2024年辽宁省盘锦市大洼区第一中学九年级下学期第二次模拟数学试题（含解析）

这是一份2024年辽宁省盘锦市大洼区第一中学九年级下学期第二次模拟数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1．一运动员某次跳水的最高点离跳板，记为，则水面离跳板可记作（ ）
A．B．C．D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），则它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．冠豸中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，八（10）班一名同学连续一周体温情况如下表所示：
，，，，，，
则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（ ）
A．和B．和C．和D．和
6．点P的坐标是（m，n），从﹣5，﹣3，0，4，7这五个数中任取一个数作为m的值，再从余下的四个数中任取一个数作为n的值，则点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．关于的一元二次方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．与的取值有关，无法确定根的情况
8．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作的∠BAD平分线交BC于点E，若AE=8，AB=5，则BF的长为（ ）

A．4B．5C．6D．8
9．如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（ ）

A．B．C．D．
10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在与之间（不包含这两点），抛物线的顶点为D，对称轴是直线．有下列结论：①；②若点；是抛物线上两点，则；③；④若，则是等边三角形．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．计算： ．
12．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别是，．平移得到，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标是 ．
13．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
14．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，且点D在第一象限，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，若BCE的面积是12，则k＝ ．
15．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，点在轴上，，则点坐标为 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分．
16．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
17．如图，中，分别为的中点，连接．
(1)尺规作图：在的延长线上确定点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，求证：四边形为菱形．
18．某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛，为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
(1)表中 ， ．
(2)请补全频数分布直方图；
(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．
19．如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面．
(1)当水桶在井里时，，求此时支点O到小竹竿的距离（结果精确到）；
(2)如图2，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，）
20．某商户在线上投资销售A，B两种商品．已知销售A种商品可获得的月利润（万元）是该商品投资金额的40%，销售B种商品可获得的月利润（万元）与该商品投资金额x（万元）满足函数关系（其图象如图所示）．
(1)求销售A种商品的月利润（万元）与该商品的投资金额x（万元）的函数关系式，并在图中画出其图象．
(2)若只选择其中一种商品投资销售，根据函数图象求销售哪种商品获得的月利润更高？
(3)若该商户共投资10万元同时销售A，B两种商品，要获得月总利润最大，应怎样分配投资金额？并求出最大月总利润．
21．如图，是的直径，是的弦，，垂足为H，过点C作直线分别于的延长线交于点E，F， 且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
22．综合与实践
【问题情境】
为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（），，．
图1
【探究实践】
老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交，于点M，G．
老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？
经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现．
（1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形．”
（2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点．
请你分别判断两人的结论是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长．”
老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，，请你帮小慧求出的长．
图4
23．如图，已知矩形的顶点A在y轴上，顶点B的坐标是，抛物线（m是常数）的顶点是P．
(1)求点P的坐标；（用含m的代数式表示）
(2)若抛物线经过点A，则抛物线是否与线段有另一个交点E．若有，求出的正切值；若没有，请说明理由；
(3)若抛物线被矩形所截，其在矩形内部的图象所对应的函数值y随x的增大而增大，求m的取值范围．
成绩x/分
频数
频率
15
0.1
0.2
45
60
1．A
【分析】根据正负数的意义即可求出答案．
【详解】解：∵跳水的最高点离跳板，记为，
∴水面离跳板可以记为，
故选A．
【点睛】本题考查正负数的意义，解题的关键是正确理解正负数的意义，本题属于基础题型．
2．C
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可得出结论．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：C．
3．C
【分析】根据俯视图的意义画出相应的图形即可．
【详解】解：从上面看该组合体，看到的是一个长方形，中间有一个圆形的“孔”，因此选项C中的图形符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，长对正，宽相等，高平齐是画三视图的基本原则．
4．C
【分析】根据积的乘方、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
【详解】解：A. ，原计算错误，不合题意；
B. ，原计算错误，不合题意；
C. ，计算正确，符合题意；
D. ，原计算错误，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了积的乘方、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，掌握相关公式是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查众数，中位数的计算．众数指出现次数最多的数，中位数指有顺序的一组数中处于中间位置的数，根据题意，将原数据从小到大排列即可求出众数和中位数．
【详解】解：将数据从小到大排列如下：
，，，，，，
故众数是，中位数是．
故选：B．
6．B
【分析】先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再根据第二象限点的坐标特征找出点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的结果数为4，
所以点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的概率＝．
故选B．
【点睛】本题考查了点的坐标以及列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A的概率．
7．A
【分析】根据根的判别式即可求解，即．
【详解】解：关于的一元二次方程，
∴，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实根，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根的判别式判定方程的根是解题的关键．
8．C
【分析】根据尺规作图可得四边形ABEF为菱形，故可根据勾股定理即可求解.
【详解】连接EF，设AE、BF交于O点，
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠FAE，
又AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB,
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
故AF=BE，又AF∥BE，
∴四边形ABEF是菱形，
故AE⊥BF，
∵AE=8，AB=5
∴BF=2BO=
故选C.
【点睛】此题主要考查菱形的判定与性质，解题的关键是熟知特殊平行四边形的判定与性质及勾股定理的应用.
9．A
【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形的特征、旋转变换与坐标规律问题、全等三角形的判定及性质，首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点C在第一象限，过点作轴于点，作轴于，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，可得，，根据勾股定理及三角函数得，作点关于轴对称的点，连接，，则可得，进而可求解，找出旋转规律是解题关键．
【详解】解：将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，，
旋转6次后回到原来的位置，
，
第2023次旋转结束时，点C在第一象限，且为旋转第一次结束后的坐标，
过点作轴于点，作轴于，如图：
，
四边形是菱形，
，
，
，
，，
，
，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
∴，
，
作点关于轴对称的点，连接，，
，
，，
，
，
第2023次旋转结束时，点C的坐标为，
故选A．
10．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数解析式的求法，等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：∵图象的开口向下，
∴，
∵图象与y轴的交点为，
∴，
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
∴，
∴①符合题意，
∵抛物线的对称轴为，
∴M关于对称轴的对称点为，
∵当时，y随着x的增大而增大，
又∵，
∴，
∴②符合题意，
由题意得：，
∵当时，较小的一个根为，
∴，
解得：，
∴③不合题意，
当时，抛物线的解析式为，
∴，
取，得，
解得，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴④符合题意，
∴符合题意的有①②④，
故选：C．
11．
【分析】根据二次根式的乘法进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法是解题的关键．
12．
【分析】根据点A坐标及其对应点的坐标的变化规律可得平移后对应点的横坐标减小1，纵坐标减小2，即可得到答案．
【详解】平移得到，点的对应点的坐标为，
向左平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度，
即平移后对应点的横坐标减小1，纵坐标减小2，
的对应点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移坐标的变化规律，即左减右加，上加下减，熟练掌握知识点是解题的关键．
13．且
【分析】先解分式方程，用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【详解】解：
去分母，得：，
去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：．
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴．
又∵，
∴．
∴．
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用m表示出x的值是解题的关键．
14．24
【分析】先设点D坐标为（m，n），则OC=m，CD=AB=n，k=mn再根据三角形面积公式可求得BC·OE=24，根据AB∥OE得出，即BC·OE=AB·OC，进而求解mn即可．
【详解】解：由题中矩形可知， AB=CD，CD⊥x轴，AB∥CD∥OE，
设点D坐标为（m，n），则OC=m，CD=AB=n，
∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，
∴k=mn，
∵BCE的面积是12，
∴·BC·OE=12，即BC·OE=24，
∵AB∥OE，
∴，即BC·OE=AB·OC=24，
∴k=mn=CD·OC=AB·OC=24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义、矩形的性质、坐标与图形、平行线分线段成比例、三角形面积公式，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想将△BCE的面积和点D坐标联系起来是解答的关键．
15．或
【分析】本题考查二次函数的综合应用．先用待定系数法求出抛物线的解析式，得出点的坐标，过点作于，设，求出，，在中，，，在中，，，由此得到等量关系，解出即可，再根据对称性可得另外一个点的坐标．
【详解】解：将，代入得，
，
解得，
，
，
过点作于，
设，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
由对称性知，点也满足题意．
故答案为：或．
16．（1）；（2），
【分析】（1）按照实数的运算顺序进行运算即可．
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再将的值代入即可解答本题．
【详解】解：（1）原式

；
（2）原式
，
当时，
【点睛】本题主要考查分式的混合运算和实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，实数和分式的混合运算顺序和运算法则．
17．(1)详见解析（作图方法不唯一）
(2)详见解析
【分析】（1）在的延长线上截取，根据三角形的中位线性质得到，再根据平行四边形的判定与性质证明四边形是平行四边形，进而可得，作图方法不唯一；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边中线性质证得，然后根据菱形的判定可得结论．
【详解】（1）解： 如图，点为所求作的点．
作图理由：
在的延长线上截取，
分别为的中点，
为的中位线，
，即
由（1）作图知，
四边形为平行四边形．
∴，即点为所求作的点；
作图方法不唯一，如图，作，则四边形为平行四边形，∴，则点为所求作的点；
；
如图，作，则，则点为所求作的点；
（2）证明：由（1）知，四边形为平行四边形，
，E为的中点．
．
四边形为菱形．
【点睛】本题考查尺规作图、平行四边形的判定与性质、平行线的判定、三角形的中位线性质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用，正确作出图形是解答的关键．
18．(1)30，0.3
(2)见详解
(3)
【分析】本题考查统计与概率综合题型．
（1）根据总数150及统计表数据可求；
（2）由的值可补全图形；
（3）先画树状图，求出总的情况数，再求得符合条件的情况数即可．
【详解】（1）解：根据表格数据知，
故答案为：30，0.3；
（2）由，补全图如下：
（3）设代表女生，代表男生，树状图如下：
共12种情况，符合题意的有6种，故恰好为一名男生、一名女生的概率为．
19．(1)点A到地面的距离为；
(2)点A上升的高度为；
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）作于点G，由题意可知m，，在中，应用特殊角三角函数值求即可；
（2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解；
【详解】（1）作于点G（图1），
∵O为的中点，，
∴m
∵，
∴
∵，
∴，
在中，
m
∴点A到地面的距离为．
（2）记交于点H（图2），
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
在中，
m，
在中，
m
∴点A上升的高度为．
20．(1)；图象见解析
(2)当时，选择B种商品；当时，选A、B 均可；当时，选择A种商品
(3)投资销售B商品为3万元，A商品为7万元，月总利润为4.9万元
【分析】（1）由题意知，，然后作图象即可；
（2）令，则，解得，，可知当时，两种产品的月利润相同，观察图象，比较的大小，然后作答即可；
（3）设投资销售B商品为万元，A商品为万元，月总利润为，由题意知，，根据二次函数的性质求最大时的值，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，
∴函数关系式为；
图象如下：
（2）解：令，则
解得，
∴当时，两种产品的月利润相同；
由图象可知，当时，，此时销售种商品月利润更高；
当时，，此时销售种商品月利润更高；
∴当时，选择种商品；当时，均可；当时，选择种商品．
（3）解：设投资销售B商品为万元，A商品为万元，月总利润为
由题意知，

∵
∴时，最大，值为4.9万元
∴应投资销售B商品为3万元，则A商品为7万元，月总利润为4.9万元．
【点睛】本题考查了一次函数解析式与图象，一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数最值等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）连接，由垂径定理得到，由圆周角定理和已知条件证明，进而可证明，由此即可证明是的切线；
（2）由垂径定理和圆的性质得到，则，解直角三角得到，，则，即可得到．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵是的直径，是的弦，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，是的弦，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．（1）结论正确，理由见详解；（2）结论正确，理由见详解；（3）
【分析】（1）由折叠的性质及已知条件得，由平行四边形的定义即可求证；
（2）连接，由折叠的性质得，，由等腰三角形的性质及平行线的性质可得，由对顶角性质及等腰三角形的性质得，由余角的性质可得，从而可得，即可求证；
（3）由两角对应相等的三角形相似可得，由相似三角形的性质得，设，则有，，由勾股定理得，，，即可求解．
【详解】（1）结论正确；
理由如下：
由折叠得：，
，
折痕与夹角为，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）结论正确；
理由如下：
如图，连接，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
N是的中点；
（3）解：，，
，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
解得：，
，
由（2）得：，
，
，
设，则有，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
解得：，
故的长为．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质等，掌握相关的判定方法及性质，能结合折叠的性质将已知条件转化到直角三角形中，用勾股定理求解是解题的关键．
23．(1)
(2)有，
(3)
【分析】（1）先配成顶点式，利用性质求解即可；
（2）利用抛物线经过点求得，，再分情况求解即可；
（3）先求得抛物线经过点时，的值，画出相应的图象，利用数形结合的思想求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∴顶点的坐标为；
（2）解：∵矩形的顶点在轴上，且点的坐标是，
∴轴．点的坐标是．
∵抛物线经过点，
∴．
解得，，
①当时，抛物线的对称轴为直线，
根据对称性点关于对称轴对称的点为，
∴抛物线与线段没有另一个交点，
②当时，抛物线的对称轴为直线，
根据对称性点关于对称轴对称的点为，
∴抛物线与线段的另一个交点为；
当时，，
如图，过点作于点，连接，
，，
∴；
（3）解：由（1）知顶点的坐标为，
∴抛物线的顶点在直线上．
由（2）可得抛物线经过点时，，
当抛物线经过点时，．
解得，．
在抛物线沿直线从左到右的运动中，其图象经历从图2到图5的过程，由图可知当时，抛物线被矩形所截，其在矩形内部的图象所对应的函数值随的增大而增大．
【点睛】本题是二次函数的综合运用，考查了求二次函数的对称轴，二次函数性质，二次函数的求值，求正切的函数值等知识，解决问题的关键是数形结合，理解题意．