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黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三下学期2月一模考试数学试卷（Word版附解析）
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这是一份黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三下学期2月一模考试数学试卷（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知，则，已知圆，则下列结论正确的有，已知函数，则下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：高考范围.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，若为纯虚数，则（ ）
A. B.2 C.1 D.
3.已知为奇函数，则（ ）
A.-2 B.2 C.1 D.-1
4.某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（ ）
5.已知数列为等比数列，均为正整数，设甲：；乙：，则（ ）
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲是乙的既不充分也不必要条件
6.若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.已知，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知为双曲线的右顶点，为坐标原点，为双曲线上两点，且，直线的斜率分别为2和，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.2
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知圆，则下列结论正确的有（ ）
A.若圆和圆外离，则
B.若圆和圆外切，则
C.当时，圆和圆有且仅有一条公切线
D.当时，圆和圆相交
10.已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A.当时，的最小正周期为
B.当时，的最小值为
C.当时，在区间上有4个零点
D.若在上单调递减，则
11.已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内任一点，且五点在同一个球面上，则（ ）
A.
B.四面体的体积为
C.当时，点的轨迹长度为
D.当三棱锥的体积为时，点的轨迹长度为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校需要选派4名大学生去当志愿者，已知该校现有9名候选人，其中4名男生，5名女生，则志愿者中至少有2名女生的选法有__________种（用数字作答）.
13.已知为椭圆上的一个动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为__________.
14.若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
睡眠是生命健康不可缺少的源泉，然而许多人被睡眠时长过短､质量不高等问题所困扰.2023年3月21日是第23个世界睡眠日，这一天某研究小组随机调查了某高校100名学生在某一天内的睡眠情况，将所得数据按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：
（1）求的值，并由频率分布直方图估计该校所有学生每一天的平均睡眠时长（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）每一天睡眠时长不低于7.75小时认定为睡眠充足，以频率代替概率，样本估计总体，在该高校学生中随机抽查3人，求至少有两人每一天睡眠时长充足的概率.
16.（本小题满分15分）
记的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若的面积为，求边上的中线长.
17.（本小题满分15分）
如图1，在平面四边形中，.点是线段上靠近端的三等分点，将沿折成四棱锥，且，连接，如图2.
（1）在图2中，证明：平面；
（2）求图2中直线与平面所成角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
在平面直角坐标系中，点为动点，以为直径的圆与轴相切，记的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设为直线上的动点，过的直线与相切于点，过作直线的垂线交于点，求面积的最小值.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）设函数，讨论的单调性；
（2）设分别为的极大值点和极小值点，证明：.
数学考试
参考答案､提示及评分细则
1.B 由，解得，所以，所以，故选B.
2.B ，若为纯虚数，则，故选B.
3.A 当时，，所以，所以，故选A.
4.C 由题意，选到非碳酸饮料的概率为.44，故选C.
5.B 设数列的公比为，首项为，则，即，满足必要性.当时，对任意正整数均有，不满足充分性，所以甲是乙的必要不充分条件，故选B.
6.D ，即对任意恒成立，
即恒成立，因为（当且仅当时取“=”），所以，故选D.
7.A 设，则.故选A.
8.C ，可知是中点，两点关于原点对称，，设，则.故选C.
9.BCD .
若和外离，则，解得或，故错误；
若和外切，，解得，故B正确；
当时，和内切，故C正确；
当时，和相交，故D正确，故选BCD.
10.AB 当时，，所以的最小正周期为选项正确；
当时，，所以的最小值为选项正确；
当时，，令，解得或，此时或或在区间上有3个零点，C选项错误；，设，易知在上单调递减，且，根据复合函数的单调性，在上单调递增，所以，解得选项错误.故选.
11.AC 依题意，，将四面体放入长方体中，设长方体的长，宽，高分别为，则，解得，所以选项正确；
由于，即异面直线和的距离为，且，所以四面体的体积为选项错误；
由可知，四面体的外接球半径为，易知点的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为，则，解得，所以的轨迹长度为，C选项正确；
易知的外接圆半径为，所以球心到所在平面的距离为，
三棱锥的体积为，又由，
所以点的轨迹长度大于，D选项错误，故选AC.
12.105 恰有两名女生人选的选法有种，恰有3名女生人选的选法有种，恰有4名女生人选的选法有种，所以至少有两名女生人选的选法有（种）.
13. 设，则，根据三角形相似可得，，
且，因为，
所以.
14. 设，则，设切点为，
则切线方程为，整理可得.
所以解得，
所以，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取得最大值，所以的最大值为.
15.解：（1），解得，
依题意，该校学生每一天的平均睡眠时长为
（小时）；
（2）100名学生的睡眠充足的频率为，
以频率代替概率，样本估计总体，该校学生睡眠充足的概率为0.2，
所以至少有两人睡眠时长充足的概率为.
16.解：（1）由正弦定理可得，所以，
即，又，
所以，
整理得，解得；
（2）依题意，，解得，
又，所以，
由正弦定理可得，又，所以，
设的中点为，则，
所以，
所以边上的中线长为.
17.（1）连接交于点，连接，
，
平面平面平面，
（2）解：在图1中，，在图2
中，，
平面，
，故以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，则
可取，
又，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18.解：（1）设，则线段的中点坐标为，
因为以为直径的圆与轴相切，
所以，
化简得，所以的方程为；
（2）设，由，则点处的切线斜率为，
所以直线方程为，整理为，
令，则，所以，
易知直线斜率为，所以直线，整理为，
与联立可得，有，
解得，即的横坐标为，
所以，
，
所以面积为，
又，当且仅当时，等号成立，
所以的面积最小值为.
19.解：（1），
，
当时，在上恒成立，则在上单调递增，
当时，单调递减，
单调递增，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）分别是的极大值点和极小值点，.
所以.，
综上，要证，
只需证，
因为，
即证：，
设.
所以，
所以在上单调递增，所以.
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：高考范围.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，若为纯虚数，则（ ）
A. B.2 C.1 D.
3.已知为奇函数，则（ ）
A.-2 B.2 C.1 D.-1
4.某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（ ）
5.已知数列为等比数列，均为正整数，设甲：；乙：，则（ ）
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲是乙的既不充分也不必要条件
6.若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.已知，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知为双曲线的右顶点，为坐标原点，为双曲线上两点，且，直线的斜率分别为2和，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.2
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知圆，则下列结论正确的有（ ）
A.若圆和圆外离，则
B.若圆和圆外切，则
C.当时，圆和圆有且仅有一条公切线
D.当时，圆和圆相交
10.已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A.当时，的最小正周期为
B.当时，的最小值为
C.当时，在区间上有4个零点
D.若在上单调递减，则
11.已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内任一点，且五点在同一个球面上，则（ ）
A.
B.四面体的体积为
C.当时，点的轨迹长度为
D.当三棱锥的体积为时，点的轨迹长度为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校需要选派4名大学生去当志愿者，已知该校现有9名候选人，其中4名男生，5名女生，则志愿者中至少有2名女生的选法有__________种（用数字作答）.
13.已知为椭圆上的一个动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为__________.
14.若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
睡眠是生命健康不可缺少的源泉，然而许多人被睡眠时长过短､质量不高等问题所困扰.2023年3月21日是第23个世界睡眠日，这一天某研究小组随机调查了某高校100名学生在某一天内的睡眠情况，将所得数据按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：
（1）求的值，并由频率分布直方图估计该校所有学生每一天的平均睡眠时长（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）每一天睡眠时长不低于7.75小时认定为睡眠充足，以频率代替概率，样本估计总体，在该高校学生中随机抽查3人，求至少有两人每一天睡眠时长充足的概率.
16.（本小题满分15分）
记的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若的面积为，求边上的中线长.
17.（本小题满分15分）
如图1，在平面四边形中，.点是线段上靠近端的三等分点，将沿折成四棱锥，且，连接，如图2.
（1）在图2中，证明：平面；
（2）求图2中直线与平面所成角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
在平面直角坐标系中，点为动点，以为直径的圆与轴相切，记的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设为直线上的动点，过的直线与相切于点，过作直线的垂线交于点，求面积的最小值.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）设函数，讨论的单调性；
（2）设分别为的极大值点和极小值点，证明：.
数学考试
参考答案､提示及评分细则
1.B 由，解得，所以，所以，故选B.
2.B ，若为纯虚数，则，故选B.
3.A 当时，，所以，所以，故选A.
4.C 由题意，选到非碳酸饮料的概率为.44，故选C.
5.B 设数列的公比为，首项为，则，即，满足必要性.当时，对任意正整数均有，不满足充分性，所以甲是乙的必要不充分条件，故选B.
6.D ，即对任意恒成立，
即恒成立，因为（当且仅当时取“=”），所以，故选D.
7.A 设，则.故选A.
8.C ，可知是中点，两点关于原点对称，，设，则.故选C.
9.BCD .
若和外离，则，解得或，故错误；
若和外切，，解得，故B正确；
当时，和内切，故C正确；
当时，和相交，故D正确，故选BCD.
10.AB 当时，，所以的最小正周期为选项正确；
当时，，所以的最小值为选项正确；
当时，，令，解得或，此时或或在区间上有3个零点，C选项错误；，设，易知在上单调递减，且，根据复合函数的单调性，在上单调递增，所以，解得选项错误.故选.
11.AC 依题意，，将四面体放入长方体中，设长方体的长，宽，高分别为，则，解得，所以选项正确；
由于，即异面直线和的距离为，且，所以四面体的体积为选项错误；
由可知，四面体的外接球半径为，易知点的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为，则，解得，所以的轨迹长度为，C选项正确；
易知的外接圆半径为，所以球心到所在平面的距离为，
三棱锥的体积为，又由，
所以点的轨迹长度大于，D选项错误，故选AC.
12.105 恰有两名女生人选的选法有种，恰有3名女生人选的选法有种，恰有4名女生人选的选法有种，所以至少有两名女生人选的选法有（种）.
13. 设，则，根据三角形相似可得，，
且，因为，
所以.
14. 设，则，设切点为，
则切线方程为，整理可得.
所以解得，
所以，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取得最大值，所以的最大值为.
15.解：（1），解得，
依题意，该校学生每一天的平均睡眠时长为
（小时）；
（2）100名学生的睡眠充足的频率为，
以频率代替概率，样本估计总体，该校学生睡眠充足的概率为0.2，
所以至少有两人睡眠时长充足的概率为.
16.解：（1）由正弦定理可得，所以，
即，又，
所以，
整理得，解得；
（2）依题意，，解得，
又，所以，
由正弦定理可得，又，所以，
设的中点为，则，
所以，
所以边上的中线长为.
17.（1）连接交于点，连接，
，
平面平面平面，
（2）解：在图1中，，在图2
中，，
平面，
，故以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，则
可取，
又，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18.解：（1）设，则线段的中点坐标为，
因为以为直径的圆与轴相切，
所以，
化简得，所以的方程为；
（2）设，由，则点处的切线斜率为，
所以直线方程为，整理为，
令，则，所以，
易知直线斜率为，所以直线，整理为，
与联立可得，有，
解得，即的横坐标为，
所以，
，
所以面积为，
又，当且仅当时，等号成立，
所以的面积最小值为.
19.解：（1），
，
当时，在上恒成立，则在上单调递增，
当时，单调递减，
单调递增，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）分别是的极大值点和极小值点，.
所以.，
综上，要证，
只需证，
因为，
即证：，
设.
所以，
所以在上单调递增，所以.
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