河北省石家庄市第二十五中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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第I卷（选择题共42分）
一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 有下列方程：①xy＝1；②2x＝3y；③；④x2＋y＝3； ⑤；⑥ax2＋2x＋3y＝0 （a＝0），其中，二元一次方程有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
2. 下列语句是命题的是（ ）
（1）两点之间，线段最短；（2）对顶角相等．（3）请画出两条互相平行的直线；（4）过直线外一点作已知直线的垂线；
A. （1）（2）B. （3）（4）C. （2）（3）D. （1）（4）
【答案】A
【解析】
【分析】判断一件事情的语句叫命题，命题都由题设和结论两部分组成，依此对四个小题进行逐一分析即可．
详解】解：（1）两点之间，线段最短符合命题定义，正确；
（2）对顶角相等，符合命题定义，正确．
（3）请画出两条互相平行的直线只是做了陈述，不是命题，错误；
（4）过直线外一点作已知直线的垂线没有做出判断，不是命题，错误，
故本题选A．
【点睛】本题考查了命题的概念：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．注意命题是一个能够判断真假的陈述句．
3. 植树节这天有35名同学共种了85棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设男生有x人，女生有y人，根据题意，列二元一次方程组即可．
【详解】解：设男生有x人，女生有y人，根据题得，
，
故选D．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意找到等量关系是解题的关键．
4. 如图，和是（ ）
A. 同位角B. 内错角C. 同旁内角D. 邻补角
【答案】C
【解析】
【分析】两条直线相交形成的是对顶角和邻补角，两条直线被第三条直线所截形成的是同位角、内错角和同旁内角．此题根据两角的位置关系并结合定义即可作出判断．
【详解】解：∵∠1与∠2是两条直线被第三条直线所截，在被截线之间，在截线的同一侧，
∴∠1与∠2是同旁内角，
故选：C．
【点睛】本题考查了两条直线相交所形成的对顶角和邻补角的定义、两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角和同旁内角的定义．熟悉各知识点的概念并结合图形进行判断是解题的关键．
5. 下列说法错误的是（ ）
A. 经过两点，有且仅有一条直线
B. 平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两点之间的所有连线中，线段最短
D. 平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂线的性质、线段的性质、直线的性质、平行公理判断下列选项．
【详解】解：由垂线的性质、线段的性质、直线的性质可知、、正确；
A、根据直线的性质可知选项正确，不符合题意；
B、根据垂线的性质可知选项正确，不符合题意；
C、根据线段的性质可知选项正确，不符合题意；
D、由平行公理可知选项不正确，需要保证该点不在已知直线上，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质、线段的性质、直线的性质、平行公理，解题的关键是掌握相关的概念．
6. 下列图形中，由，能得到是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、对顶角相等，不能得到；
B、，不能得到；
C、，内错角相等，两直线平行，能得到，不能得到；
D、，内错角相等，两直线平行，得到；
故选D．
【点睛】本题考查平行线的判定方法．熟练掌握内错角相等，两直线平行，是解题的关键．
7. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据相应的运算法则计算即可．
【详解】解：．
故选：B．
8. 若关于x，y的方程组的解适合方程，则m的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】先解方程组得到，将其代入，即可求出m的值．
【详解】解：解方程组，得：，
∵方程组的解适合方程，
∴，解之得：，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组，要求会解方程组，解题的关键是求出方程组的解，将方程组的解代入方程中．
9. 计算：( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此计算即可．
【详解】解：，
故选：C
【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟记积的乘方的运算法则是解答本题的关键．
10. 下列四个图形中，和是内错角的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据内错角的定义逐一判断即可．
【详解】A中，∠1与∠2不是内错角，故错误；
B中，∠1与∠2是内错角，故正确；
C中，∠1与∠2不是内错角，故错误；
D中，∠1与∠2不是内错角，故错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查内错角，能够区别同位角，内错角，同旁内角是解题的关键．
11. 计算（﹣x2）•（﹣x3）4的结果为（ ）
A. ﹣x9B. x9C. ﹣x14D. x14
【答案】C
【解析】
【分析】先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法即可．
【详解】解：原式=，
=．
故选：C．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
12. 如图，直线，直线分别交于点，点在直线上，，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得∠CAD=∠1=130°，再根据AB⊥AC，可得∠BAC=90°，即可求解．
【详解】解：因为a∥b，
所以∠1=∠CAD=130°，
因为AB⊥AC，
所以∠BAC=90°，
所以∠2=∠CAD-∠BAC=130°-90°=40°．
故选：B．

【点睛】本题考查的知识点是平行线与垂线的性质，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等．
13. 已知，，则的值是（ ）
A. 2B. 1C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据求解即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解．
14. 如图，ABCD，∠1=30°，∠2=40°，则∠EPF的度数是（ ）
A. 110°B. 90°C. 80°D. 70°
【答案】D
【解析】
【分析】如图，过点P作PMAB，利用平行线性质得到∠EPF=∠1+∠2即可．
【详解】解：如图，过点P作PMAB，
∴∠3=∠1=30°，
又∵，
∴，
∴∠4=∠2=40°，
∴∠3+∠4=∠1+∠2=70°，
即∠EPF=70°，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定定理以及平行线的性质．注意如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行的运用．
15. “践行垃圾分类・助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了节废电池，琪琪收集了节废电池，根据题意可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据米乐及琪琪收集废电池数量间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解．找出等量关系是解题的关键．
详解】设米乐收集了节废电池，琪琪收集了节废电池，
∵米乐比琪琪多收集了7节废电池，
∴，
∵若米乐给琪琪8节废电池，则琪琪的废电池数量就是米乐的2倍，
∴，
∴根据题意可列方程组为：
，
故选：A．
16. 如图，在三角形中，．将三角形沿所在直线向右平移，所得图形对应为三角形，若要使成立，则平移的距离是（ ）

A. 6B. 9C. 6或12D. 9或12
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的性质可得，则，然后分点E在线段上和点E在线段的延长线两种情况，分别求解即可．
【详解】解：根据平移的性质可得，
∵，
∴，
又∵，
∴当点E在线段上时，，
当点E在线段的延长线上时，有，
解得：，
∴，
∴平移的距离是或，
故选：C．
【点睛】本题考查了平移的性质，正确分类讨论是解题的关键．
第II卷（主观题/非选择题共78分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
17. 把命题“两直线平行，同旁内角互补”改写成如果_____，那么_____．
【答案】 ①. 两直线平行 ②. 同旁内角互补
【解析】
【分析】一个命题都能写成“如果…那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论．
【详解】∵“两直线平行，同旁内角互补”的条件是：“两直线平行”，结论为：“同旁内角互补”，
∴写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两直线平行，那么同旁内角互补”，
故答案为：两直线平行，同旁内角互补．
【点睛】本题考查了一个命题写成“如果…那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，难度适中．
18. 若，则__．
【答案】11
【解析】
【分析】法1：利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，代入原式计算即可求出值；
法2：利用非负数的性质列出方程组，两方程左右两边相加即可求出所求．
【详解】解法1：
解得：，
则；
解法2，
两方程左右两边相加得：，
则．
故答案为：11．
【点睛】本题考查了二次幂、绝对值的非负性和解二元一次方程组，解决本题的关键是要根据绝对值、二次幂的非负性列出方程组并正确解方程组．
19. 已知：如图，直线，，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，然后根据平行线的性质即可得．
【详解】解：，
，
，
，，
，
，
故答案为：.
20. 如图，已知，则__________，则等于__________（用含的式子表示）．

【答案】 ①. ##360度 ②.
【解析】
【分析】过点向右作，过点向右作，得到，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．
【详解】解：如图，过点向右作，过点向右作，

∵，
∴，
∴，，，
∴，
当时，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了平行线判定和性质，根据题意作合适的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题有6个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21. 计算
（1）解方程组：
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法、幂的运算，熟练掌握加减消元法、代入消元法和幂的运算规则是解题的关键．
（1）用加减消元法消去x，求出y，再代入求出x，可得答案．
（2）用加减消元法消去y，求出x，再代入求出y，可得答案．
（3）根据积的乘方，同底数幂的乘法先计算，最后合并同类项即可；
（4）根据幂的乘方，同底数幂的乘法先计算，最后合并同类项即可；
【小问1详解】
，
由得，，即，
解得，
将代入式得，，
故方程组的解为：.
【小问2详解】
由得, 即，
解得，
将代入式得，，
故方程组的解为：.
【小问3详解】
【小问4详解】
22. 作图题
（1）如图，要把河中的水引到水池，在河岸的什么地方开始挖渠。才能使水渠的长度最短？请画出图形，并说明理由．

答：在__________开始挖掘 理由：____________________．
（2）在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在“格点”处．
①在给定方格纸中，平移，使点与点对应，请画出平移后的；
②线段与线段的关系是__________．
【答案】（1）点H，垂线段最短
（2）①见解析；②平行且相等
【解析】
【分析】（1）过点P作于点H，根据垂线段相等，得到点H即为开挖点；
（2）①找到点A、C平移后的对称点，顺次连接，即可得到；
②根据平移的性质即可得到线段与线段的关系．
【小问1详解】
解：如图所示，过点P作于点H，在点H开始挖掘，理由是垂线段最短，
故答案为：点H，垂线段最短
【小问2详解】
①如图所示，即为所求，
②根据平移的性质可知，线段与线段的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等
【点睛】此题考查了垂线段最短、平移的作图与性质等知识，熟练掌握平移的作图和性质是解题的关键．
23. 已知为正整数，且，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算，由同底数幂的乘法和幂的逆运算可把原式转化为，代入已知计算即可求解，掌握同底数幂的乘法及幂的乘方的逆运算是解题的关键．
【详解】解：
，
，
，
，
．
24. 推理填空：如图，已知，，可推得．理由如下：

∵（已知），且（__________），
∴（__________）．
∴（__________）．
∴（__________）．
又∵（已知），
∴（__________）．
∴（___________）．
【答案】对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据平行线的性质与判定可进行求解．
【详解】解：∵（已知），且（对顶角相等），
∴（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
又∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
25. 杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：
1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．
（1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？
（2）若公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人（a＞n），使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求n的值．
【答案】（1）每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车；（2）n的值为1或4或7．
【解析】
【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据“1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设抽调a名熟练工人，由工作总量＝工作效率×工作时间，即可得出关于n，a的二元一次方程，再根据n，a均为正整数且n＜a，即可求出n的值．
【详解】解：（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，
根据题意得：，
解得：．
答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车．
（2）根据题意得：30×（8n+12a）×（1﹣5%）＝5700，
整理得：n＝25﹣a，
∵n，a均为正整数，且n＜a，
∴，，．
∴n的值为1或4或7．
【点睛】本题考查了二元一次方程组应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
26. 如图．平分，平分，判断，是否平行，并说明理由．
（1）条件和结论互换，改成了：“如图，平分，平分，，则．"
小明认为这个结论正确，你赞同他的想法吗？请说明理由．
（2）小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究：
如图1，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，
①若，求的度数；
②试说明：．
（3）如图2．若，，平分，请直接写出与的等量关系______．
【答案】（1），证明见解析；赞同，理由见解析；
（2）①，②证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟知两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到的，结合，可得，由此证明；若条件和结论互换，根据两直线平行，同旁内角互补可得，根据角平分线的定义得到的，即可证明；
（2）① 先求出，再由两直线平行，同旁内角互补，求出，再根据角平分线的定义求出的度数即可；② 由，得到，再根据平分得到，结合，即可得证；
（3）由，得到，再根据平分得到，结合，即可得证；
【小问1详解】
平分，平分，，
，
．
赞同他的说法，理由如下：
，
，
平分，平分，
，

【小问2详解】
① ，
，
，，
，
，
，
，
平分，
．
② ，
，
平分，
，
，
，
，
．
【小问3详解】
，
，
平分，
，
，
，

．