2023-2024学年湖南省怀化市新晃县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省怀化市新晃县七年级（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列是二元一次方程的是( )
A. x+2y=3B. x2+y=1C. y+1x=2D. 2x−1=5
2.若x=1y=−1是关于x，y的二元一次方程x+ay=4的一组解，则a的值为( )
A. 1B. −2C. −3D. 4
3.关于x、y的二元一次方程2x+y=6的自然数解有( )
A. 3组B. 4组C. 5组D. 6组
4.把方程x−y=1改写成用含x的式子表示y，下列正确的是( )
A. x=y+1B. y=x−1C. y=x+1D. y=1−x
5.下面的计算，不正确的是( )
A. 5a3−a3=4a3B. 2m×3n=6m+n
C. (−am)2=a2mD. −a2×(−a)3=a5
6.若(x−1)(x+2)=x2+ax+b，则a，b的值是( )
A. a=1，b=2B. a=−1，b=2
C. a=1，b=−2D. a=−1，b=−2
7.若(2x+m)(x−3)的展开式中不含x项，则实数m的值为( )
A. −6B. 0C. 3D. 6
8.在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形如图甲，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形如图乙，根据图甲、图乙阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式是( )
A. a2+b2=(a+b)(a−b)B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a2−b2=(a+b)(a−b)
9.规定一种运算：a*b=ab+a+b，则a*(−b)+a*b的计算结果为( )
A. 0B. 2aC. 2bD. 2ab
10.下列多项式因式分解：
①x2−6xy+9y2=(x−3y)2；②16+a4=(4+a2)(4−a2)；③25ab2+10ab+5b=5b(5ab−2a)；④x2−(2y)2=(x−2y)(x+2y)，其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.8a3b2−12a2b3c中的公因式是______．
12.因式分解m2−1= ______．
13.如果x2−kx+25是一个完全平方式，那么k的值为______．
14.今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式.放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：−3xy⋅(4y−2x−1)=−12xy2+6x2y+_____.空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写______．
15.已知3a=4，3b=5，则3a+b= ______．
16.42020×(−0.25)2021= ______．
17.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前.书中记载了一个数学问题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”其大意是：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，问长木多少尺？”设绳长x尺，木长y尺，可列方程组为______．
18.已知实数a，b满足(2a2+b2+1)(2a2+b2−1)=80，试求2a2+b2的值．
解：设2a2+b2=m．
原方程可化为(m+1)(m−1)=80，即m2=81，解得m=±9．
∵2a2+b2≥0，
∴2a2+b2=9．
上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂问题简单化.请根据以上阅读材料，解决问题．
已知实数x，y满足(2x2+2y2−1)(x2+y2)=3，则3x2+3y2−2的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解方程组：
(1)2x+3y=22x=y+1；
(2)3x+2y=72x−4y=4．
20.(本小题8分)
分解因式：
(1)a3−6a2+9a；
(2)x(x−3)+4(x−3)．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：(2x+3y)(2x−3y)−x(3x−2y)，其中x=−3，y=12．
22.(本小题8分)
甲、乙两人共同计算一道整式乘法：(2x+a)(3x+b)，由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x−10；乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2−9x+10，求a，b的值．
23.(本小题8分)
已知▴x+●y=1◼x−7y=1是一个被墨水污染的方程组.圆圆说：“这个方程组的解是x=3y=−1，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=−2y=1.”请你根据以上信息，把方程组复原出来．
24.(本小题8分)
数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
请结合他们的对话，解答下列问题：
(1)按照小云的方法，x的值为______，y的值为______．
(2)老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出m的值．
25.(本小题8分)
某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示．
(1)该工厂计划筹集资金1340万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？
(2)经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套(m,n都为正整数)，且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为400万元，请问该工厂有几种生产方案？并写出所有可行的生产方案．
26.(本小题10分)
阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c(a≠0)的多项式变形为a(x+m)2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：x2+4x−5=x2+2×2x+22−22−5=(x+2)2−9=(x+2+3)(x+2−3)=(x+5)(x−1)．
即：x2+4x−5=(x+5)(x−1)．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)因式分解：x2−2x−15；
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2−10a−12b+61=0，求△ABC的最长边c的取值范围；
(3)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的周长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A选项，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，符合题意；
B选项，x的次数是2，不符合题意；
C选项，不是整式方程，不符合题意；
D选项，不含两个未知数，不符合题意；
故选：A．
根据二元一次方程的定义判断即可．
本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
2.【答案】C
【解析】解：∵x=1y=−1是关于x，y的二元一次方程x+ay=4的一组解，
∴1−a=4，
∴a=−3．
故选：C．
把x=1y=−1代入x+ay=4，即可求解．
本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握解二元一次方程是关键．
3.【答案】B
【解析】解：2x+y=6，
∴y=6−2x，
∵x、y均为自然数，
∴当x=0时，y=6，符合题意；
当x=1时，y=4，符合题意；
当x=2时，y=2，符合题意；
当x=3时，y=0，符合题意；
综上所述，二元一次方程2x+y=6的自然数解有4组．
故选：B．
将方程2x+y=6整理为y=6−2x，将x的值依次代入，即可进行解答．
此题考查了解二元一次方程．熟练掌握二元一次方程的解法是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵x−y=1，
∴y=x−1．
故选：B．
通过移项即可用含x的式子表示y.据此解答．
此题主要考查了解二元一次方程，解答本题的关键要明确：二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数(一般是系数绝对值较大的)的值，再依次求出另一个的对应值．
5.【答案】B
【解析】解：A、5a3−a3=4a3，正确，不符合题意；
B、2m×3n≠6m+n，原计算错误，符合题意；
C、(−am)2=(−1)2⋅(am)2=a2m，正确，不符合题意；
D、−a2×(−a)3=−a2×(−a3)=a5，正确，不符合题意；
故选：B．
根据幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，逐项判定即可
本题考查的是幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法法则，熟知以上知识是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：(x−1)(x+2)=x2+x−2=x2+ax+b，
∴a=1，b=−2
故选：C．
先利用多项式乘以多项式法则展开，得到a，b的值即可得到答案．
本题考查了整式的乘法，解题的关键是掌握相关运算．
7.【答案】D
【解析】解：∵(2x+m)(x−3)=2x2−6x+mx−3m=2x2+(m−6)x−3m，
又∵展开式中不含x项，
∴m−6=0，
即m=6，
故选：D．
先将式子进行展开，再合并同类项，然后根据题意进行求解即可．
本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0.先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，不含x项，就是x项系数为0，进而求出m的值．
8.【答案】D
【解析】解：图甲中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，拼成的图乙是长为a+b，宽为a−b的长方形，因此面积为(a+b)(a−b)，
所以有a2−b2=(a+b)(a−b)，
故选：D．
用代数式表示图甲、图乙中阴影部分的面积即可．
本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵a*b=ab+a+b，
∴原式=a(−b)+a−b+ab+a+b
=−ab+2a+ab
=2a
故选B．
首先进行乘法运算，化简整式方程，然后，把ab=ab+a+b代入化简即可．
本题主要考查整式的混合运算，关键在于正确认真的进行混合运算．
10.【答案】B
【解析】解：①x2−6xy+9y2=(x−3y)2是正确的；
②16+a4不能因式分解，故原来的因式分解错误；
③25ab2+10ab+5b=5b(5ab+2a+1)，故原来的因式分解错误；
④x2−(2y)2=(x−2y)(x+2y)是正确的；
故其中正确的有2个．
故选：B．
利用提公因式法，公式法逐项进行因式分解即可．
本题考查因式分解，掌握提公因式法、公式法是正确判断的关键．
11.【答案】4a2b2
【解析】解：8a3b2−12a2b3c中的公因式4a2b2．
故答案为：4a2b2．
根据确定公因式的方法可得答案．
本题考查因式分解中公因式的确定，熟练掌握确定公因式的方法是解题关键．
12.【答案】(m+1)(m−1)
【解析】解：m2−1=(m+1)(m−1)．
故答案为：(m+1)(m−1)．
根据平方差公式分解因式即可．
本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．
13.【答案】±10
【解析】解：∵x2−kx+25是一个完全平方式，
∴−k=±10，
则k=±10．
故答案为±10．
根据两数的平方和加上或减去两数积的2倍等于两数和或差的完全平方，即可求出k的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14.【答案】3xy
【解析】解：−3xy⋅(4y−2x−1)=−12xy2+6x2y+3xy，
故答案为：3xy．
根据单项式乘多项式运算法则计算即可．
本题考查了单项式乘多项式，去括号，熟练掌握单项式乘多项式运算法则是解题的关键．
15.【答案】20
【解析】解：∵3a=4，3b=5，
∴3a+b=3a×3b
=4×5
=20．
故答案为：20．
根据同底数幂乘法的计算方法进行计算即可．
本题考查同底数幂乘法，掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”是正确解答的关键．
16.【答案】−14
【解析】解：42020×(−0.25)2021
=42020×(−0.25)2020×(−0.25)
=42020×(14)2020×(−14)
=4×14×4×14×···×4×142020个×−14
=(4×14)2020×(−14)
=12020×(−14)
=1×(−14)
=−14．
故答案为：−14．
根据乘方的定义把原式变形为42020×(14)2020×(−14)，再根据乘方的定义和乘法法则求解即可．
本题主要考查了有理数的混合运算，掌握乘方的概念是解答本题的关键．
17.【答案】x−y=4.5y−12x=1
【解析】解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，
∴x−y=4.5；
∵将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，
∴y−12x=1．
∴根据题意可列方程组x−y=4.5y−12x=1．
故答案为：x−y=4.5y−12x=1．
根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18.【答案】52
【解析】解：设x2+y2=m，
原方程可化为(2m−1)m=3，
即2m2−m−3=0，
解得m1=−1，m2=32，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2=32，
∴3x2+3y2−2
=3×32−2
=52，
故答案为：52．
设x2+y2=m，原方程可化为(2m−1)m=3，从而确定出m的值，即可得出x2+y2的值，再代入要求的代数式中计算即可．
本题考查了解一元二次方程，多项式乘多项式，代数式求值，理解题中给出的方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)2x+3y=22①x=y+1②，
将②代入①得：2(y+1)+3y=22，
整理得：5y+2=22，
解得：y=4，
将y=4代入②得：x=4+1=5，
故原方程组的解为x=5y=4；
(2)3x+2y=7①2x−4y=4②，
①×2+②得：8x=18，
解得：x=94，
将x=94代入②得：92−4y=4，
解得：y=18，
故原方程组的解为x=94y=18．
【解析】(1)利用代入消元法解方程组即可；
(2)利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)a3−6 a2+9 a
=a(a2−6a+32)
=a(a−3)2．
(2)x(x−3)+4(x−3)=(x−3)(x+4)．
【解析】(1)先提取公因式a，然后再运用完全平方公式因式分解即可；
(2)直接提取公因式(x−3)即可解答．
本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法成为解题的关键．
21.【答案】解：原式=4x2−9y2−3x2+2xy
=x2−9y2+2xy，
当x=−3，y=12时，
原式=(−3)2−9×(12)2+2×(−3)×12
=9−94−3
=154．
【解析】直接利用整式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
22.【答案】解：由题意可知：
甲：(2x−a)(3x+b)=6x2+11x−10，
乙：(2x+a)(x+b)=2x2−9x+10，
∵6x2+11x−10=(2x+5)(3x−2)，
∴(2x−a)(3x+b)=(2x+5)(3x−2)，
∴a=−5，b=−2，
【解析】根据题意列出代数式即可求出答案．
本题考查多项式乘以多项式，属于基础题型．
23.【答案】解：设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，
∵这个方程组的解是x=3y=−1，
∴3a−b=13c+7=1，
∴c=−2．
∵看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=−2y=1，
∴−2a+b=1，
∴−2a+b=13a−b=1，
解得：a=2b=5．
∴原方程组为2x+5y=1−2x−7y=1．
【解析】设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，利用方程组解的意义列出关于a，b，c的方程组，解方程组即可得出结论．
本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的意义是解题的关键．
24.【答案】5 −3
【解析】解：(1)③×3−①×2，得y=−3，
把y=−3代入①，得3x−12=3，
解得x=5，
故答案为：5；−3；
(2)①+②，得4x+6y=5−3m，
即2(2x+3y)=5−3m，
∴2x+3y=5−3m2，
∵2x+3y=1，
∴5−3m2=1，
解得m=1．
(1)根据题意列方程组求解即可；
(2)利用整体代入的方法求解即可．
本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握消元以及整体代入的思想方法是解答本题的关键．
25.【答案】解：(1)设甲种礼盒生产x万套，乙种礼盒生产y万套，
根据题意得：x+y=6020x+24y=1340，
解得：x=25y=35．
答：甲种礼盒生产25万套，乙种礼盒生产35万套；
(2)根据题意得：(25−20)(25+m)+(30−24)(35+n)=400，
∴m=13−65n，
又∵m，n均为正整数，
∴m=7n=5或m=1n=10，
∴25+m=3235+n=40或25+m=2635+n=45，
∴该工厂有2种生产方案，
方案1：生产甲种礼盒32万套，乙种礼盒40万套；
方案2：生产甲种礼盒26万套，乙种礼盒45万套．
【解析】(1)设甲种礼盒生产x万套，乙种礼盒生产y万套，利用总成本=每套甲种礼盒的成本×生产甲种礼盒的数量+每套乙种礼盒的成本×生产乙种礼盒的数量，结合生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套且生产总成本为1340万元，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)利用总利润=每套甲种礼盒的销售利润×生产甲种礼盒的数量+每套乙种礼盒的销售利润×生产乙种礼盒的数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各生产方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
26.【答案】解：(1)根据题意列式：
∴x2−2x−15=x2−2x+1−1−15=(x−1)2−16=(x−1−4)(x−1+4)=(x−5)(x+3)，
即：x2−2x−15=(x−5)(x+3)；
(2)∵a2+b2−10a−12b+61=0，
∴a2−10a+52+b2−12b+62=0，
即：(a−5)2+(b−6)2=0，
∴a=5，b=6，
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴6−5