2023年云南省学业水平考试中考数学压轴模拟预测题（二）（原卷版+解析版）

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（全卷三个大题，共24个小题，满分：100分，考试时间：120分钟）
一、单选题（本大题共12个小题，每个小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1. 2023的相反数是（ ）
A. 2023B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：2023的相反数是，
故选：B．
2. 小明做如图所示教材中的部分练习题，结果如下：

第1题：；
第2题： ．
两个数据用科学记数法表示的结果（ ）
A. 都正确B. 都不正确
C. 第一题正确，第二题不正确D. 第一题不正确，第二题正确
【答案】B
【解析】
【分析】分别用绝对值大于1和绝对值小于1的科学记数法表示两数，然后判断即可．
【详解】解：，故第一题错误，
，故第二题错误．
故选：B
【点睛】本题考查了科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式．
3. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，，，即可．
【详解】∵和不是同类项，
∴，
故A错误，不符合题意；
∵，
∴，
故B正确，符合题意；
∵，
∴，
故C错误，不符合题意；
∵，
∴，
故D错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握幂的运算，乘法公式．
4. 如图所示的几何体的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了物体的三视图，根据从正面看到的平面图形即可求解，掌握物体三视图的画法是解题的关键．
【详解】解：几何体从正面看到的平面图形为：

故选：．
5. 已知反比例函数的图象在一、三象限，则化简代数式得（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据反比例函数的性质得出，可知，再根据即可得出结果．
【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴，即：，
则，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，还考考查了利用二次根式的性质化简．
6. 如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质由可得，根据作图痕迹可知是边的垂直平分线，进而可得，， 利用三角形外角的定义和性质可得．
【详解】解：观察图中尺规作图的痕迹可知，是边的垂直平分线．
∵，，
∴．
∵是边的垂直平分线，
∴，
∴．
∵，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质，垂直平分线的作法及性质，解题的关键是根据作图痕迹判断出是边的垂直平分线．
7. 已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的侧面积和侧面展开图圆心角的度数为（ ）．

A. 和B. 和C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图可知该几何体是圆锥，然后根据圆锥的底面圆周长是展开图扇形的弧长求出圆心角度数，进而求出侧面积即可．
【详解】解：由题意得该几何体是圆锥，且底面圆直径为，高为，
∴底面圆半径为，
∴母线长为，
设展开图圆心角度数为，
∴，
∴，
∴侧面积为，
故选B．
【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，求圆锥的侧面积和侧面展开图扇形圆心角度数，灵活运用所学知识是解题的关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点O，已知点，，，则点的坐标为( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，，求出的长度，结合位似，得到相似比，即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，
∵与位似，，
∴与的相似比为，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查位似，解题的关键是根据线段比得到位似比，再根据位似性质求解．
9. 某兴趣小组为了了解某小区20～60岁居民最喜欢的支付方式，随机抽取了部分居民进行问卷调查，并将调查数据整理后绘制成如下统计图（不完整）．根据图中信息，下列说法错误的是（ ）

A. 本次抽样调查的样本容量是500
B. 扇形统计图中B微信支付占35%
C. 41～60岁的人中最喜欢现金支付的人数为75
D. 喜欢C、D两种支付方式中41～60岁的人比20～40岁的人多55人
【答案】C
【解析】
【分析】通过对条形统计图与扇形统计图的理解，分析数据得出结论．
【详解】解：参与调查的总人数为，即样本容量为500，A选项正确；
扇形统计图，B选项正确；
41～60岁的人中最喜欢现金支付的人数为，C选项错误；
喜欢C、D两种支付方式中41～60岁的人比20～40岁的人多人，D正确．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的知识，其中对数据分析的准确性是解决问题的关键．
10. 如图，是正五边形的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据正多边形的性质求出，进而求出，，再解直角三角形即可得到答案．
【详解】解：是正五边形外接圆，
，
∵，
，，
∴，即，故B不符合题意；D符合题意；
，即，故C不符合题意；
，即，故A不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接正五边形、解直角三角形的知识，掌握圆内接正五边形的性质，并求出中心角的度数是解题的关键．
11. 甲、乙两个工程队共同承担了全长5100米的公路改造任务，乙队每天的工作效率是甲队的倍，甲队先单独工作2天后，再与乙队共同完成剩余的工作，其中乙队一共完成了2400米的公路改造任务．设甲队每天能改造米公路，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列出分式方程求解即可．
【详解】解：根据题意，得：，
变形：．
故选：B．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准题目中的等量关系．
12. 如图，在中，，以B为圆心，为半径画弧交于D，分别以A，D为圆心，大于为半径画弧交于点E，连接交于F，，则的长为（ ）

A. B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】过点F作于M，交的延长线于N，根据全等三角形的判定和性质得出，再由角平分线的性质得出，根据三角形等面积法得出，再由各角之间的关系及等角对等边得出，即可求解．
【详解】解：如图，过点F作于M，交的延长线于N，

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质及等腰三角形的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
二、填空题（共4题，每天2分）
13. 因式分解：___________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因数，再利用平方差公式分解因式即可．
详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
14. 在中，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，由定义推出互余两角的三角函数的关系：若，则是解题关键．
15. 观察下列数据：，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第25个数据是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】将数据改写为：，，，，，……看出规律：第奇数个数是负数，偶数个数是正数，第几个数分母就是几，分子是分母的平方加1，由规律可写出第25个数．
【详解】由规律可知，第25个数是负数，分母为25，分子为，所以第25个数为，
故答案为．
【点睛】本题考查数字规律问题，将原数据进行改写，找出符号和数字的规律是关键．
16. 如图，在中，点在上，且平分，交于点，若，则__________．

【答案】##
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出，则，根据平分，可得，从而得出，则，根据，得出，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴
∴，
∴
∵
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题(共56分，8个小题)
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊三角函数值、零次幂、立方根及二次根式的运算可进行求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂、立方根及二次根式的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键．
18. 如图，在中，点是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点，，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：

请回答下列问题：
（1）以上方案能得到四边形为平行四边形的是______，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由；
（2）若，，求的面积
【答案】（1）甲方案和乙方案；证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合平行四边形的判定和全等三角形的性质与判定证明即可，甲方案：两条对角线相互平分的四边形为平行四边形；乙方案：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；
（2）根据，结合四边形为平行四边形的性质可得到，，即，已知，可求得，故．
【小问1详解】
甲方案和乙方案；
证明：甲方案：如图，连接，

∵在中，点是对角线的中点，
∴，，
∵，分别为，的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形；
乙方案：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形；
【小问2详解】
∵四边形和四边形都为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
答：的面积为．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定等知识点，熟练地掌握平行四边形的判定方法和性质是解题的关键．
19. 某校积极响应推进“文明城市建设”的工作，培养学生的环保意识．为了解学生对环保知识的掌握情况，该校随机抽取了一个班的学生，对他们进行了垃圾分类了解程度的调查（A类表示不了解，B类表示了解很少，C类表示基本了解，D类表示非常了解）．根据调查的结果绘制了如下两幅不完整的统计图：

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）该班的学生共有________名；在扇形统计图中A类所对的扇形圆心角的度数为_______；
（2）请补全条形统计图．
（3）根据统计结果，请估计全校1200名学生中对垃圾分类不了解的学生人数．
（4）从D类的10人中选5人，其中2人善于语言表达，3人善于动作表演．现从这5人中随机抽取2人参加班级举行的“文明践行从我做起”主题班会的“双簧”表演，请用列表或画树状图的方法求出所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演的概率．
【答案】（1）；
（2）作图见解析 （3）人
（4）
【解析】
【分析】（1）根据C类所对应的圆心角可得C类所占百分比，再根据C类人数可得该班学生的人数，用乘以A类人数所占比例即可；
（2）用该班学生数减去A、C、D人数求出B类人数即可补全条形图；
（3）求出A类所占调查人数的百分比，估计为总体所占的百分比，进而求出相应的人数；
（4）通过画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴该班的学生共有：（名），
∴，
故答案为：；．
【小问2详解】
B类人数有：（人），
补全条形统计图如下：
小问3详解】
（人），
答：估计全校名学生中对垃圾分类不了解的学生人数为人．
【小问4详解】
设善于语言表达的2人分别用，表示，3人善于动作表演的3人分别用，，，画树状图如下：

从这5人中随机抽取2人共有20种等可能结果，所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演有12种结果，
∴所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演的概率为：，
答：所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合条件的结果数目，然后利用概率公式计算该事件发生的概率．也考查了条形统计图和扇形统计图．
20. 某超市销售A，B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用600元购买B款保温杯的数量与用480元购买A款保温杯的数量相同．
（1）A，B两款保温杯销售单价各是多少元？
（2）由于需求量大，A，B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯数量不少于B款保温杯数量的一半，若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为30元，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大？
【答案】（1）A款保温杯的售价为40元，B款保温杯的售价为50元
（2）进货40个A款保温杯，80个B款保温杯
【解析】
【分析】（1）设A款保温杯销售单价为x元，则B款保温杯销售单价为元，可得：，即可解得A款保温杯销售单价为40元，B款保温杯销售单价为元；
（2）由已知B款保温杯销售价为元，设购进A款保温杯m个，则购进B款保温杯个，总利润为W元，根据A款保温杯的数量不少干B款促温杯数量的一半可得，即知，又，根据一次函数性质即可得到答案．
【小问1详解】
解：设A款保温杯销售单价为x元，则B款保温杯销售单价为元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴，
答：A款保温杯销售单价为40元，B款保温杯销售单价为50元；
小问2详解】
解：由已知B款保温杯销售价为(元)，
设购进A款保温杯m个，则购进B款保温杯个，总利润为W元，
∵，且，
∴，
根据题意得：，
∵，
∴W随m的增大而减小，
∴时，W最大，最大值为，
此时1，
答：购进A款保温杯40个，购进B款保温杯80个，才能使这批保温杯的销售利润最大．
【点睛】本题考查分式方程及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系式．
21. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E，F是延长线上一点，且．

（1）求证：为的切线；
（2）连接，取的中点G，连接，若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图，连接．由，，可得，由是的直径，D是的中点，，进而可得，即可证明为的切线；
（2）如图，过G作，垂足为H．设的半径为r，则．在中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得．
【小问1详解】
解：如图所示，连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的直径，D是的中点，
∴．
∴．
∴，即．
∴．
∴为的切线．
【小问2详解】
解：解：如图，过G作，垂足为H．
设的半径为r，则．
在中，由勾股定理得，
∴，
解得．
∵，
∴．
∵，
∴．

∴．
∴．
∵G为BD中点，
∴．
∴，．
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
22. 二次函数图像交轴于两点，点为点A右侧图像上一动点，过点作轴于点．点为该函数轴上方图像上一动点（不与点重合），直线交轴于点，连接、．如图，当，轴；
（1）若，判断与的数量关系，并说明理由；
（2）若，在点、运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1），理由见解析
（2），为定值，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数与x轴交点，待定系数法求一次函数解析式，锐角的正切三角函数，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．
（1）过点D作轴于F，分别求出，，，从而求得，，，，则，，即可得出结论；
（2）由题意得，，，则，，，又因为对称轴为，即，所以，代入计算即可．
【小问1详解】
解：，理由如下：
当，时，则二次函数解析式为，，
当时， 解得：或，
∵，
∴，，
∴，
∵轴于点，
∴，
∴，
过点D作轴于F，如图，
∴，，
令，则，解得：，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，为定值，理由如下：
，为定值，理由如下：
由（1）得，，，
∴，，，
∵轴，
∴C、D关于对称轴对称，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴．
23. （1）如图1，在四边形中，，连接，则图1中与相等的角是______．

（2）如图2，已知，过点A作，且，C是射线上一动点，且．连接，过点C作的垂线，交于点D，于点E．

①在点C的运动过程中，线段的长度是否发生变化？如果不变，求出线段的长度；如果变化，请说明理由．
②在点C的运动过程中，的大小是否发生变化？如果不变，求出sin的值；如果变化，求出sin的最大值．
【答案】（1），（2）线段的长度不发生变化，；（3）的大小发生变化，
【解析】
【分析】（1）取中点F，连接，利用圆周角的性质证明即可；
（2）①作于G，连接，由（1）可得，再证明，求出的长即可；②作的外接圆，圆心为I，作于H，当点H落在上时，最大，作于K，求出此时的值即可．
【详解】（1）取中点F，连接，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴，
故答案为：．

（2）线段的长度不发生变化，；
∵，，
∴，
作于G，连接，由（1）可得，
∵，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；

（3）的大小发生变化，
作的外接圆，圆心为I，作于H，
∴，当最小时，最小，最大，此时，最大；

当点H落在上时，最小，作于K，
此时，，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题关键是恰当作出辅助线，利用圆的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形解决问题．
24. 若，是一元二次方程（，a，b，c为常数）的两个根，则，．这个定理叫做韦达定理．
如：，是方程的两个根，则、
已知：M、N是方程的两根，记；，，
（1）__________， __________；（直接写出答案）
（2）当且为整数时，猜想，，之间有何关系？并证明．并利用结论求的值．
【答案】（1）1，3；
（2），证明见解析；
【解析】
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解一元二次方程：
（1）根据根与系数的关系得到，即可得到，然后利用完全平方公式计算出即可；
（2）观察（1）的计算结果可得到；由于方程的两根为，则原式，然后根据规律可计算出，从而得到原式的值．
【小问1详解】
解：∵M、N是方程的两根，
∴，，
∴，
故答案为：1，3；
【小问2详解】
解：，证明如下：
∵M、N是方程的两根，
∴，
∴，，
∴
；
解方程得，
∴，
∵，
∴
∴，
，
，
∴，
∴原式．