江西省宜春市宜丰县宜丰中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份江西省宜春市宜丰县宜丰中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、若复数为纯虚数,则( )
A.-4B.-2C.-1D.1
2、已知平面向量,满足,,,则向量与的夹角为( )
A.B.C.D.
3、已知平面向量,,若,则( )
A.B.C.D.
4、已知函数的部分图象如图,则( )
A.B.1C.D.-1
5、若角的终边经过点,且,则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
6、已知函数的图象在内有且仅有2个最低点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
7、如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,H分别是边AB,AD的中点,点F,G分别是边BC,CD上的点,且,则下列说法正确的是( )
①E,F,G,H四点共面;
②EF与GH异面;
③EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上;
④EF与GH的交点M一定在直线AC上.
A.①③B.①④C.②③D.②④
8、三内角A,B,C所对边分别是a,b,c.若,则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、如图,在长方体中,E、F、G、H分别是、、AB、AD的中点,则下列说法正确的是( )
A.点A在平面内B.
C.平面平面D.直线EH与直线FG相交
10、如图,这是四棱锥的平面展开图,其中四边形ABCD是正方形,E,F,G,H分别是PA,PD,PC,PB的中点,则在原四棱锥中,下列结论中正确的有( )
A.平面平面ABCDB.平面BDG
C.平面PBCD.平面BDG
11、在锐角三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知,若,则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
12、已知函数,则( )
A.函数的值域为
B.函数是一个偶函数,也是一个周期函数
C.直线是函数的一条对称轴
D.方程有且仅有一个实数根
三、填空题
13、如图,已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图,,斜边,则这个平面图形的周长是___________.
14、已知复数z满足,则的最大值为____________.
15、如图,已知空间四边形ABCD的四条边以及对角线的长均为2,M､N分别是BC与AD的中点,则异面直线AM和CN所成角的余弦值为________________.
16、如图,在中,,点D在线段AC上,且,则面积的最大值为_____________.
四、解答题
17、已知复数,,其中x,y为非零实数.
(1)若是实数,求的值;
(2)若,复数为纯虚数,求实数m的值;
18、已知,.
(1)求的值;
(2)求的值.
19、在中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,的面积.
(1)若,求的值;
(2)求的最大值.
20、在正方体中,M,N,E分别是AB,,的中点.
(1)证明：平面平面;
(2)求直线MN与所成角的正切值.
21、已知的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且.
(1)求A;
(2)设向量,,求的最小值.
22、已知函数.
(1)当时,求的值域;
(2)当,时,设,且关于直线对称,当时,方程恰有两个不等的实根,求实数m的取值范围;
(3)当,,时,若实数m,n,p使得对任意实数x恒成立,求的值.
参考答案
1、答案：D
解析：,
因为复数为纯虚数,
所以,
解得：.
故选：D.
2、答案：C
解析：,所以,
,而,所以.
故选：C.
3、答案：B
解析：, .
.
故选：B.
4、答案：B
解析：由题图：,且,则,可得,
则,且,
所以,,则,,不妨令,
则,故.
故选：B.
5、答案：D
解析：,,,
,,,,,,.
.
故选：D.
6、答案：D
解析：由题意
.
当时,.
在内有且仅有2个最低点,
, .
故选：D.
7、答案：B
解析：在空间四边形ABCD中,点E,H分别是边AB,AD的中点,
则,且,
点F,G分别是边BC,CD上的点,且,则,且,
因此,点E,F,G,H四点共面,①正确,②错误;
因,,即四边形是梯形,则EF与GH必相交,令交点为M,
点M在EF上,而EF在平面ACB上,则点M在平面ACB上,同理点M在平面ACD上,则点M是平面ACB与平面ACD的公共点,
而AC是平面ACB与平面ACD的交线,所以点M一定在直线AC上,④正确,③错误,
所以说法正确的命题序号是①④.
故选：B.
8、答案：A
解析：由余弦定理,又,故,
由正弦定理知：,则,
所以,而,
则且,
又,当时的最大值为.
故选：A.
9、答案：AD
解析：连接、、AF、AE,若I是的中点,连接、,

由题设,且,则为平行四边形,
所以且,
又E是中点,故且,则为平行四边形,
所以且,
综上,且,故F,,A,E共面,A正确;
由过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行,且,不可能有,B错误;
由面ABCD,面,故面面ABCD,又面ABCD,而,故平面平面,C错误;
连接BD,又G、H分别是AB、AD的中点,则且,
E、F分别是、的中点,则且,
所以,即E,F,G,H共面,且,故直线EH与直线FG相交,D正确.
故选：AD.
10、答案：ABCD
解析：由平面展开图还原四棱锥,如图所示,可知ABCD均正确.
若O为BD,AC交点,则O为BD,AC中点,
连接OG,G为PC中点,故,面BDG,面BDG,
所以平面BDG,B正确;
又F,H为PD,PB中点,则,面BDG,面BDG,
所以平面BDG,D正确;
由E,F为PA,PD中点,则,,故,
又面PBC,面PBC,故∥平面PBC,C正确;
由,面ABCD,面ABCD,则面ABCD,
同理可得面ABCD,而,EH,面EFHG,
所以平面∥平面ABCD,A正确.
故选：ABCD.
11、答案：AB
解析：由正弦定理及已知可得,
由余弦定理可得,
因为,所以,
所以.
故
.
因为,,所以,
所以
所以,所以.
因为,,所以.
故选：AB.
12、答案：ABD
解析：显然,,即函数是偶函数,
又,函数是周期函数,是它的一个周期,B正确;
当时,,的最小值为,最大值为,
即当时,的取值集合是,因是偶函数,则当时,的取值集合是,
因此,当时,的取值集合是,而是的周期,所以,的值域为,A正确;
因,,即函数图象上的点关于直线的对称点不在此函数图象上,C不正确;
因当时,恒有成立,而的值域为,方程在上无零点,
又当或时,的值与的值异号,即方程在、上都无零点,
令,,显然在单调递减,
而,,于是得存在唯一,使得,
因此,方程在上有唯一实根,则方程在上有唯一实根,又定义域为,
所以方程有且仅有一个实数根,D正确.
故选：ABD.
13、答案：
解析：,,,,,
由此可知平面图形是如图所示的,
其中,,,,
故的周长为.
故答案为：.
14、答案：
解析：设,由,可得,
则,即,
复数对应的点的轨迹是以为圆心,半径的圆,
而表示复数z对应的点到坐标原点O的距离,
所以的最大值就是.
故答案为：.
15、答案：
解析：如图：连接MD,设O为MD的中点,连接ON,OC,
则且,
所以为异面直线AM和CN所成的角（或补角）,
由题意可得,
所以,
,
在中由余弦定理可得：
,
故答案为：.
16、答案：
解析：在中,设,,
,整理得：.
又,整理得：,
,即,
,,,
,当且仅当时取等号.
所以面积的最大值为.
故答案为：.
17、答案：(1)-1;
(2);
解析：（1）为实数,
,
又x,y为非零实数,
.
（2）,
,
为纯虚数,
m的值为2.
18、答案：(1)
(2)2
解析：（1）因为,,且,
得,,,,,
从而.
（2）.
19、答案：(1);
(2).
解析：（1）的面积,有,
由余弦定理,,得,
即,
已知,由正弦定理,有,
由,
即,中, ,,则,
,令,则有,解得,
由正弦定理,.
（2）由（1）有：,A为的内角,
当时,有最大值.
20、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）连接,
N,E分别是,的中点,
且,
四边形ADNE是平行四边形,
,
又,
,
平面,平面,
平面,
M,E分别是AB,的中点,
,
,
又平面,平面,
平面,
又,ME,平面MNE,
平面平面;
（2）由（1）知,
为MN与所成角或其补角,
在中,,,
所以,
所以直线MN与所成角的正切值为.
21、答案：(1)
(2)
解析：（1）由正弦定理,得,
,即,
由余弦定理得,
, ;
（2）,又,
,
, ,
当,即,时,取最小值.
22、答案：(1);
(2);
(3).
解析：（1）由题设,,
令,则,
所以,故值域为.
（2）由题设,,又关于对称,
,
,令,
题设问题转化为在上有两个不等实根,即,解得.
（3）当,,时,则,
于是化为,
即,
所以.
由已知条件,上式对任意恒成立,必有,
若,由（1）知：,不满足（3）式,故,
由（2）知：,故或,
当时,则（1）、（3）矛盾,故,则,
由（1）、（3）知：,
综上,.