2024年北京市清华大学附属中学中考三模数学试题（原卷版+解析版）

2024年北京市清华大学附属中学九年级下册中考数学三模试题一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列调查方式适合用普查的是（ ）A. 检测一批LED灯的使用寿命B. 检测一批家用汽车的抗撞击能力C. 测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况D. 中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率【答案】C【解析】【分析】本题考查调查分类，涉及抽样调查和全面调查定义与区别，一般地，具有破坏性、涉及面广，无法普查、普查意义或价值不大的采取抽样调查；对于精度要求较高的调查、事关重大的采取普查，逐项判定即可得到答案，熟记普查与抽查的特征与区别是解决问题的关键．【详解】解：A、检测一批LED灯的使用寿命，具有破坏性，适合抽查，不符合题意；B、检测一批家用汽车的抗撞击能力，具有破坏性，适合抽查，不符合题意；C、测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况，每一个环节都事关重大，适合普查，符合题意；D、中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率，涉及面广，无法普查，适合抽查，符合题意；故选：C．2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运用合并同类项、同底数幂除法、幂的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．运用合并同类项、同底数幂除法、幂的乘方逐项判断即可．【详解】解：A. ，故选项A错误，不符合题意；B. ，故选项B正确，符合题意；C. 与不是同类项，不能合并，故选项C错误，不符合题意；D. ，故选项D错误，不符合题意．故选：B．3. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．【详解】解：A．.是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意．故选D．4. 在实数，，1，中，最小的数是（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】解：，在实数，，1，中，最小的数是．故选：B5. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式以及解集在数轴上的表示方法，掌握一元一次不等式的解法以及解集在数轴上的表示方法是正确解答的前提．求出不等式的解集，再在数轴上将解集表示出来即可．【详解】解：，解得：，∴原不等式的解集为：，故选：A．6. 如图，在正方形中，点E、F分别在边上，满足，连接，点G在边上，连接交于点H，使得，连接，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，先证明得到，进而证明得到，再证明得到，，进一步证明，推出，则．【详解】解：如图所示，延长到E使得，连接，设交于O，∵四边形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，故选；A．7. 如图，点O是边长为2的正方形的中心，点P从点A出发，在正方形的边上沿以每秒1个单位长度做匀速运动．若移动时间为x，线段的长为y．则y与x关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，分当时，当时，正确情况利用勾股定理表示出y即可得到答案．【详解】解：如图所示，当时， 过点O作于F，∵点O是边长为2的正方形的中心，∴，由题意得，，则，在中，由勾股定理得； 如图所示，当时， 过点O作于F，∵点O是边长为2的正方形的中心，∴，由题意得，，则，在中，由勾股定理得； 综上所述，四个选项中，只有B选项的函数图象符号题意，故选：B．8. 如图，是的直径，内接于，，的半径是4，则弦的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】本题考查圆周角定理，勾股定理．根据题意，连接，由，得，再由勾股定理得即可求出结果．【详解】解：连接， 是的直径，．故选：D．二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．9. 的平方根是________．【答案】【解析】【分析】本题考查平方根和立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．先求得，根据平方根的定义即可求得答案．【详解】解：，∴的平方根是，故答案：．10. 一组数据2，4，，2，4，10的众数是2，则这组数据的平均数是______；中位数是______；方差是______.【答案】 ①. 4 ②. 3 ③. 8【解析】【分析】本题主要考查方差、平均数、中位数、众数，解题的关键是掌握方差、平均数、中位数、众数的定义．先根据众数的概念求出的值，将原数据重新排列，再由平均数、中位数和方差的定义列式计算即可．【详解】解：数据2，4，，2，4，10的众数是2，，这组数据为2，2，2，4，4，10，所以这组数据的平均数为，中位数为，方差为，故答案为：4、3、811. 如图，已知矩形，为对角线，点、分别是与的重心，连接、，如果，那么_______．【答案】##【解析】【分析】延长交于M，连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接、、，根据重心的定义、三角形中位线定理及相似三角形的性质可推出，，，，得到，判定，推出，再证明，推出，得到，再用勾股定理求出，即可得解．【详解】解：延长交于M，连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接、、，∵点、分别是与的重心，∴、分别是、边上的中线，即点、分别是、边上的中点；、分别是、边上的中线，即点、分别是、边上的中点，∴，； ，，，，∴，；，，∴，，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵四边形是矩形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴或（负值不符合题意，舍去），设，则，在中，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的重心，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是由三角形重心的定义、三角形中位线定理及相似三角形判定和性质推出．12. A，B两个容器分别盛有部分液体，容器的底部分别有一个出水口．若将A中的液体全部倒入B容器，并打开B容器的出水口，10分钟可以放完；若将B中液体全部倒入A容器，并打开A容器的出水口，15分钟可以放完．（1）A出水口的液体流速是B出水口液体流速的______；（2）若从A中取出20升液体倒入B中，再打开两容器的出水口，放完液体，B需要的时间是A的2倍．设开始时，A，B两容器中液体体积分别为x升，y升，则x，y应满足的数量关系为______．【答案】 ①. ②. ##【解析】【分析】本题考查的列函数关系式，正确的理解题意是解题关键，（1）设两个容器内溶液总量为单位1，分别表示两个容器液体流速即可计算求出结论；（2）设A出水口的液体流速是升/分钟，B出水口液体流速是升/分钟，由题意列出等式，进而得出表达式．【详解】解：（1）设两个容器内溶液总量为单位1，由题意得：A出水口的液体流速是，B出水口液体流速是，出水口的液体流速是B出水口液体流速的，故答案为：；（2）出水口的液体流速是B出水口液体流速的，设A出水口的液体流速是升/分钟，B出水口液体流速是升/分钟，由题意得：，整理，得，，故答案为：．13. 若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为______．【答案】6【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程，根据关于的一元一次不等式组的解的情况求出的取值范围，根据关于的方程的解的情况求出的取值情况，然后求出满足条件的的值，即可得出答案．【详解】解：解不等式组，得，不等式组有解且最多有3个整数解，，解得：，整数为：1，2，3，4，5，6，解分式方程，得，分式方程有整数解，整数，且，整数为：1，5，所有满足条件的整数的值之和是．故答案为：6．14. 如图，已知点，，点是线段上的整点（不与重合，且横、纵坐标都是整数），若双曲线（）经过点，写出一个符合条件的的值：______．【答案】或或（任选一个即可）．【解析】【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，由，可得轴，得到点的纵坐标为，再根据横坐标，横坐标为整数，求出点的坐标，即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【详解】解：∵，，∴轴，∵点在线段上，∴点的纵坐标为，且横坐标，∵点的横坐标为整数，∴或或，∴点的坐标为或或，∴的值为，，，故答案为：或或（任选一个即可）．15. 如图，是一个闭环运算游戏，即：给x一个值，把它代入中得到一个y值，再把得到的y值代入中，又求出一个新的x值．如：把代入中得到；再把代入中求得．（1）把代入中，最后求出的x值为______；（2）小明发现，给x一个整数并把它代入中后，最后求出的x值竟然是它自身，这个整数是______．【答案】 ①. ②. 【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，和分式方程．（1）根据题意运算法则计算即可求解；（2）设这个数为，依题意得，解一元二次方程求得整数解即可．【详解】解：（1）把代入中，，再把代入中，求得；经检验是原方程的解，故答案为：；（2）设这个数为，依题意得，整理得，解得（舍去），，故答案为：．16. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形，等边三角形，等边三角形，⋯中，，，…平行于x轴，点，，，…在轴正半轴上，三边垂直平分线的交点在原点，，，，…的长依次为，，，…，以此类推，则等边三角形的顶点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，特殊角的正切值的计算，掌握等腰三角形的性质，垂直平分线的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质，垂直平分线的性质，可得点O为所有等边三角形的外心，内心，可得的长度，结合含的直角三角形，特殊角的正切值的计算方法即可求解．【详解】解：∵三边垂直平分线的交点在原点，∴点为所有等边三角形的外心，内心，∴平分，即，∵的长依次是，∴，且垂直平分，∴点到轴的距离为，到轴的距离为，∵点在第三象限，∴，故答案为： ．三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （1）计算：．（2）化简求值：，其中．【答案】（1）；（2），2【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂和零指数幂的意义、分式的化简求值、因式分解；熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的意义、分式的化简求值是解决问题的关键．（1）根据负整数指数幂，绝对值，平方根和立方根性质，零指数幂的意义进行计算，即可得出结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．【详解】（1）；（2）解：，当，原式．18. 解方程组：【答案】【解析】【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，直接利用加减消元法解方程组即可．【详解】解：，①+②得，解得．将代入②，得．所以 19. 如图，在平行四边形中，点E为边的中点，于点F，G为的中点，分别延长，交于点H，求证：． 【答案】见解析【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得出，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质和三角形中位线定理解答即可．【详解】解：证明：四边形是平行四边形，，，，点为边的中点，，在与中，， ，，，为的中点，是的中位线，，，即，．20. 中考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西方向距离米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东方向的公路前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．（）【答案】消防车不需要改道行驶，理由见详解【解析】【分析】本题主要考查方位角与含角的直角三角形的性质的综合运用，掌握方位角的数量关系，勾股定理，垂线段最短的知识是解题的关键．如图，作，根据方位角可得是含角的直角三角形，根据勾股定理可求出的值，结合垂线段最短即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，则，∵，，∴，∴，则，在直角中，，∴，∴由勾股定理得：，∵消防车的警报声传播半径为400米，且，∴消防车不需要改道行驶．21. 微信拼手气红包是由发红包者自行设置红包总金额和红包个数，系统会随机分配红包金额并发送给其他用户．小李在家庭群里（群成员为爸爸、妈妈、小李，共三人）发了一个如图所示的新年拼手气红包，将三个随机红包记为，分别代表钱数最多，钱数居中，钱数最少，三个红包均被抢走． （1）爸爸抢到红包的概率为_________；（2）请你利用画树状图求妈妈抢到红包，同时小李抢到红包的概率．【答案】（1） （2）【解析】【分析】本题主要考查随机事件的概率，列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键．（1）根据概率的计算公式即可求解；（2）列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．【小问1详解】解：共有3种等可能结果，A是其中一种，∴抢到A的概率为；【小问2详解】解：运用列表或画树状图把所有等可能结果表示出来， 共有6种等可能结果，妈妈抢到红包B，同时小李抢到红包C的结果有1种，∴妈妈抢到红包B，同时小李抢到红包C的概率为．22. 陕西是面食之乡，其中以“臊子面”最为有名，它柔软光滑、易于消化，与北京炸酱面、河南烩面、武汉热干面、四川担担面被誉为我团五大面食．西安“面霸”餐馆一份臊子面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份臊子面价格是多少元时，“面新”餐馆能实现每天1080元的利润？ 【答案】销售价格为元或元时，餐馆能实现每天1080元的利润【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目数量关系，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．根据题意，设提高了元，用含的式子表示出销售价格，利润，销售份数，根据题目数量关系列一元二次方程求解即可．【详解】解：设提高了元，则销售价格为元，利润为（元），少买份，∴，整理得，，∴，解得，，，∴销售价格为元或元时，餐馆能实现每天的利润．23. 如图，是的直径，点是上一点，过点作的切线与的延长线交于点，过点作，与交于点，连接，． （1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据， 得出，根据，得出，即可证明结论；（2）连接，交于点，根据切线的性质得出，证明为的中位线，得出，解直角三角形得出，．最后根据勾股定理求出．【小问1详解】证明：∵， ∴，又∵，∴．∴．【小问2详解】解：连接，交于点，如图所示： ∵是的切线，切点为，∴，∵，∴，∴⊥，∴为中点．∵为直径中点，∴为的中位线，∴，∵，∴．∵，∴，∵，∴，∵是的直径，∴，在中∵，∴，由勾股定理得．∴．∴．∵为中点， ，∴．在中， 由勾股定理得．【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，中位线的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．24. 已知平面直角坐标系，抛物线：与轴交于点和点，与轴交于点，把抛物线向下平移得到抛物线，设抛物线的顶点为，与轴交于点，直线与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点与点重合时，求平移的距离；（3）连接，如果与互补，求点的坐标．【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）将点、代入抛物线：上，得到关于，的二元一次方程组，求解即可；（2）由抛物线顶点式知对称轴为，顶点，设平移的距离为，可得抛物线的表达式为，继而得到，，最后由得，即可得解；（3）连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于点，由平移的性质可证明四边形为平行四边形，得，继而得到，得到，在中，，得，继而得到，由，证明，得，则，可得解．【小问1详解】解：∵点和点在抛物线：上，∴，解得：，∴抛物线的表达式为；【小问2详解】∵抛物线：，，∴对称轴为，顶点，把抛物线向下平移得到抛物线，当点与点重合，设平移的距离为，设对称轴交轴于点，∴抛物线的表达式为，∴抛物线的顶点为，∴，，对于抛物线：，当时，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，解得：， ∴当点与点重合时，平移的距离是；【小问3详解】连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于点，∵，，，对称轴为，∴，，，，四边形为矩形，∴，，∴，∵抛物线：与轴交于点和点，当时，得，解得：或，∴，∴，∴，∵把抛物线向下平移得到抛物线，抛物线的顶点为，∴，∵对称轴与轴平行，即，∴四边形为平行四边形，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∵轴，∴轴，∴，，∴，∵与互补，即，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，平移的性质，锐角三角函数，等边对等角，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点．掌握二次函数的图像与性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定和性质是解题的关键．25. 矩形中，，．点在边、上运动，连接，将射线绕点逆时针旋转，交直线CD于点．（1）如图1，当点恰好与点重合时，则__________度；（2）过点作于点，连接．①如图2，当F落在线段上时．求的度数；如图3，当落在线段的延长线上且时，求．【答案】（1） （2）①；②【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，结合三角函数，即可作答；（2）①连接，先证明 ，再证明，即有，问题即可作答；②连接，过点G作交延长线于点P，的延长线于点Q，根据①的方法同理可证明，易得四边形是矩形，再证明，即有， 在中，可得，设，，即有 ，，可得，问题随之得解．【小问1详解】∵在矩形中，，，∴，，∴在中，，∴，当点恰好与点重合时，则，故答案为：；【小问2详解】①连接，如图，在（1）中已求出，则有，根据旋转可知：，∵，∴在中，，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；②连接，过点G作交延长线于点P，延长线于点Q，根据①的方法同理可证明，∴，∵四边形是矩形，∴，，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴， 在中，，，∴，设，，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，灵活运用相似三角形的判定与性质，作出科学的辅助线，是解答本题的关键．26. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点，，是第一象限内二次函数图象上一动点，过点作于点，交于点．（1）求二次函数的表达式．（2）求的最大值．（3）如图2，过点作的垂线，交轴于点，交二次函数图象的对称轴于点，连接、，是否存在点使得？若存在，直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1） （2） （3）存在，点的横坐标为1或【解析】【分析】（1）根据求出点C的坐标，再把点A，C坐标代入，求出a，c的值即可；（2）求出直线的解析式，设，求出的长，再根据二次函数的性质可得出的最大值；（3）根据勾股定理求出的值，证明，得，得一元二次方程，求出方程的解即可得出点P的横坐标．【小问1详解】，，，，，把代入，得：，解得，二次函数表达式为；【小问2详解】如图1，过点作于点，设直线的解析式为，把代入得：，解得，直线的解析式为，设，则，，，，，，为等腰直角三角形，，．，最大值为． 【小问3详解】存在点使得，此时点的横坐标为1或．理由如下：如图2，过点作于点，过点作轴于点，过点作轴于点，，，轴，，，，，，同理可得，，，中，，在对称轴上，则，，，，，，，，，，，，，，，，，解得，，存在点使得，此时点的横坐标为1或．【点睛】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式，求函数的最值，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，求出，，的值是解答本题的关键．