与方程性质及零点的关系即可得．
【详解】令，得，整理得，
令，原方程化为，设， 则，令，解得，且，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，
则在时，有最大值为，则当时，有一个解，当时，有两个解，
当时，有一个解，当时，无解，因为原方程为，
由题可知有三个零点，因此方程有两个不等实根、，设，则有，，
若，则，故舍去，若，则，，
有，即有，，代入得，矛盾，故舍去，若则，，
，设，则，得到，
所以．故选：D.
题型十一：多参：凸凹反转型
1．已知正数满足，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】不等式可化为，分别构造函数，利用导数求出函数的最大、最小值，由不等式左边最小值等于右边的最大值，建立方程即可得解．
【详解】由，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，故，
当且仅当，即时取等号；
设，则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
当且仅当时取等号，又，则，
此时，则．故选：A
2．已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）
A．7B．8C．9D．11
【答案】C
【分析】等价于，令，，分别求，的导数，判断函数的单调性，可求得有最大值，有最小值，根据题意，即求，代入为，等价于，令，即求的最大的正整数．对求导求单调性，可知单调递减，代入数值计算即可求出结果．
解：由题干条件可知：等价于，
令，，则 ， ，
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，则有最大值.
令，，则，当时，此题无解，所以，
则，当，当，
所以在上单调递减，在上单调递增，则有最小值.
若成立，只需，即，即，
两边取对数可得：.时，等式成立，当时，有，
令，本题即求的最大的正整数．
恒成立，则在上单调递减，
，，，
所以的最大正整数为9．。故选：C.
3．已知实数，满足，则的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设，，得，变形为，令，，求导求最值得,结合取等条件求出x,y即可
【详解】
设，，则
，
令，(m)=m0,m>1,(m)1,(m)