第09讲 数列求和及其综合应用（2大考点+强化训练）-2024年高考数学重难点培优精讲（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
第09讲 数列求和及其综合应用（2大考点+强化训练）
[考情分析] 1．数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法．2．数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证明不等式等．3．主要以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等．
知识导图
考点分类讲解
考点一：数列求和
1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是相邻项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：eq \f(1,nn＋k)＝eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；
eq \f(1,4n2－1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
2．错位相减法求和，主要用于求{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列．
规律方法 (1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差．
(2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项．
(3)用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式．
考向1 分组转化法
【例1】（2024·河南南阳·一模）已知等比数列的公比与等差数列的公差均为2，且，设数列满足，，则数列的前20项的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等差数列、等比数列的定义及求和公式计算即可．
【详解】因为，所以，则，
根据题意，，
所以
.
故选：B.
【变式1】（2024·甘肃·一模）已知函数（为自然对数的底），，记为从小到大的第个极值点，数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意求导并令，结合题意可求得，对是奇数还是偶数进行分类讨论，再结合等比数列求和公式、分组求和法即可得解．
【详解】由题意，
令，则，即，所以，
又，
所以是以为首项，为公差的等差数列，即，
当时，，
当时，，
从而
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：关键是在得到之和还要对分类讨论，得，由此即可顺利得解
【变式2】2024·四川宜宾·二模）数列中，是数列的前项和，已知，数列为等差数列，则 .
【答案】57
【分析】根据题意，求出数列的通项，进而求得，利用分组求和得解．
【详解】令，，，，
又数列为等差数列，所以公差，
，即，
，
.
故答案为：57.
【变式3】(2023·枣庄模拟)已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an＋1＋2an＝2n＋2.
(1)证明：{an－2n}为等比数列；
(2)已知bn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an，n为奇数，,lg2an，n为偶数，))Tn为{bn}的前n项和，求T10.
【解析】(1)证明 由an＋1＋2an＝2n＋2可得
an＋1－2n＋1＝2n＋1－2an＝－2(an－2n)．
又a1－21＝1≠0，
所以{an－2n}是以1为首项，－2为公比的等比数列．
(2)解 由(1)可得an－2n＝(－2)n－1，
即an＝2n＋(－2)n－1.
当n为奇数时，bn＝an＝2n＋(－2)n－1＝3×2n－1；
当n为偶数时，bn＝lg2an＝lg2[2n＋(－2)n－1]
＝lg22n－1＝n－1.
所以T10＝(b1＋b3＋b5＋b7＋b9)＋(b2＋b4＋b6＋b8＋b10)
＝(3＋3×22＋3×24＋3×26＋3×28)＋(1＋3＋5＋7＋9)
＝eq \f(3×1－45,1－4)＋eq \f(1＋9×5,2)＝1 048.
考向2 裂项相消法
【例2】（2024·广东·模拟预测）令．则的最大值在如下哪个区间中（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先通过，利用裂项相消法求出，观察得其最大值可取，然后计算其范围即可．
【详解】由于
根据三角函数的性质可知，
当或时，取最大值，
不妨取，
则,
又，
因为当时，
所以
要比较与的大小，
即比较与的大小，
故.
所以.
故选：B.
证明：当时，
设，，则，
所以在上单调递减，
所以，即当时，.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对式子进行放缩，可以将三角运算转化为非三角运算．
【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，若首项为的数列满足，则数列的前2024项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】已知数列的前n项和为，做差法计算数列的通项公式，代入，累加法求出数列的通项公式，裂项相消即可求出数列的前2024项和．
【详解】解：，，
当时，，符合，
所以数列的通项公式为.
，，
即，
，
……
，又，累加法可得：，
即，
设数列的前项和为，则.
故选：D
【变式2】（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题可得，后由裂项求和法可得答案．
【详解】注意到，则.
则
.
故选：B
【变式3】(2023·沈阳质检)设n∈N*，向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(n－1,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(n－1,4n－1)，an＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→)).
(1)令bn＝an＋1－an，求证：数列{bn}为等差数列；
(2)求证：eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,an)0，eq \f(1,n＋2)>0，
故eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,an)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))