2024年中考数学复习讲义 第13讲 二次函数的图象与性质(含答案)

这是一份2024年中考数学复习讲义 第13讲 二次函数的图象与性质(含答案)，共96页。学案主要包含了考情分析，知识建构，二次函数的对称性问题，二次函数的最值问题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u 一、考情分析
二、知识建构
考点一 二次函数的相关概念
题型01 判断函数类型
题型02 判断二次函数
题型03 已知二次函数的概念求参数值
题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式
类型一 一般式
类型二 顶点式
类型三 交点式
考点二 二次函数的图象与性质
题型01 根据二次函数解析式判断其性质
题型02 将二次函数的一般式化为顶点式
题型03 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
题型04 利用五点法绘二次函数图象
题型05 二次函数平移变换问题
题型06 已知抛物线对称的两点求对称轴
题型07 根据二次函数的对称性求函数值
题型08 根据二次函数的性质求最值
题型09 根据二次函数的对称性求字母的取值范围
题型10 根据二次函数的最值求字母的取值范围
题型11 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围
题型12 根据二次函数的增减性求字母的取值范围
考点三 二次函数与各项系数之间的关系
题型01 根据二次函数图象判断式子符号
题型02 二次函数图象与各项系数符号
题型03 二次函数、一次函数综合
题型04 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合
题型05 两个二次函数图象综合
考点四 二次函数与方程、不等式
题型01 求二次函数与坐标轴交点坐标
题型02 求二次函数与坐标轴交点个数
题型03 抛物线与x轴交点问题
题型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况
题型05 图象法确定一元二次方程的近似根
题型06 求x轴与抛物线的截线长
题型07 图象法解一元二次不等式
题型08 根据交点确定不等式的解集
题型09 二次函数与斜三角形相结合的应用方法
考点一 二次函数的相关概念
二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次函数的结构特征：1）函数关系式是整式；
2）自变量的最高次数是2；
3）二次项系数a≠0，而 QUOTE b ， c b，c可以为零.
根据实际问题列二次函数关系式的方法：
1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系；
2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系；
3）列出相应二次函数的关系式.
二次函数的常见表达式：
二次函数的特殊形式：1)当b＝0时， y＝ax²＋c（a≠0）
2)当c＝0时， y＝ax²＋bx （a≠0）
3)当b＝0，c＝0时， y＝ax²（a≠0）
题型01 判断函数类型
【例1】（2022·北京·统考一模）线段AB=5．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系B．一次函数关系，正比例函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系D．反比例函数关系，二次函数关系
【答案】C
【分析】根据题意分别列出与，与的函数关系，进而进行判断即可．
【详解】解：依题意：AP=t，BP=5-t,
故y=4t，S=（5-t）2
故选择：C
【点拨】本题考查了列函数表达式，正比例函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．
【变式1-1】（2021上·北京海淀·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=10，动点M、N分别从A.C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长的速度移动．设运动的时间为t，点M、C之间的距离为y，△MCN的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【分析】求出y与t，S与t满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可．
【详解】解：由题意得，AM＝t，CN＝2t，
∴MC＝AC−AM＝5−t，
即y＝5−t，
∴S＝12MC•CN＝5t−t2，
因此y是t的一次函数，S是t的二次函数，
故选：D．
【点拨】本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出y与t，S与t的函数关系式是正确判断的关键．
【变式1-2】（2023·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地ABC，其中∠B=90°，AB=BC．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，使点P，M，N分别在边AC，BC，AB上．记PM=xm，PN=ym，图中阴影部分的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）

A．一次函数关系，二次函数关系B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系D．反比例函数关系，二次函数关系
【答案】A
【分析】先求出∠A=∠C=45°，再证明△PCM、△APN都是等腰直角三角形，从而推出y=-x+BC，S=12x2+12BC-x2，由此即可得到答案．
【详解】解：∵∠B=90°，AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∵四边形PMBN是矩形，
∴∠PMB=∠PMC=∠PNB=∠PNA=90°，PN=BM，
∴△PCM、△APN都是等腰直角三角形，
∴CM=PM，AN=PN=BM，
∴PM+PM=CM+BM=BC，即x+y=BC，
∴y=-x+BC，S=12PM⋅CM+12PN⋅AN=12x2+12BC-x2
∴S=12PM⋅CM+12PN⋅AN=12x2+12BC-x2，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
故选A．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，列函数关系式，二次函数的定义等等，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
题型02 判断二次函数
【例2】（2023·山东济宁·校联考三模）以下函数式二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+cB．y=2x-12-4x2.
C． y=ax2+bx+ca≠0D．y=x-1x-2
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，进行判断．
【详解】解：A.当a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数，故本选项错误；
B.由y=2x-12-4x2得到y=-4x+1，是一次函数，故本选项错误；
C.该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；
D.由原函数解析式得到y=x2-3x+2，符合二次函数的定义，故本选项正确．
应选：D．
【点拨】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键．
【变式2-1】（2023·辽宁鞍山·统考一模）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y=x+13B．y=ax2+bx+cC．y=3x-12D．y=3x
【答案】C
【分析】二次函数的解析式必须是含自变量的整式，二次项系数不为0．
【详解】解：A.y=x+13是一次函数，故本选项不符合题意；
B.y=ax2+bx+c二次项系数a不能确定是否为0，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C.y=3x-12是二次函数，故本选项符合题意；
D.y=3x是正比例函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】解题关键是掌握二次函数的定义及条件：二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a，b，c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
【变式2-2】（2023·广东云浮·校考一模）关于x的函数y=a-bx2+1是二次函数的条件是（ ）
A．a≠bB．a=bC．b=0D．a=0
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义，直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵y=a-bx2+1是二次函数，
∴a-b≠0，
解得：a≠b，
故选A．
【点拨】本题考查二次函数的条件，二次函数二次项系数不为0．

判断一个函数是不是二次函数的方法：在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简、整理(去括号、合并同类项)后，能写成y=ax²+bx+c(a≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则,它就不是二次函数.
题型03 已知二次函数的概念求参数值
【例3】（2022·山东济南·模拟预测）若y=m2+mxm2-m是二次函数，则m的值等于（ ）
A．-1B．0C．2D．-1或2
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义求解即可，形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数为二次函数．
【详解】解：y=m2+mxm2-m是二次函数，则m2-m=2且m2+m≠0
由m2-m=2可得m=2或m=-1，
由m2+m≠0可得m≠0，m≠-1，
综上m=2
故答案为：C
【点拨】此题考查了二次函数的定义，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握二次函数的定义．
题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式
类型一 一般式
【例4】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）二次函数=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中x与y的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有（ ）
①ac1时，y的值随x值的增大而减小；
③4是方程ax2+b-2x+c+9=0的一个根；
④当-1