湖南省怀化市新晃侗族自治县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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温馨提示：
（1）本学科试卷分试题卷和答题卷两部分，考试时量为120分钟，满分为120分．
（2）请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上．
（3）请你按答题卡要求，在答题卡上作答，答在本试题卷上无效．
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. 下列是二元一次方程的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程，根据二元一次方程的定义“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程”即可得，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：A、，是一元一次方程，不是二元一次方程，选项说法错误，不符合题意；
B、，不是二元一次方程，选项说法错误，不符合题意；
C、，不是二元一次方程，选项说法错误，不符合题意；
D、，是二元一次方程，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
2. 若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（ ）
A. 1B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程解．把代入，即可求解．
【详解】解：∵是关于的二元一次方程的一组解，
∴，
∴．
故选：C
3. 关于的二元一次方程的自然数解有（ ）
A. 3组B. 4组C. 5组D. 6组
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程．将方程整理为，将x的值依次代入，即可进行解答．
【详解】解：，
∴，
∵均为自然数，
∴当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
综上所述，二元一次方程的自然数解有4组．
故选：B
4. 把方程改写成用含的式子表示，下列正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了解二元一次方程．通过移项即可用含x的式子表示y．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B
5. 下面的计算，不正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法、幂的乘方等运算，根据相关运算法则，逐项判定即可
【详解】解：A、，正确，不符合题意；
B、，故错误，符合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、，正确，不符合题意；
故选：B．
6. 若，则的值是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的乘法；先利用多项式乘以多项式法则展开，得到的值即可得到答案．
【详解】解：，
∴，
故选：C．
7. 若的展开式中不含项，则实数的值为（ ）
A. B. 0C. 3D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘以多项式展开式子，合并同类项，不含项，就是项系数为0，进而求出的值．
【详解】解：
又展开式中不含项，
即
故选：D
8. 在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形如图甲，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形如图乙，根据图甲、图乙阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平方差公式的几何推导，根据图形，利用正方形和矩形的面积公式得到阴影面积，根据两阴影面积相等可得等式．
【详解】解：第1个图形的阴影面积为大正方形的面积与小正方形的面积的差，即，
第2个图形的阴影面积为，
∵两阴影面积相等，
∴，
故选：D．
9. 规定一种运算：a*b=ab+a+b，则a*（﹣b）+a*b的计算结果为（ ）
A. 0B. 2aC. 2bD. 2ab
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵a*b=ab+a+b
∴a*（﹣b）+a*b
=a（﹣b）+a -b+ab+a+b
=﹣ab+a -b+ab+a+b
=2a
故选B．
考点：整式的混合运算．
10. 下列多项式因式分解：
①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据乘法公式和提公因式法分解因式即可得到答案．
【详解】解：①，因式分解正确，符合题意；
②不能进行因式分解，不符合题意；
③，因式分解错误，不符合题意；
④，因式分解正确，符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
二．填空题（共8小题．每小题3分，共24分）
11. 中的公因式是_______________．
【答案】4a2b2
【解析】
【详解】8a3b2－12a2b3c=4a2b2（2a－3bc）.
故答案为4a2b2.
12. 因式分解：=_______．
【答案】(a+1)(a-1)
【解析】
【分析】直接应用平方差公式即可求解．
【详解】．
故答案：(a+1)(a-1)
13. 如果是一个完全平方式，那么k的值为_____
【答案】±10.
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征（a±b）2=a2±2ab+b2 即可确定出k的值.
【详解】∵是一个完全平方式，
∴-k=±2×5=±10，
∴k=±10，
故答案为：±10.
【点睛】此题主要考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的结构特征是解答的关键.
14. 今天数学课上,老师讲了单项式乘以多项式,放学回到家,小明拿出课堂笔记本复习,发现一道题:-3xy(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+□,□的地方被墨水弄污了,你认为□处应填写_________.
【答案】3xy
【解析】
【详解】试题解析：根据题意，得
故答案为
15. 已知，则______．
【答案】20
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂相乘的逆运算．根据同底数幂相乘的逆运算，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：20．
16. _____．
【答案】
【解析】
【分析】逆运用同底数幂的乘法和积的乘方公式计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查幂的乘法和积的乘方公式．熟记公式并能逆运用是解题关键
17. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．书中记载了一个数学问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”其大意是：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，问长木多少尺？”设绳长尺，木长尺，可列方程组为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺．将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺”即可列出方程组．
【详解】根据题意可直接列出方程组：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．理解题意找出等量关系是解答本题的关键．
18. 已知实数满足，试求的值．
解：设．
原方程可化为，即，解得．
∵．
上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题．
已知实数满足，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据换元法解一元二次方程是解题的关键．令，则原方程为，结合可得答案．
【详解】解：令；
则原方程为；
解得：或；
∵；
∴；
∴；
故答案为：．
三．解答题（19--25题，每小题8分，26小题10分，共66分）
19. 解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，
采取代入消元法求解即可；
采取加减消元法求解即可；
【小问1详解】
解：
将②代入①得，
将代入②得，
∴原方程的解为；
【小问2详解】
由①×2得③，
③+②得 ，
将代入②得，
∴原方程的解为．
20. 分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法成为解题的关键．
（1）先提取公因式a，然后再运用完全平方公式因式分解即可；
（2）直接提取公因式即可解答．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：．
21. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据整式的运算法则和乘法公式对整式进行化简，再把，代入到化简后的式子计算即可求解，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
把，代入得，
原式，
，
，
．
22. 甲、乙两人共同计算一道整式乘法题，甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为．请求出正确的，的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组，先根据甲的描述得到，进而推出，再根据乙的描述，进而推出，据此得到方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为
∴，
∴，
∴，
∴，
∵乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23. 已知是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是．”请你根据以上信息，把方程组复原出来．
【答案】
【解析】
【分析】设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，利用方程组解的意义列出关于a，b，c的方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】解：设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，
∵这个方程组的解是，
∴，
∴．
∵看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是，
∴，
∴，
解得：．
∴原方程组为．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解以及解法，熟练掌握二元一次方程组的解的意义是解题的关键．
24. 数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：

（1）按照小云的方法，的值为_________，的值为_________；
（2）请按照小辉的思路求出的值．
【答案】（1）5；
（2）
【解析】
【分析】（1）将①③联立得到，得，，解得，把代入①求得即可；
（2）得，则，得到，即可得到，求出的值即可．
【小问1详解】
解：将①③联立得到
得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴，
故答案为：5；
【小问2详解】
，得，
即,
∴，
∵，
∴，
解得．
即的值为1．
【点睛】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
25. 某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示．
（1）该工厂计划筹集资金1340万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？
（2）经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套（m，n都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为400万元，请问该工厂有几种生产方案？并写出所有可行的生产方案．
【答案】（1）甲礼盒生产25万套，乙礼盒生产35万套；
（2）两种，方案1：生产甲种礼盒32万套，乙种礼盒40万套；
方案2：生产甲种礼盒26万套，乙种礼盒45万套．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套，利用总成本每套甲种礼盒的成本生产甲种礼盒的数量每套乙种礼盒的成本生产乙种礼盒的数量，结合生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套且生产总成本为1340万元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总利润每套甲种礼盒的销售利润生产甲种礼盒的数量每套乙种礼盒的销售利润生产乙种礼盒的数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各生产方案．
【小问1详解】
设甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种礼盒生产25万套，乙种礼盒生产35万套；
【小问2详解】
根据题意得：，
，
又，均为正整数，
或，
或，
该工厂有2种生产方案，
方案1：生产甲种礼盒32万套，乙种礼盒40万套；
方案2：生产甲种礼盒26万套，乙种礼盒45万套．
26. 阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
即：．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）因式分解：；
（2）已知，，是的三边长，且满足，求的最长边的取值范围；
（3）已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查因式分解应用，三角形三边关系，平方得非负性．
（1）根据题意进行求解即可；
（2）利用完全平方公式将所给式子变形，再根据三角形三边关系即可求解；
（3）将式子变形利用平方非负性即可计算出，，三边长，再计算周长即可．
【小问1详解】
解：根据题意列式：
∴，
即：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
即：，
∴，
∵，，是的三边长，
∴，即：，
∵是的最长边，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
即：，
∴，
∴的周长为：．已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值．
甲
乙
成本（元/套）
20
24
售价（元/套）
25
30