押新高考第3题 排列组合与二项式定理-2024年高考数学临考题号押题（新高考通用）

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2、锻炼同学的考试心理，训练学生快速进入考试状态。高考的最佳心理状态是紧张中有乐观，压力下有自信，平静中有兴奋。
3、训练同学掌握一定的应试技巧，积累考试经验。模拟考试可以训练答题时间和速度。高考不仅是知识和水平的竞争，也是时间和速度的竞争，可以说每分每秒都是成绩。
4、帮助同学正确评估自己。高考是一种选拨性考试，目的是排序和择优，起决定作用的是自己在整体中的相对位置。因此，模拟考试以后，同学们要想法了解自己的成绩在整体中的位置。
押新高考3题
排 列 组 合 与 二 项 式 定 理
1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【答案】64
【分析】
分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种.
故答案为：64.
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种B．种
C．种D．种
【答案】D
【分析】
利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.
【详解】
根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.
故选：D.
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第13题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第5题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
1.分类计数原理（加法原理）
.
2.分步计数原理（乘法原理）
.
3.排列数公式
==.(，∈N*，且)．注:规定.
4.组合数公式
===(∈N*，，且).
5.排列数与组合数的关系
.
6．单条件排列
以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有种；
②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：个元在固定位的排列有种.
②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.
（3）两组元素各相同的插空
个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当时，无解；当时，有种排法.
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.
7．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.
（2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有
.
8.二项式定理 ;
二项展开式的通项公式
.
1．（2024·福建漳州·一模）的展开式中的系数为（ ）
A．48B．30C．60D．120
【答案】C
【分析】根据题意结合二项式定理分析求解.
【详解】因为的展开式的通项公式为，
令，解得，可得的系数为.
故选：C.
2．（2024·浙江·一模）展开式中含项的系数为（ ）
A．30B．C．10D．
【答案】B
【分析】根据排列组合与二项式定理知识直接计算即可.
【详解】由题意得，展开式中含的项为，
所以展开式中含项的系数为.
故选：B
3．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）的展开式中，的系数为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【分析】
利用二项式定理，结合多项式的乘法法则，列式计算即得.
【详解】依题意，，，
所以的展开式中，的系数为.
故选：B
4．（2024·浙江温州·二模）在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为（ ）
A．B．64C．D．32
【答案】A
【分析】设，利用赋值法计算可得.
【详解】设，
令可得，
令可得，
所以，
即在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为.
故选：A
5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知的展开式的各项系数和为4096，则展开式中的系数为（ ）
A．15B．1215C．2430D．81
【答案】B
【分析】根据题意，令，求得，化简得到展开式的通项，进而得到答案.
【详解】因为的展开式的各项系数和为，
令，可得，解得，即二项式为，
可得其通项为，
令，可得，所以展开式中的系数为.
故选：B.
6．（2024·福建龙岩·一模）的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．14D．49
【答案】D
【分析】根据二项式的展开式的通项进行合理赋值即可.
【详解】的展开式的通项为，
则，，
则展开式中的系数为，
故选：D.
7．（2024·广东·模拟预测）二项式的各项系数之和为（ ）
A．512B．C．2D．
【答案】B
【分析】令进而求解即得.
【详解】令，则二项式的各项系数之和为，
故选：B
8．（2024·辽宁丹东·一模）的展开式中常数项为（ ）
A．24B．25C．48D．49
【答案】D
【分析】利用二项式定理连续展开两次，然后令，从而满足题意的数组可以是：，将这些数组回代入通项公式即可运算求解.
【详解】的展开式通项为
，
令，得满足题意的数组可以是：，
规定，
故所求为.
故选：D.
9．（2024·广东汕头·一模）展开式中项的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解.
【详解】的展开式通项为，
因为，
在中，令，可得项的系数为；
在中，令，得，可得项的系数为.
所以，展开式中项的系数为.
故选：A.
10．（2024·河北邯郸·三模）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．6D．192
【答案】A
【分析】
利用二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】的展开式的通项为，
令，得，
所以的系数为．
故选：A.
11．（2024·山东聊城·一模）设，其中，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】
展开后找到不能被7整除的项，求出被7整除的余数.
【详解】
在所有的展开项中，只有不能被7整除，
故，其中，
故选：D
12．（2024·山东烟台·一模）若，则（ ）
A．100B．110C．120D．130
【答案】C
【分析】利用二项式定理分别求出即可计算得解.
【详解】在中，，，
所以.
故选：C
13．（2024·江苏·一模）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用赋值法，分别令可得.
【详解】令，则，；
令，则；
.
故选：C.
14．（2024·湖南常德·三模）已知，则=（ ）
A．9B．10C．18D．19
【答案】D
【分析】先将等式两边同时乘以，再将两边同时求导后，令可得.
【详解】由得，
分别对两边进行求导得
，
令，得，
得，
故选：D
15．（2024·广东江门·一模）已知，则的值是（ ）
A．680B．C．1360D．
【答案】B
【分析】利用赋值法，分别令和，将得到的两式相加，结合等比数列的求和，即可求得答案.
【详解】令，则，即
令，则，
即，
两式相加可得，
故选：B
16．（2024·江苏徐州·一模）中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】A
【分析】每人都有3种选法，结合分布计数原理即可求解.
【详解】由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有种，经检验只有A选项符合.
故选：A
17．（2024·浙江·模拟预测）现有一项需要用时两天的活动，要从5人中安排2人参加，每天安排一人，若其中甲、乙2人在这两天都没有参加，则不同的安排方式有（ ）
A．20种B．10种C．8种D．6种
【答案】D
【分析】
根据排列数的定义和公式，即可求解.
【详解】由题意可知，从除甲和乙之外的3人中选2人，安排2天的活动，有种方法.
故选：D
18．（2024·安徽池州·二模）甲乙两人分别从五项不同科目中随机选三项学习，则两人恰好有两项科目相同的选法有（ ）
A．30种B．60种C．45种D．90种
【答案】B
【分析】利用先选后排可得不同的选法数.
【详解】两人恰好有两项科目相同的选法为.
故选：B.
19．（2024·辽宁·一模）某表彰会上3名男同学和4名女同学从左至右排成一排上台领奖，则女生甲与女生乙相邻，且女生丙与女生丁相邻的排法种数为（ ）
A．194B．240C．388D．480
【答案】D
【分析】由题意，将女生甲与女生乙和女生丙与女生分别捆绑起来算作两个元素，再与3名男同学全排列即可.
【详解】解：因为女生甲与女生乙相邻，且女生丙与女生丁相邻，
则捆绑起来算作两个元素，与3名男同学构成5个元素，
则排法共有：种，
故选：D
20．（2024·辽宁·一模）第19届亚运会于2023年9月至10月在杭州举行，来自浙江某大学的4名男生和3名女生通过了志愿者的选拔，若从这7名大学生中选出2人或3人去某场馆担任英语翻译，并且至少要选中1名女生，则不同的挑选方案共有（ ）
A．15种B．31种C．46种D．60种
【答案】C
【分析】可用“间接法”解决问题.
【详解】至少要选中一名女生的对立事件是选中的全为男生，故所求挑选方案的种数为.
故选：C
21．（2024·湖南邵阳·二模）某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（ ）
A．240种B．120种C．156种D．144种
【答案】D
【分析】
将甲乙捆绑，并确定丙的位置，排序即可.
【详解】将将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个发言，
则丙的位置有3个，将剩余4个元素再排序有种方法，
故不同的安排方法共有种.
故选：D.
22．（2024·湖南·二模）将甲､乙､丙､丁4个人全部分配到三个地区工作，每个地区至少有1人，则不同的分配方案为（ ）
A．36种B．24种C．18种D．16种
【答案】A
【分析】把4个人按分成3组，再分配到三个不同地区即可.
【详解】依题意，三个地区中必有一个地区有2人，
先在甲､乙､丙､丁4个人中选2个人有种组合，将这两个人捆绑在一起看作一个元素，
与其他2个人一起分配到三个地区，共有种.
故选：A
23．（2024·浙江·模拟预测）某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（ ）
A．2025种B．4050种C．8100种D．16200种
【答案】B
【分析】首先考虑两对混双的组合，再考虑余下名男选手和名女选手组成两对男双组合，两对女双组合，按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】先考虑两对混双的组合有种不同的方法，
余下名男选手和名女选手各有种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，
故共有．
故选：B
24．（2024·浙江金华·模拟预测）将1至8这8个整数排成一列，要求任意相邻两项互质，则不同的排列方法有（ ）
A．1296种B．1728种C．2304种D．2592种
【答案】B
【分析】任意相邻两项互质，采用插空法，由排列组合的知识求解即可
【详解】由于任意相邻两项互质，所以偶数必须隔开，
所以先把四个奇数排成一列有种方法，然后把偶数插空进去，
四个偶数中只有不能与相邻，其他偶数可以随意插空，
所以先考虑把插空，有种选择，剩下的个偶数在剩下的个空中随意插空，
所以共有：.
故选：B.
25．（2024·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（ ）
A．48种B．36种C．24种D．12种．
【答案】A
【分析】满足条件的涂色方案可分为区域同色，且和其它区域不同色和区域同色两类，且和其它区域不同色，结合分步乘法计数原理，分类加法计数原理求解即可
【详解】满足条件的摆放方案可分为两类，
第一类区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案，
满足条件的方案可分四步完成，
第一步，先摆区域有种方法，
第二步，摆放区域有3种方法，
第三步，摆放区域有2种方法，
第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法，
由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案，
第二类，区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案，
满足条件的方案可分四步完成，
第一步，先摆区域有种方法，
第二步，摆放区域有3种方法，
第三步，摆放区域有2种方法，
第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法，
由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案，
根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有种，
故选：A.
26．（2024·湖南·二模）2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有（ ）
A．792种B．1440种C．1728种D．1800种
【答案】B
【分析】分类讨论甲是否安排在初一或初二两种情况，结合平均分组分配法分别考虑两种情况的安排种数，从而利用分类加法计数原理即可得解.
【详解】当甲安排在初一或初二时，再安排一人在初二或初一，则有种排法，
再利用平均分组分配法将初三到初八分配给剩下的3人，有种排法，
所以一共有种排法；
当甲不安排在初一或初二时，安排两人在初一或初二，有种排法，
不考虑甲两天不能连排的情况，有种排法，
其中甲两天连排的排法有种，故初三到初八的值班安排有种排法，
所以一共有种排法；
综上可知共有种不同排法.
故选：B.
27．（2024·湖北武汉·模拟预测）将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【分析】先将红球从数量分成，两种类型的分组，在分两类研究以上不同形式下红球放入三个不同的袋中的方法数，最后袋中不重上黑球，使每个袋子中球的总个数为个，将两类情况的方法总数相加即可.
【详解】将个红球分成组，每组球的数量最多个最少个，则有，两种组合形式，
当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有放法，
此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为个即可.
当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有种放法，
此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为个即可.
综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，
不同的装法种数为种.
故选：A .
28．（2024·湖北·一模）已知今天是星期三，则天后是（ ）
A．星期一B．星期二C．星期三D．星期五
【答案】A
【分析】结合二项式展开式，求出它除以7的余数，可得结论.
【详解】
．
即除以7的余数为5，所以天后是星期一.
故选：A.
29．（2024·河北·模拟预测）现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（ ）
A．216B．432C．864D．1080
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合分组分配列式计算得解.
【详解】求不同的安排种数需要分成3步，把3名心理教师分配到三所学校，有种方法，
再把4名语文教师按分成3组，并分配到三所学校，有种方法，
最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校，有种方法，
由分步乘法计数原理得不同的安排种数为.
故选：B
30．（2024·山东临沂·一模）将1到30这30个正整数分成甲､乙两组，每组各15个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可得甲组的中位数为或，分别求出甲组的中位数为、时的分组方法，即可得解.
【详解】因为甲组、乙组均为个数，则其中位数为从小到大排列的第个数，
即小于中位数的有个数，大于中位数的也有个数，
依题意可得甲组的中位数为或，
若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时从中选个数放到甲组，剩下的个数放到乙组，
再从中选个数放到甲组，其余数均在乙组，此时有种分组方法；
若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时从中选个数放到甲组，剩下的个数放到乙组，
再从中选个数放到甲组，其余数均在乙组，此时有种分组方法；
若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时甲组中小于的数有个、乙组中小于 的数有个，
从而得到小的数一共只有个，显然不符合题意，故舍去，
同理可得，甲组的中位数不能大于；
若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时甲组中小于的数有个、乙组中小于 的数有个，
从而得到小的数一共只有个，显然不符合题意，故舍去，
同理可得，甲组的中位数不能小于；
综上可得不同的分组方法数是种.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键是得到甲组的中位数为或再分类分别计算可得.考点
4年考题
考情分析
排列组合与二项式定理
2023年新高考Ⅰ卷第13题
2023年新高考Ⅱ卷第3题
2022年新高考Ⅰ卷第13题
2022年新高考Ⅱ卷第5题
2020年新高考Ⅰ卷第3题
2020年新高考Ⅱ卷第6题
排列组合与二项式定理均是以小题的形式进行考查，难度较易或一般，新高考冲刺复习中，分类加法原理、分步乘法原理，排列数及组合数，二项式定理、二项展开式系数都是重点复习内容，可以预测2024年新高考命题方向将继续对排列组合和二项式定理选其一展开命题．