2024年高考压轴卷——数学（文）试题（全国乙卷） Word版含解析

这是一份2024年高考压轴卷——数学（文）试题（全国乙卷） Word版含解析，共17页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，已知函数为奇函数，且最大值为1，【答案】B等内容，欢迎下载使用。
2024高考压轴卷 全国乙卷
文科数学
注意事项：
1.考生答卷前，务必将自己的姓名､座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第I卷（选择题）
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 设m，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.在中，在边上，且是边上任意一点，与交于点，若，则（ ）
A. B. C.3 D.-3
5．在不等式组表示的平面区域内任取一点，则满足的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若的值域是，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，且数列是等比数列，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
8. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的一个周期为B. 的最大值为
C. 的图象关于点对称D. 在区间上有2个零点
9. 在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
10.在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（ ）
A. B. C. D.
11. 设是定义域为的奇函数，且.若，则（ ）
A. B. C. D.
12. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在点P，满足，且，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 抛物线的准线方程为，则实数a的值为______.
14. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则边______.
15.已知函数为奇函数，且最大值为1.则函数的最大值和最小值的和为__________.
16．已知是表面积为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为______．
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．近日埃隆·马斯克旗下的脑机接口公司官宣，已经获得批准启动首次人体临床试验，我国脑机接口技术起步晚，发展迅猛，2014年，浙江大学团队在人脑内植入皮层脑电微电极，实现“意念”控制机械手完成高难度的"石头、剪刀、布”手指运动，创造了当时的国内第一，达到国际同等水平，目前，较为主流的分类方式将脑机接口分为侵入式和非侵入式，侵入式由于需要道德伦理审查，目前无法大面积实验，大多数研究公司采用非侵入式，即通过外部头罩和脑电波影响大脑，主要应用于医疗行业，如戒烟未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值．为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中
（1）根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由）
（2）根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1）
附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，点在棱上，平面.
(1)试确定点的位置，并说明理由；
(2)是否存在实数，使三棱锥体积为，若存在，请求出具体值，若不存在，请说明理由.
19. 已知函数.
（1）若是函数的极值点，求a的值；
（2）求函数单调区间.
20. 已知椭圆：的离心率为．
（1）求的方程；
（2）过的右焦点的直线与交于，两点，与直线交于点，且，求的斜率．
21. 已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列：
①；
②对于，使得的正整数对有个.
（1）写出所有4的1增数列；
（2）当时，若存在的6增数列，求的最小值.
（二）选考题：共10分.请者生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所写的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）已知点，若直线与曲线交于A，两点，求的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23已知均为正数，函数的最小值为3．
（1）求的最小值；
（2）求证：．
2024高考压轴卷 全国乙卷
文科数学答案
【答案】A
【解析】由题意知，所以．故选A．
2【答案】A
【解析】由题意，
故选：A.
3【答案】B
【解析】由不能推出，如满足，
但无意义，故“”不是“”的充分条件；
再由可得，即得，故“”是“”的必要条件.
即“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【答案】C
【解析】三点共线，设，则，又，所以，所以.故选C.
【答案】C
【解析】如图，不等式组表示的平面区域为及其内部，其中，所以，设直线与直线分别交于点，所以满足的平面区域为四边形及其内部，，所以满足的概率为．故选C．
6【答案】C
【解析】当时，，
因为的值域是，又在上单调递减，
所以.
故选：C.
7.【答案】B
【解析】设等比数列的公比为．若，当时，，但是，所以“”不是“”的充分条件；
若，则，所以，所以“”是“”的必要条件．综上，“”是“”的必要不充分条件．故选B．
8【答案】D
【解析】对于A,因为的周期为，的周期为，所以的周期为，故A错误；
对于B,因为函数的最大值为1,的最大值为，
故两个函数同时取最大值时，的最大值为，
此时需满足且，不能同时成立，
故最大值不能同时取到，故的最大值不为，则B错误；
对于C，，则，
故的图象不关于点对称，C错误；
对于D,因为时，，又，
所以或者；或者，此时，又，
所以，综上可知，在区间上有2个零点，故D正确，
故选：D.
9【答案】C
【解析】设，则，，
则，即，
化为，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆，
又，所以三点共线，
显然当直线与此圆相切时，的值最大.
又,
则,
则.
故选：C.
【答案】D
【解析】如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，易知点都在截面内，且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为的正六边形，所求面积.故选D.
11【答案】A
【解析】若，且是定义域为的奇函数，故，
则，，变形得，
可得周期为，则，故A正确.
故选：A
12【答案】A
【解析】
设，则，而，所以，
所以点到的距离为，
又，所以，
解得，即，从而，
又因为，
所以，
在中，由余弦定理有，
所以，即，
解得，双曲线C的渐近线方程为.
故选：A.
13【答案】
【解析】依题可知，
则，
故答案为：.
14【答案】
【解析】因，由余弦定理，，化简得，
因，，故.
故答案为：.
15【答案】2
【解析】奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0.所以最值之和为0.则+1的最值之和为2.故答案为2.
【答案】
【解析】设球的半径为外接圆的半径为，在中，，则由余弦定理得，即，所以，所以．因为球的表面积为，则，解得，所以球心到平面的距离，即三棱锥的高为，又，所以三棱锥的体积．
17．解：（1）选择模型②．
（2）根据模型②，令与可用线性回归来拟合，有．
则，
所以，
则关于的经验回归方程为．
所以关于的经验回归方程为．
由题意，，解得，又为整数，所以．
所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人．
18【答案】(1)点是的中点，理由见解析
(2)存在，使三棱锥体积为
【分析】
（1）连接，交于点，连结，根据线面平行的性质定理，证出，再结合是的中点，判断出点是的中点，可得答案；（2）若三棱锥体积为，则可推出三棱锥的体积为，进而利用棱锥的体积公式与底面，列式算出实数的值，即可得到答案.
【解析】（1）点是的中点，理由如下：
连接，交于点，连结，
底面是正方形，、相交于点，
是的中点，
平面，含于平面，平面平面，
， 中，是的中点，
是的中点.
（2）为中点，
.
若，则
底面，，

，解得.
存在，使三棱锥体积为.
19【答案】（1）1 （2）单调减区间为，单调增区间为
【分析】（1）由是函数的极值点，，求解验证即可；
（2）利用导函数求解函数的单调区间即可.
【小问1详解】
函数定义域为，，
因为是函数的极值点，
所以，解得或，
因为，所以.此时，
令得，令得，
∴在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点.
所以.
【小问2详解】
.
因为，所以，令得；令得；
∴函数的单调减区间为，单调增区间为.
20【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由离心率公式求出即可；
（2）首先计算直线的斜率为时不符合题意，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，表示出，再求出点坐标，即可得到，从而得到方程，求出即可.
【小问1详解】
因为椭圆：的离心率为，
所以，解得，
所以椭圆方程为.
【小问2详解】
由（1）可得，
当直线的斜率为时，则，，，
所以，，显然不满足，故舍去；
依题意直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，，，
由，消去整理得，
显然，则，，
所以
，
又解得，所以，
所以，
因为，所以，解得，
综上可得的斜率为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21【答案】（1）所有4的1增数列有数列和数列1，3
（2）7
【分析】（1）利用给定的新定义，求出所有符合条件的数列即可.
（2）运用给定的新定义，分类讨论求出结果即可.
【小问1详解】
由题意得，则或，
故所有4的1增数列有数列和数列1，3.
【小问2详解】
当时，因为存在的6增数列，
所以数列的各项中必有不同的项，所以且，
若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，
所以，不符合题意，所以
若，满足要求的数列中有三项为1，两项为2，符合的6增数列.
所以，当时，若存在的6增数列，的最小值为7.
22【答案】（1）C：，直线l：
（2）
【分析】（1）用消参数法化参数方程为普通方程，由公式化极坐标方程为直角坐标方程；
（2）化直线方程为点的标准参数方程，代入抛物线方程利用参数几何意义结合韦达定理求解．
【小问1详解】
曲线C的参数方程为（为参数，），
所以，所以即曲线C的普通方程为．
直线l的极坐标方程为，则，
转换为直角坐标方程为．
【小问2详解】
直线l过点，直线l的参数方程为（t为参数）令点A，B对应的参数分别为，，
由代入，得，则，，即t1、t2为负，
故．
23．（1）解：，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9．
（2）证明：因为，
同理，，
所以
．
7.5
2.25
82.50
4.50
12.14
2.88