黑龙江省2024届高三下学期第四次模拟考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份黑龙江省2024届高三下学期第四次模拟考试数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，加斯帕尔•蒙日等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答題卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若，则的虚部为（ ）
A.-1 B.1 C.3 D.-3
3.佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，它利用现代设计手法令空间与其展示的艺术品无缝交融，形成一个统一的整体，气势恢宏，美轮美央.佛兰德现代艺术中心的底面直径为，高为，则该建筑的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
4.现有红色､黄色､蓝色的小球各4个，从中任取3个小球，若这3个小球颜色不全相同，则不同取法有（ ）
A.160种 B.208种 C.256种 D.472种
5.已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知内角的对边分别为，动点位于线段上，则的最小值为（ ）
A.0 B. C. D.
7.已知函数在上的最大值和最小值分别为，则（ ）
A.-4 B.0 C.2 D.4
8.已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.1
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知数据的平均数为，中位数为，方差为，极差为，由这数据得到新数据，其中，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（ ）
A.平均数是 B.中位数是
C.方差是 D.极差是
10.加斯帕尔•蒙日（如图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则被称为“蒙日圆”（如图2）.已知矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ）
A.椭圆的离心率为
B.椭圆与椭圆有相同的焦点
C.椭圆的蒙日圆方程为
D.矩形的面积最大值为50
11.已知函数是定义域为的可导函数，.若是奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ）
A.
B.曲线在点处的切线的斜率为2
C.是的导函数
D.的图象关于点对称
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则__________.
13.已知过点的动直线与圆交于两点，为的中点，则直线的斜率的取值范围是__________，为坐标原点的取值范围为__________.
14.如图，中，分别是边上的点，，将沿折起，点折起后的位置记为点，得到四棱锥，则四棱锥体积的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知等差数列的公差与的等差中项为5，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列的前20项和.
16.（15分）
随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园､场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取400人进行调査，得到如下表的统计数据：
（1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？
（2）现从50岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调査问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：，其中.
17.（15分）
如图，在直三棱杜中，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求点到平面的距离.
18.（17分）
已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上.
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线的左焦点作互相垂直的两条直线，且与交于两点，与交于两点，为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点.
19.（17分）
若函数满足：对任意的实数，有恒成立，则称函数为“增函数”.
（1）求证：函数不是“增函数”；
（2）若函数是“增函数”，求实数的取值范围；
（3）设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”.
2023~2024学年度高三年级第四次模拟·数学
参考答案､提示及评分细则
1.C 由题意得，则，则，故错误；，则，故B错误；又，故C正确；，故错误.
2.A 因为，所以，所以，所以，则的虚部为-1.
3.C 由题知该建筑的母线长为，则其侧面积为.
4.B 若取出的3个球颜色各不相同，不同的取法有种；若取出的2个球颜色不同，可能出现的取法有红1黄2，红1蓝2，红2黄1，红2蓝1，黄1蓝2，黄2蓝1，即144，故不同取法有种.（从中任取3个球共有种取法，3个球颜色全相同共有12种取法，则颜色不全相同的取法有种.）
5.D 因为，所以，因为函数在区间恰有3条对称轴，所以，解得.
6.C由题知，而，所以当时，有最小值为.
7.A 令，所以最大值和最小值分别为，又，故为奇函数，故的图象关于原点对称，故.
8.D 设，由题意可知的斜率存在且不为0，不妨设，联立方程得，所以由直线与抛物线相切可得，解得，所以，又因为在直线上，所以有，同理可得，若，则，即的直线方程为，则到的距离为1；若，则，两式联立消得：，所以，所以，整理得，所以到直线距离，综上，.
9.BC 的平均数是，中位数是，方差是，极差是.
10.ABD 由题知栯圆中，，所以，故A正确；
椭圆中，，故焦点与椭圆相同，B正确；
因为矩形的四边均与椭圆相切，所以点，即在蒙日圆上，故半径，
可得椭圆的蒙日圆方程为，故错误；
设矩形的边长分别为，则有，所以矩形的面积等于50，当且仅当时取等号，故D正确.
11.BC 由题意有，令，有，故错误；
，令得，故B正确；
为奇函数，即，又因为，所以，所以，所以，即，故C正确；
因为，所以，得，即关于对称，所以，即关于对称，故D错误.
12.因为，而，因此，则，所以.
13.（2分）（3分）设，直线的方程为.由，得，所以，解得；
由，可得，所以，又若直线与圆相切于点，易得，当与重合时，取最大值，所以.
14. 当底面的面积一定时，当平面平面，即平面时，四棱锥的体积最大，设，则，令，则，令，解得或（舍），当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，即四棱锥的体积最大值为.
15.解：（1）因为为等差数列，与的等差中项为5，所以.
又，解得或
因为公差，所以，所以，
所以，得，
所以.
（2）由（1）得：，则
所以
.
16.解：（1）零假设周平均锻炼时长与年龄无关联.
由表格数据得：，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断
犯错误的概率不大于0.01.
（2）抽取的8人中，周平均锻炼时长少于5小时的有人，不少于5小时的有人，
则所有可能的取值为，
所以；
所以的分布列为：
所以数学期望.
17.（1）证明：由直三棱柱的性质可知，四边形为平行四边形，
又，所以四边形为正方形，
所以.
在直三棱柱中，平面平面，
由得，
因为平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为平面平面，
所以平面.
（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
.
设为平面的一个法向量，
则，即
令，则，即，
又平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，
则，解得.
则，平面的一个法向量
由题意，.即点到平面的距离为.
18.（1）解：由双曲线的一条渐近线方程为，且点在上，有解得故双曲线的方程为.
（2）证明：由题意可知不与渐近线平行，当与坐标轴平行时，显然直线与轴重合.
当不与坐标轴平行时，左焦点为，不妨设直线的方程为，联立消去并整理得，
，
设，则
所以，所以.
又直线互相垂直，用替换，则可得.
当，即时，直线的方程为，直线过；
当时，直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，所以直线过.
综上，直线恒过点.
19.解：（1）取，则，因为，
故函数不是“增函数”.
（2）因为函数是“增函数”，故任意的，
有恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
又，故，则，
则，即.
（3），
根据题意，得，
可得方程的一个解，
令，
则，故在上是严格增函数，所以是唯一解，
又，此时在处的切线方程即为，
故；
设，其中，
，由在上是严格增函数以及，
得，
即，
所以在上是严格增函数，
因为，则，故，得证，所以函数是“之增函数”.
周平均锻炼时间少于5小时
周平均锻炼时间不少于5小时
合计
50岁以下
80
120
200
50岁以上（含50）
50
150
200
合计
130
270
400
0.025
0.01
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
1
2
3