江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. “，”是（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 下列是函数的单调递增区间的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，，则与平行单位向量为（ ）
A. B. 或
C. 或D.
6. 的内角A，B，C的对边是a，b，c，若的面积为，则C的大小（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，，若，线段与交于点，则（ ）
A B.
C. D.
8. 在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（ ）
A. 垂心，重心，外心，内心B. 垂心，重心，内心，外心
C. 外心，重心，垂心，内心D. 外心，垂心，重心，内心
二、多选题（每小题5分，共20分；漏选得2分，错选得0分）
9. 已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 是边长为1的等边三角形，已知向量，，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C D. 若，则
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 当时，的值域为
C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
12. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域为
B. 的图象关于点对称
C. 的图象关于直线对称
D. 在区间上的最小值为
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 样本数据5，11，6，8，14，8，10，5的分位数为______________________．
14. 设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
15. 求值：__________.
16. 已知在平面四边形中，，，，，四个内角满足，则四边形的面积为___________.
四、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，第18-22题每道题满分12分．每道题目应给出必要的解答过程）
17. 已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
18. 的内角，，所对的边分别为，，，已知，，．
（1）求；
（2）求的面积．
19. 某高校的入学面试中有4道题目，第1题2分，第2题3分，第3题4分，第4题4分，每道题目答对得满分，答错得0分，小明答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目是否答对相互独立.
（1）求小明4道题目至少答错1道题的概率；
（2）若该高校规定学生的面试分数不低于8分则面试成功，求小明面试成功的概率.
20. 已知向量，函数，
（1）求不等式的解集；
（2）若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求的取值范围．
21. 如图，在四边形中，，且 .
（1）求实数的值
（2）已知是线段上的两个动点，且，求的最小值.
22. 若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围2023-2024（下）江西省宜丰中学高一4月期中考试数学试卷
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两角差的余弦公式逆用即可求解.
【详解】由题意.
故选：C.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过计算函数定义域求出集合，计算函数值域求出集合，最后通过交集运算即可求解.
【详解】由，有，即，所以；
由令，根据二次函数的性质有，
所以，又因为，所以，；
所以.
故选：D
3. “，”是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件与必要条件的定义，结合三角函数的性质求解即可.
【详解】若，，则，充分性成立；
若，则或，，必要性不成立，
所以“，”是的充分不必要条件.
故选：A.
4. 下列是函数的单调递增区间的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的图像和函数奇偶性判断即可；
详解】
函数为偶函数，如图，结合正弦函数图像，，函数单调递增，
故选：C
5. 已知，，则与平行的单位向量为（ ）
A. B. 或
C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出，然后除以可得同向的单位向量，可得答案.
【详解】因为，，所以，
又，所以与平行的单位向量为，
即或.
故选：C
6. 的内角A，B，C的对边是a，b，c，若的面积为，则C的大小（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形面积公式以及余弦定理建立等式，即可求得的大小.
【详解】由余弦定理得：
的面积
，又
.
故选：A.
7. 在中，，若，线段与交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中线性质得出，再由平面向量线性运算即可求得结果.
【详解】如下图所示：

由可得分别为的中点，
由中线性质可得，
又，所以，
因此.
故选：B
8. 在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（ ）
A. 垂心，重心，外心，内心B. 垂心，重心，内心，外心
C. 外心，重心，垂心，内心D. 外心，垂心，重心，内心
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形垂心，重心，外心，内心的定义和性质结合平面向量的线性运算和共线定理，分别推导即可.
【详解】由，得，
即，
则，
所以，则，同理可得，，
即是三边上高的交点，则为的垂心；
由，得，
设的中点为，则，即，，三点共线，
所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上，
即是三边中线的交点，故为的重心；
由，得，即，
又是的中点，所以在的垂直平分线上，
同理可得，在，的垂直平分线上，
即是三边垂直平分线的交点，故是的外心；
延长交于点，因为，，三点共线，则设（），
且，，
代入，得，
即①，
又因为与共线，与、不共线，
则只能当且时，①成立，
即，则,
由正弦定理得：，
又，则，
即，又，所以，
则是的角平分线，即点在的角平分线上，
同理可得，在，的垂直平分线上，
即是内角平分线的交点，故是的内心；
故选：A.
二、多选题（每小题5分，共20分；漏选得2分，错选得0分）
9. 已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由平方关系，商数关系以及两角和差的余弦公式即可运算求解.
【详解】因为，，
所以，
所以，
.
故选：ABC.
10. 是边长为1的等边三角形，已知向量，，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】A．计算的结果，根据结果进行判断；
B．根据数量积定义计算的值；
C．采用先平方再开根号的方法计算出的值；
D．根据向量共线定理可设，由此求解出的值并判断.
【详解】A．因为，所以，故正确；
B．因为，故错误；
C．，故正确；
D．设，所以，所以，故错误；
故选：AC
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 当时，的值域为
C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可．
【详解】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确；
由，知，
因为，所以，所以，，即，，
又，所以，所以，
对于B，当时，，所以，
所以的值域为，故B错误；
对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；
对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确．
故选：ACD．
12. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域为
B. 的图象关于点对称
C. 的图象关于直线对称
D. 在区间上的最小值为
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A，取特殊值即可否定；对于B，代入检验即可；对于C，由辅助角公式、二倍角公式先化简函数表达式结合诱导公式即可判断；对于D，通过换元法、之间的关系即可求解判断.
详解】对于A，由题意当时，，此时无意义，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，因为，
所以，故C正确；
对于D，不妨设，
若，则，
而，
所以，
设，由复合函数单调性可知关于单调递减，
所以当且仅当，，
综上所述在区间上的最小值为，故D正确.
故选：CD.
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 样本数据5，11，6，8，14，8，10，5的分位数为______________________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据百分位数的计算规则即可求解.
【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列为5，5，6，8，8，10，11，14，
由于，故分位数为8.
故答案为：8
14. 设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
【答案】
【解析】
【详解】因为函数f(x)＝为奇函数，
经检验符合题意.
故答案为.
15. 求值：__________.
【答案】
【解析】
【分析】把前两项利用和差化积变形，进一步求解得答案．
【详解】解：
．
故答案为：．
16. 已知在平面四边形中，，，，，四个内角满足，则四边形的面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】连接，由，结合余弦定理可得角与，进而可得四边形面积.
【详解】由题意，，且，则.
在中，，
在中，，
故且，解得，
则
，
故答案为：D.
四、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，第18-22题每道题满分12分．每道题目应给出必要的解答过程）
17. 已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
（2）利用“的代换”的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
18. 的内角，，所对的边分别为，，，已知，，．
（1）求；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由余弦定理即可求出；
（2）由面积公式计算即可.
【详解】（1）∵，∴，解得（舍），，∴．
（2）∵．
19. 某高校的入学面试中有4道题目，第1题2分，第2题3分，第3题4分，第4题4分，每道题目答对得满分，答错得0分，小明答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目是否答对相互独立.
（1）求小明4道题目至少答错1道题的概率；
（2）若该高校规定学生的面试分数不低于8分则面试成功，求小明面试成功的概率.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）小明4道题目至少答错1道题的对立事件为小明4道题全部答对，根据对立事件概率和为1计算即可；
（2）分答对2题，应是第3题和第4题，答对三题或全部答对则面试成功，依次计算概率后，再相加即可.
【小问1详解】
小明同学4道题目至少答错1道题的对立事件为小明4道题全部答对，
所以小明同学4道题目至少答错1道题的概率为.
【小问2详解】
由题意得，要使得面试分数不低于8分，若只答对2题，则应是第3题和第4题；若只答对三题或全部答对，面试得分均不低于8分.
设事件A，B，C，D分别为小明答对第1，2，3，4题，
则小明面试成功的概率
.
20. 已知向量，函数，
（1）求不等式的解集；
（2）若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出并化简，再利用正弦函数性质解不等式.
（2）由（1）的结论，利用余弦定理及基本不等式求出取值范围.
【小问1详解】
由向量，得，
由，得，则，
解得，
所以不等式的解集是.
【小问2详解】
在中，由，得，由，得，
则，即，由余弦定理得，
得，
解得，当且仅当时取等号，又，即，
所以的取值范围是.
21. 如图，在四边形中，，且 .
（1）求实数的值
（2）已知是线段上的两个动点，且，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，可得，即可得，根据数量积公式，可得AD的长，分析即可得答案.
（2）如图建系，求得D点坐标，设，则，即可得坐标，根据数量积公式，结合x的范围，即可得答案.
【小问1详解】
因为，
所以，所以，
所以，
所以，又，
所以，即.
【小问2详解】
以BC为x轴正方向，过B作BC垂线为y轴，建立坐标系，如图所示，
因为，
所以，则，
设，则，
因为是线段上的两个动点，
所以，解得，
所以，
所以，
所以当x=3时，有最小值
22. 若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且．
（1）求角的大小；
（2）求取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理可将化简为，再次化简得，从而求得，从而可求解.
（2）由的外接圆半径为，从而得，从而可得，由为锐角三角形可得，再构造函数，结合对勾函数的性质从而可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
即，由正弦定理得，
显然，，所以，所以，
因为，所以．
【小问2详解】
因为外接圆的半径为，所以，所以，，
所以，
因为为锐角三角形，所以，即，即．
令，，根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，
在上单调递增，且，，，
所以，即，
所以，即取值范围为.