第18讲 计数原理与概率（3大考点+强化训练）-2024年高考数学重难点培优精讲（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
第18讲 计数原理与概率（3大考点+强化训练）
[考情分析] 1．主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主．2．二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查．3．概率重点考查古典概型、条件概率、全概率公式的基本应用．
知识导图
考点分类讲解
考点一：排列与组合问题
解决排列、组合问题的一般过程：
(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；
(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素．
规律方法 排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化．
【例1】(2023·新高考全国Ⅰ)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
【答案】64
【解析】①当从8门课中选修2门时，不同的选课方案共有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,4)＝16(种)；
②当从8门课中选修3门时，
(ⅰ)若体育类选修1门，则不同的选课方案共有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,4)＝24(种)；
(ⅱ)若体育类选修2门，则不同的选课方案共有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,4)＝24(种)．
综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种)．
【变式1】（2024·福建漳州·模拟预测）（ ）
A．65B．160C．165D．210
【答案】C
【分析】根据排列数、组合数的公式计算可得．
【详解】.
故选：.
【变式2】（2024·浙江·模拟预测）现有一项需要用时两天的活动，要从5人中安排2人参加，每天安排一人，若其中甲、乙2人在这两天都没有参加，则不同的安排方式有（ ）
A．20种B．10种C．8种D．6种
【答案】D
【分析】根据排列数的定义和公式，即可求解．
【详解】由题意可知，从除甲和乙之外的3人中选2人，安排2天的活动，有种方法．
故选：D
【变式3】（2024·四川凉山·二模）为了传承和弘扬雷锋精神，凝聚榜样力量．3月5日学雷锋纪念日来临之际，凉山州某中学举办了主题为“传承雷锋精神，践行时代力量”的征文比赛．此次征文共5个题目，每位参赛学生从中随机选取一个题目准备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分步计算原理得到总情况数，再利用排列公式得到满足题意的情况数，最后利用古典概率的计算公式即可．
【详解】甲同学可以选择一个题目共有5种选法，同理，乙、丙也有5种选法，
由分步乘法计数原理，3人到四个社区参加志愿服务共有种选法；
若甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目，共有种选法；
则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为.
故选：D.
考点二：二项式定理
1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路：
(1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简．
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.
(3)代回通项公式即得所求．
2．对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解．
规律方法 二项式(a＋b)n的通项公式Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二项式的展开式的第k＋1项，而不是第k项；其中Ceq \\al(k,n)是二项式展开式的第k＋1项的二项式系数，而二项式的展开式的第k＋1项的系数是字母幂前的常数，要区分二项式系数与系数．
【例2】（2024·贵州毕节·一模）二项式的展开式中含项的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解．
【详解】由二项式定理可知，的展开式的通项为
，
令，解得，
所以，
所以二项式的展开式中含项的系数为.
故选：B.
【变式1】（2024·辽宁大连·一模）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据表达式特征可知利用二项式定理的逆运用可得结果．
【详解】易知
.
故选：B
【变式2】（2024·浙江温州·二模）在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为（ ）
A．B．64C．D．32
【答案】A
【分析】设，利用赋值法计算可得．
【详解】设，
令可得，
令可得，
所以，
即在展开式中的奇数次幂的项的系数和为.
故选：A
【变式3】（2022·湖南·模拟预测）下列不属于的展开式的项的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】按照二项式定理直接展开判断即可．
【详解】由二项式定理可知，，故不是展开式的项．
故选：B
考点三：概率
1．古典概型的概率公式
P(A)＝eq \f(事件A包含的样本点数,试验的样本点总数).
2．条件概率公式
设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，
则P(B|A)＝eq \f(PAB,PA).
3．全概率公式
一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且它们的和i=1n Ai=Ω，P(Ai)>0，i=1，2，3，…，n，则对于Ω中的任意事件B，有P(B)= i=1n P(Ai)P(B|Ai). 这个公式称为全概率公式．
规律方法 求概率的方法与技巧
(1)古典概型用古典概型概率公式求解．
(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解．
(3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解．
【例3】(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0