新疆维吾尔自治区阿克苏地区拜城县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数的性质进行求解，即可得到答案．
【详解】解：依题意得：x+2⩾0，
解得：x≥-2.
故选：B.
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数的性质.
2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可得．
【详解】解：A. ，不是最简二次根式；
B. 是最简二次根式；
C. ，不是最简二次根式；
D. ，不是最简二次根式；
故选：B．
【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义，掌握（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式，是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算和性质；
根据二次根式的运算法则和性质逐项判断即可．
【详解】解：A.，原式错误；
B.，原式错误；
C.，正确；
D.，原式错误；
故选：C．
4. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ）
A. 2，4，8B. 4，8，10C. 6，8，10D. 8，10，12
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形三边关系四条木棒的组合有：4，6，8；4，8，10；4，10，12；6，8，10；6，8，12；6，10，12；8，10，12．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
【详解】根据题意，四条木棒的组合有：4，6，8；4，8，10；4，10，12；6，8，10；6，8，12；6，10，12；8，10，12．
而只有：62+82=102，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形．故这根木棒的长度分别为6，8，10．
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理．
5. 已知直角三角形两条直角边分别是3和4，则它斜边上的中线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】解：由勾股定理得，斜边=，
所以，斜边上中线长=，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，是基础题，熟记性质是解题的关键．
6. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线相等B. 对角线互相平分C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分且相等
【答案】B
【解析】
【分析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
【详解】解：平行四边形对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选B．
【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．
7. 如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（ ）
A. 6米B. 8米C. 10米D. 12米
【答案】C
【解析】
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图，过C点作CE⊥AB于E，连接AC，
由题意得：EB＝7m，EC＝6m，AE＝AB﹣EB＝15﹣7＝8m，
在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m，
故小鸟至少飞行10m．
故选：C．
【点睛】本题主要考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
8. 如图，甲、乙二人给出了条件来证明四边形为平行四边形，下列判断正确的是( )
甲：，；乙：
A. 甲可以，乙不可以B. 甲不可以，乙可以
C. 两人都可以D. 两人都不可以
【答案】B
【解析】
【分析】甲可以按照举例子来判断，乙根据对角相等来判断即可．
【详解】解：，，四边形为平行四边形，也可能是等腰梯形，故甲不可以．
，
，，
符合两组对角分别相等的四边形是平行四边形的判定定理，所以乙可以．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是解题关键．
9. 如图，在中，，则的长为（ ）
A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，可得，又由，根据勾股定理，即可求得的长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴
∵，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及勾股定理解三角形．熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，对边相等，是解题的关键．
10. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和=大正方形面积推导完全平方公式可判断D．
【详解】解：A、∵两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积，
∴ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积，
∴4×ab+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积，
∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、∵四个小图形面积和=大正方形面积，
∴ab+ b2+ a2+ ab=（a+b）2，
∴a2+ 2ab +b2=（a+b）2，
根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公式是解题关键．
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 化简：____________________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了分母有理化，把分子分母都乘以即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 计算：（ +1）（﹣1）=________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：（ +1）（﹣1）
=（）2﹣12
=2﹣1
=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、平方差公式，熟记平方差公式是解答的关键．
13. 如图，□ABCD的一个外角∠CBE是70°，则∠D的大小是____．
【答案】110°
【解析】
【分析】通过邻角互补得：，又平行四边形对角相等即可得出∠D的大小．
【详解】解：□ABCD的一个外角∠CBE是70°
又□ABCD
故答案为：．
【点睛】本题考查邻角互补及平行四边形对角相等，属于基础题型．
14. 如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为(0，0)，(5，0)，(3，2)，则顶点C的坐标是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由A、B坐标可求得AB的长，设出C点坐标，根据平行四边形的一组对边平行且相等，可分别求得C点坐标．
【详解】解：∵A，B的坐标分别是，，
∴AB= 5，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，且，
∵，
∴可设C点坐标为(x, 2)，
∴，
解得x= 8或x= -2(不合题意舍去)，
∴C点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及坐标和图形，掌握平行四边形的一组对边分别平行且相等是解题的关键．
15. 测得一块三角形花园三边长分别为5米，12米，13米，则这块花园的面积为_____平方米．
【答案】30
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可判断三角形花园是直角三角形，且5米，12米，是两条直角边，由此可求解．
【详解】解：∵，
∴三角形花园是直角三角形，且5米，12米是两条直角边，
∴这块花园的面积为平方米，
故答案为：30．
16. 如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC与E、O，连接CE，则CE的长为_____．
【答案】2.5
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
设CE=x，则ED=AD-AE=4-x，
在Rt△CDE中，，
即，
解得x=2.5，
即CE的长为2.5，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．
三、解答题（共52分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先将每项化成最简二次根式，再加减，即可解答；
（2）利用完全平方公式展开，再加减，即可解答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 已知a＝2＋，b＝2－．求a2b＋ab2的值．
【答案】4
【解析】
【分析】先计算出a+b，ab，把a2b＋ab2变形为ab（a+b），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵a＝2＋，b＝2－，
∴ab==1，a+b=4，
∴a2b+ab2
=ab（a+b），
=1×4
=4．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，注意：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了整体代入的方法．
19. 如图，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴的负半轴上，且．
（1）写出点B坐标；
（2）求长．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和坐标与图形的性质，根据点的坐标求得、两线段的长度的解题的关键．
（1）根据的长度求得点的坐标；
（2）如图，过点作于点，在直角中，利用勾股定理求得的长度．
【小问1详解】
解： 点在的负半轴上，且，
点的坐标是；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，
点，
，．
在直角中，由勾股定理得：．
即．
20. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点都在格点上．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）连接AC，试判断△ACD的形状，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）直角三角形，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）把线段AB、BC、CD、AD，放在一个直角三角形中利用勾股定理计算，即可求出四边形ABCD的周长；
（2）由（1）可知AD，DC的长，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形．
【详解】解：（1）由题意可知AB==3，AD==，DC==2，BC==，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=+3+3；
（2）△ACD是直角三角形，理由如下：
如图,
​
∵AD=，DC=2，AC=5，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ACD是直角三角形．
【点睛】此题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理运用，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
21. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，．求证：．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，得，从而可证，于是得证四边形是平行四边形，所以．
【详解】解：∵在平行四边形中，且，
又∵
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定；掌握相关性质和判定定理是解题的关键．
22. 如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和．
（1）求两条小路和的长．（结果保留根号）
（2）花坛的面积．（结果保留根号）
【答案】（1）两条小路的长为，的长为m
（2）花坛的面积为
【解析】
【分析】（1）由菱形的性质和得出是直角等腰三角形，进而得出，的长．
（2）由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．
【小问1详解】
解：花坛的形状是菱形，
，
，
在中， ，，
花坛的两条小路长为 ，
，
答：两条小路的长为，的长为m．
【小问2详解】
花坛的面积：，


答：花坛的面积为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形，勾股定理，菱形面积的计算，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
23. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
【性质应用】如图2，在中，对角线相交于点，过点且与边分别相交于点．
求证：．
【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连结．若，的周长是，则的周长是________．
【答案】【教材呈现】：见解析；【性质应用】：见解析；【拓展提升】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；
[教材呈现]由平行四边形的性质得出，，则，，再由证得，即可得出结论；
[性质应用]由平行四边形的性质得出，，则，，再由证得，即可得出结论；
[拓展提升]由，得出，，证是等腰三角形，得出，则+BF，推出的周长，再由平行四边形的性质即可得出结果．
【详解】[教材呈现]证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
，
，；
性质应用证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，，
；
[拓展提升]解：如图2，，
，，
，
是等腰三角形，
，
，
的周长，
四边形是平行四边形，
，，
▱的周长，
故答案为：．平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分．
我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图1，的对角线和相交于点．
求证：．