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专题07 抛物线与阿基米德三角形（模拟+真题）-2024高考数学二轮复习解析几何压轴题
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这是一份专题07 抛物线与阿基米德三角形（模拟+真题）-2024高考数学二轮复习解析几何压轴题，文件包含专题07抛物线与阿基米德三角形模拟+真题原卷版docx、专题07抛物线与阿基米德三角形模拟+真题教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共65页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题07 抛物线与阿基米德三角形
1．（2024·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，且抛物线过点，过点的直线与抛物线交于两点，分别为两点在抛物线准线上的投影，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．线段长度的最小值为2B．的形状为锐角三角形
C．三点共线D．的坐标不可能为
【答案】C
【分析】根据抛物线的性质可判断A；根据抛物线的定义和平行线的性质判断B；设直线和点A、B的坐标，联立抛物线方程，结合韦达定理和三点共线经过任意两点的直线斜率相等，判断C；设的中点为，则，，取求出可判断D.
【详解】对于A，因为抛物线过点，所以抛物线的方程为，线段长度的最小值为通径，所以A错误；
对于B，由定义知，轴，所以，
同理，所以，所以B错误；
对于C，设直线，与抛物线方程联立，得，
设，，则，，
因为，所以，三点共线，所以C正确；
对于D，设的中点为，则，，
取，可得，所以D错误．
故选：C.
2．（2023·福建三明·统考三模）设抛物线焦点为，准线与对称轴交于点，过的直线交抛物线于，两点，对称轴上一点满足，若的面积为，则到抛物线准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为，设过点的直线方程为，，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合得到，解得，根据相似得到，从而列出方程，求出，再考虑焦点在轴上，同理可得到，求出答案．
【详解】假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为，
由题意得，，
若过点的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，
设过点的直线方程为，，
与抛物线联立得，
设，
则，
因为，设，
则，即，
将代入中得，，
如图所示，可知，，
因为∽，所以，故，
即，解得，
则到抛物线准线的距离为，
假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为
同理可得，故到抛物线准线的距离为，
综上，到抛物线准线的距离为.
故选：B
3．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知抛物线的焦点为 ，准线为，为上一点，，垂足为，与轴交点为，若，且的面积为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线定义，结合图形特征，用p表示三角形面积列式可求抛物线方程．
【详解】由抛物线定义知，所以为等边三角形，为的中点，
所以，，
的面积，所以的方程为.
故选：A.
4．（2022·河南平顶山·长葛市第一高级中学校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线（不与x轴垂直）交抛物线于A，B两点，以AB为直径作圆Q，过点引圆Q的两条切线，切点为P，S，若∠PMS＝90°，则直线AB的斜率为（ ）
A．1B．－2C．1或D．1或－2
【答案】C
【分析】根据抛物线定义得到圆Q与准线相切，从而求出MQ的斜率和方程为，设出直线AB的方程，利用韦达定理得到AB的中点坐标，代入方程中，求出直线AB的斜率．
【详解】如图，分别作，垂直准线于，，作QT垂直准线于T，连接SQ，
则，故圆Q与准线相切，故T与P重合．
因为∠PMS＝90°，故轴，又MS，MT为圆Q的切线，故MQ平分∠TMS，
故MQ的斜率为－1，则直线MQ的方程为．
设，直线AB的方程为，，代入，整理得，
故，．
代入为，解得：m＝1或m＝－2，故或
故选：C．
5．（2022·四川遂宁·统考模拟预测）已知F是抛物线C：的焦点，过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，直线l与抛物线的准线交于点M，若，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】过点作准线的垂线交于点，则，过点作准线的垂线交于点，则，利用三角形相似即可求解．
【详解】解：如图，过点作准线的垂线交于点，由抛物线的定义有，过点作准线的垂线交于点，则，
，，
根据，可得，
．，即，
，
故选：B．
6、已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与交于A，B两点，C在A处的切线与C的准线交于P点，连接BP．若|PF|＝3，则的最小值为_____
【答案】
如图，则有PF⊥AB，PA⊥PB，
所以
当且仅当时取等
7、（多选）过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），M为线段AB的中点．M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为4B．
C． △NAB面积的最小值为6D． 若直线AB的斜率为，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】设直线AB方程为 , ，根据弦长公式表示出，可判断A;求出点N的坐标，根据斜率之间的关系，可判断B;表示出点点N到直线AB的距离，继而求得，可判断C; 直线AB的斜率为，结合可求得，即可判断D.
【详解】由题意知 ,设直线AB方程为 , ，
联立 ，可得 ， ，
故，
则，
故当 时，的最小值为4，故A正确；
又 ，即M点纵坐标为2m,故 ，
当时，轴，NF在x轴上，此时 ;
当时, ， ，故，
综合可知，,故B正确；
又点N到直线AB的距离为 ，
故 ，当 时，取最小值4，故C错误；
若直线AB的斜率为，则直线AB方程为，即 ，
则，
由于A在第一象限，故解得 ，
故 ，由于同向，故，故D正确
8、已知是抛物线：的焦点，点，过点的直线与交于，两点，是线段的中点．若，则直线的斜率 ．
【答案】2
【解答】因为AM=BM=PM，所以∠APB=90°，故P在准线上，且PM⊥准线，PF⊥⊥AB
故
【常规法分析】方法一：设直线：，设，，联立直线与抛物线的方程求出，由可得，将韦达定理代入化简即可得出答案；方法二：设，，在准线上的射影分别是，，，由题意可得出轴，设，，：，联立直线与抛物线的方程可得，解方程即可得出答案．
【常规法详解】方法一：由题意，，设直线：，其中，
联立消去得，，
设，，则，，
又，则，即，
而，，
则，
即，
即，
所以，解得，所
以.
方法二：如下图，由题意，，点在准线上，
设，，在准线上的射影分别是，，，
则，
所以轴，
设，，：，
联立消去得，
所以，所以，
9、（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与交于、两点，且，，若过点、分别作的两条切线交于点，则下列各选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．以为直径的圆过点
【答案】ACD
【简证】第一步：由性质一可得AR∥y轴，故A点横坐标为4
第二步：由性质2可得:点所在直线为，故A正确
，故B错；而A点在准线上，可得C对，D对
附：【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线．若焦点在y轴上的抛物线，则轨迹方程为
【详解】抛物线的焦点到准线的距离为，所以，抛物线的方程为，
设、，由可知为的中点，
所以，且，，
由可得，
所以，直线的斜率为，则直线的方程为，可得，
联立可得，所以，，
对函数求导可得，
所以，切线的方程为，即，
同理可知，切线的方程为，
联立可得，即点，
易知抛物线的焦点为，所以，，A对；
因为直线过点，所以，，B错；
因为，，所以，，所以，故C正确；
因为，且为的中点，所以，，
因此，以为直径的圆过点，故D正确．
10、（多选）已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．抛物线的准线方程为B．直线一定过抛物线的焦点
C．线段长的最小值为D．
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的焦点坐标和准线方程，结合一元二次方程根的判别式进行判断A、B、D；联立直线与抛物线方程，根据韦达定理,结合弦长公式即可判断C.
【详解】由抛物线可知，焦点坐标为，准线方程为，故选项A正确；
设，显然直线存在斜率且不为零，设为，方程为，
与抛物线方程联立，得，
因为是该抛物线的切线，所以，即，
且的纵坐标为：，代入抛物线方程中可得的横坐标为：，
设直线存在斜率且不为零，设为，
同理可得：，且的纵坐标为：，横坐标为，
显然、是方程的两个不等实根，所以，
因为，
所以，因此选项D正确；
由上可知：的斜率为，
直线的方程为：，即，
又，所以，
所以，即，
所以直线AB一定过，显然该点不是抛物线的焦点，因此选项B不正确，
由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，
由得，所以，，
所以
，当且仅当时等号成立，故选项C正确；
故选：ACD
11、已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是圆（）与的一个交点，若的内切圆的半径为a，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】由双曲线定义和得到方程组，求出，再由内切圆半径，利用面积列出方程，得到齐次方程，求出离心率．
【详解】由题意知，所，
又因为，与联立，得，，
所以，
又因为，
所以，即，
所以，即，
所以，所以．
12、已知双曲线的左，右焦点分别为，，点与抛物线的焦点重合，点P为与的一个交点，若△的内切圆圆心的横坐标为4，的准线与交于A，B两点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，由题设知且求得，再由内切圆中切线长性质及双曲线定义、性质确定与的切点的位置，进而求离心率．
【详解】由题设，又点与抛物线的焦点重合，即，
由，则，故，即，
如下图示，内切圆与△各边的切点为，
所以，又，
则，
所以为双曲线右顶点，又△的内切圆圆心的横坐标为4，即，
故，则，所以离心率为.
13、过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于两点，的内切圆分别切直线于点，内切圆的圆心为，半径为，则（ ）
A．切点与右焦点重合B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用切线长定理及双曲线的定义可判定A、B，利用内切圆的性质及双曲线的定义可判定C，利用三角恒等变换计算可判定D.
【详解】对于A，由切线长定理可知：，
则，，
故①，
又②，
①②得，
得，
即，
故点与点重合，正确；
对于B，，B错误；
对于C，根据三角形内切圆的性质可得，
即，
故C正确；
对于D，令，则结合A、B选项可得：，
∴．故D正确．
14、（2024·广东中山·中山纪念中学校考二模）（多选题）已知抛物线的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为，的中点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．若F恰好为的中点，则直线的斜率为
D．直线过定点
【答案】ABD
【分析】设直线的方程、，，联立抛物线方程，利用韦达定理表示、，结合弦长公式计算即可判断A；利用中点坐标公式表示出点P、Q坐标，结合平面向量的数量积坐标表示和基本不等式即可判断B；由中点坐标公式可得，进而求得，结合两点表示斜率公式计算即可判断C；根据直线的点斜式方程表示直线PQ方程，即可求出直线恒过的定点，进而判断D.
【详解】A：设直线的方程为，，，
联立方程组得，则，，
所以，同理可得，
所以，故A正确；
B：由选项A知，，
因为P分别为的中点，所以，同理可得，
所以，当且仅当时，等号成立，故B正确．
C：，若F为的中点，则．因为，
所以．所以，故，
所以，故C错误．
D：当直线的斜率存在时，，所以直线的方程为，
整理得，所以直线过定点；
当直线的斜率不存在时，，直线的方程为，过点，
所以直线过定点．故D正确．
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解．
15．（2024·吉林白山·统考一模）（多选题）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若为的准线上任意一点，则（ ）
A．直线若的斜率为，则B．的取值范围为
C．D．的余弦有最小值为
【答案】BCD
【分析】对于抛物线的焦点弦相关问题，首先要熟悉一些二级结论，如A项，若记得焦点弦关于倾斜角的弦长公式则可以秒杀；B项熟悉“以焦点弦为直径的圆与准线相切”则可以迅速判断结论；而对于C,D两个选项，则需要将直线与抛物线方程联立，借助于韦达定理进行计算推理才可得到．
【详解】对于A选项，由题知，的斜率为，则，
代入整理得：，
设，则而；故A项错误；
对于B选项，∵以焦点弦为直径的圆与准线相切，为的准线上任意一点，
则点在以为直径的圆上或圆外，
∴，
当在直线上时，，即的取值范围为，故B项正确；
对于C选项，设，，，
设，联立,消元得：，
则 故，故C项正确；
对于D选项，
，
即的余弦的最小值为，故D项正确．
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：本题主要考查抛物线的焦点弦的相关问题．
解决过焦点的直线与抛物线相交的相关问题，一般需要二级结论和常规方法相结合，如焦半径，焦点弦的长度公式，以焦半径为直径的圆与轴相切，以焦点弦为半径的圆与准线相切等结论需要熟悉，另外在选设直线方程时，常设成的形式便于计算解题，在代换字母时，常常通过抛物线方程代换计算较易．
16．（2023·广东广州·统考三模）（多选题）已知，是抛物线上不同于原点O的两点，点F是抛物线C的焦点，点M是线段的中点，则（ ）．
A．C的准线为
B．当直线的斜率k存在时，
C．当A，B，F三点共线时，
D．当直线过点时，
【答案】BCD
【分析】由抛物线方程求其准线方程判断A，由点差法判断B，根据抛物线定义判断C，根据设而不求法判断D.
【详解】抛物线的准线方程为，A错误；
因为点，在抛物线上，
所以，
所以，
若直线的斜率k存在，则，B正确；
当A，B，F三点共线时，，C正确；
若直线过点时且斜率为，则其方程为，
直线与抛物线只有一交点，与条件矛盾，
所以设直线的方程为，
联立，消可得，
方程的判别式，
所以，
设点的坐标为，，，
所以，
，
所以，
所以，D正确；
故选：BCD
17．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）（多选题）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于、两点，为线段中点，、、分别为、、在上的射影，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．的坐标为B．
C．、、、四点共圆D．直线的方程为
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的方程求出点的坐标，可判断A选项；根据抛物线的定义以及数形结合求出直线的方程，可判断D选项；利用斜率关系判断出，可判断C选项；求出、，可判断B选项．
【详解】对于A选项，抛物线的焦点为，A错；
对于D选项，当点在第一象限，过点作垂直于，为垂足，如图所示，
设，则，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，，
则，
设直线的倾斜角为，则为锐角，且，则，
此时，直线的方程为，
当点在第二象限时，同理可知，直线的方程为，
综上所述，直线的方程为，D对；
对于B选项，不妨设点在第一象限，则直线的方程为，
设点、，联立，可得，
，由韦达定理可得，，
设点，则，故点，
所以，直线的斜率为，
而直线的斜率为，所以，，故，
又因为，故、、、四点共圆，
同理可知，当点在第二象限时，、、、四点共圆，
综上所述，故、、、四点共圆，C对；
对于B选项，，
，B对．
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用：
（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；
（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
18．（2023·重庆·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线交x轴于点D，过点F作倾斜角为（为锐角）的直线交抛物线于A，B两点，如图，把平面沿x轴折起，使平面平面，则三棱锥体积为 ；若，则异面直线，所成角的余弦值取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线焦点弦的性质可得，，进而根据面面垂直即可求三棱锥的高，进而利用体积公式即可求解，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角就可求解异面直线的夹角．
【详解】
过作准线，垂足为,
在中，，又 ， 同理可得，
过作于,由于平面平面，且交线为，平面 ,所以平面,且，
故三棱锥的体积为，
，
且， ，所以建立如图所示的空间直角坐标系，， 即，,
所以 ，
当时，，
所以，
由于为锐角，所以异面直线，所成角的角等于，故异面直线，所成角的余弦值取值范围为
故答案为：，
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用
19．（2023·陕西榆林·统考二模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线：（）焦点为，准线为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点（点在抛物线内）射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，且经过点，若直线与抛物线的准线交于点，则直线的斜率为 ；若，且平分，则 .
【答案】 0 2
【分析】①设直线的方程，与抛物线方程联立得出韦达定理，求出的坐标，写出直线的方程，求出点的坐标，得到直线的斜率；
②由平分推导角的关系得出，即，根据弦长公式写出方程，求出结果．
【详解】依题意直线过抛物线的焦点．设直线的方程为，，，
联立方程组得，则，．
因为，所以，．
因为直线的方程为，
所以直线与抛物线的准线的交点为，
所以直线的斜率为0．
②因为平分，所以，所以．
因为，所以，即
所以，得．
故答案为：①0；②2.
20．已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．
【解析】解：（1）设，则，
，，
所以，所以
化简得，所以的方程为．
（2）由题意可设，，，，，
由题意知切线，的斜率都存在，
由，得，则，所以，
直线的方程为，即，①
因为，在上，所以，即，②
将②代入①得，
所以直线的方程为，
同理可得直线的方程为，
因为在直线上，所以，
又在直线上，所以，
所以直线的方程为，
故直线过定点．
21．在平面直角坐标系中，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，为的中点．
（1）证明：轴；
（2）直线是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】解：（1）设切点，，，，
因为，所以切线的斜率为，直线的方程为：，
设的坐标为：
所以，
直线的斜率为，切线的方程为，
所以点是方程，
所以，是方程的两根，，
因为为的中点．所以，
所以，的横坐标相同，
即证轴．
（2）由（1）得，
又因为，
所以直线的方程为：，即，
所以直线恒过一定点，．
22．抛物级的焦点到直线的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线交抛物线于，，，两点，分别过，两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为，求证：．
【解析】解：（1）因为抛物级的焦点到直线的距离为2．
所以，
所以；
（2）证明：联立直线与，
得，
所以，，
，求导数得，
所以过点的抛物线切线为：，①
过点的抛物线切线为：，②
①②得，
所以，
①②，得，
，
，
所以，，
所以，
所以．
23．已知抛物线的方程为，点是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）点为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，求面积的最小值．
【解析】解：（1）设抛物线焦点为，由题意可得，故，
抛物线的方程为．
（2）设．由题可知切线的斜率存在且不为0，
故可设切线方程为，．
联立，消去得．．
由直线与抛物线相切可得△，
，即．
，解得，可得切点坐标为，
故可设，，，，
由，可得，，
，
为直角三角形，
的面积．
令切点到点的距离为，
则
，
，，
，
当时，即点的坐标为时，的面积取得最小值1．
24．如图，已知抛物线上的点的横坐标为1，焦点为，且，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，为线段上的动点，过作抛物线的切线，切点为（异于点，，且直线交线段于点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）设，的面积分别为，，求的最小值．
【解析】解：（Ⅰ）抛物线上的点的横坐标为1，焦点为，且，
由抛物线定义得，解得，
抛物线的方程为．
（Ⅱ）证明：设直线，
由，得，
△，解得，
代入方程，得，
设，，则，，
设，，设直线，
则由，得，
由△，可得，解得，或（舍，
，，，
由，得，
为定值．
由得，，
，，
，，
，
，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
（1），的最小值为6．
25．（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、．当直线垂直于轴时，.
(1)求抛物线的标准方程．
(2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、．求证：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用弦长求解，即可求解抛物线方程；
（2）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点．
【详解】（1）解：由题意，当直线垂直于轴时，直线的方程为，
联立可得，则，所以，即，
所以抛物线的方程为.
（2）证明：若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
同理可知，直线也不与轴重合，
设、，设直线的方程为，
联立得，，
因此，.
设直线的方程为，联立得，
则，因此，，则，同理可得.
所以.
因此直线的方程为，
由对称性知，定点在轴上，
令得，
，
所以，直线过定点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
26．（2022·江西上饶·上饶市第一中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过焦点F斜率为的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），交抛物线准线于G，且满足．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知C，D为抛物线上的动点，且，求证直线CD过定点P，并求出P点坐标；
(3)在（2）的条件下，求的最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析；P点坐标为（4，0）
(3)
【分析】（1）过点B作准线的垂线，垂足为H，设准线与x轴相交于点M，由直线的斜率得出倾斜角，利用三角函数及抛物线的定义求出即可得解；
（2）设直线CD的方程为：，，，联立方程组，由根与系数的关系求出，再由建立斜率的方程即可得解；
（3）由向量的数量积坐标运算化简，利用二次函数求最值．
【详解】（1）过点B作准线的垂线，垂足为H，设准线与x轴相交于点M，如图，
由题知，直线l的倾斜角为．∴在中，，
又∵，∴，∴．
∴，∴在中，又，
∴，∴，∴抛物线的标准方程为．
（2）由（1）可知，抛物线方程为，
设直线CD的方程为：，，，
直线与抛物线联立：，得：，
则，，
∵，且，∴则，
∴直线CD过定点（4，0），即P点坐标为（4，0），
（3）由（2）可知P点坐标为（4，0），
∴，
∴的最大值为．
27．（2020·全国·校联考一模）已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2．
(1)求抛物线N的方程；
(2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，可得，得到，求得，即可求得抛物线的方程；
（2）设，直线AB的斜率为，得到，得到直线的方程，联立方程组得到，结合弦长公式和点到直线的距离公式，求得面积，令，得到，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得抛物线的焦点为，
在方程中，令，可得，
所以弦长为，即，解得，
所以抛物线C的方程为．
（2）解：由（1）知抛物线的方程为，
设，直线AB的斜率为，
因为线段的中点在直线上，
由可知直线OM的方程为，
设，所以，所以，
又，所以，即得，
设直线的方程为，即，
联立方程组，所以，
所以，即，
由根据与系数的关系得，
则
，
又由点到直线的距离为，
所以
，
记，因为，所以，
所以，
令，可得，
令，可得，
当时，；当时，，
所以当时，取得最大值，即有最大值为.
28．（2021·浙江嘉兴·统考模拟预测）抛物线的焦点为F，准线为是抛物线上一点，过F的直线交抛物线于A，B两点，直线AP､BP分别交准线于M､N．当，点P恰好与原点O重合时，的面积为4.
（1）求抛物线C的方程；
（2）记点的横坐标与AB中点的横坐标相等，若，求的最小值．
【答案】（1）；（2）8.
【分析】（1）由题设，结合抛物线的性质知：当且P恰好与原点O重合时有，进而根据三角形面积求p，写出抛物线方程．
（2）设为，，，联立抛物线方程，应用韦达定理求，，可求，即可得、、到的距离，进而可得关于k的表达式，再写出直线、方程，即可求，可得关于k的表达式，结合已知条件应用基本不等式求的最小值．
【详解】（1）由题设，当且P恰好与原点O重合，的面积为4，
∴，即，可得，
∴抛物线C的方程为.
（2）由题意，可设为，，，
∴联立抛物线方程，整理得：，显然，
∴，，则，
∵的横坐标与AB中点的横坐标相等，
∴，则，若在第一象限，则，可得到的距离，
∴，
由上知：，
，
令，有，，
∴，
∴，
∴知：，
∴，当且仅当时等号成立，
∴的最小值为8.
【点睛】关键点点睛：第二问，设交点及直线方程，联立抛物线应用韦达定理求，，进而得到坐标，综合应用点线距离公式、三角形面积公式，结合已知条件列方程求参数的范围．
29．（2020·广东东莞·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆心，点E在直线上，点P满足，，点P的轨迹为曲线M．
（1）求曲线M的方程．
（2）过点N的直线l分别交M于点A、B，交圆N于点C、D（自上而下），若、、成等差数列，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设，由，得，代入
化简得：，所以点P的轨迹曲线M的方程为：；
（2）由、、成等差数列，得弦长，对直线l的斜率分情况讨论，当斜率不存在时，，不符合题意；当斜率存在时，设，，直线l的方程为：，联立，利用韦达定理可求得k的值，从而得到直线l的方程．
【详解】（1）设，由，得，
则，，，，
由，得
，即，
化简得：，所以点P的轨迹曲线M的方程为：；
（2）由、、成等差数列，得，
所以弦长，
①当斜率不存在时，直线l的方程为：，
交点，，此时，不符合题意；
②当斜率存在时，设直线l的方程为：，，，
联立方程，消去y得：，
∴，，
显然恒成立，
由抛物线的定义可知，，
∴，解得：，∴直线l的方程为．
【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，直线与抛物线的位置关系，向量的数量积的坐标运算，考查了学生的运算求解能力．
30．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程．
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
31．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解．
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
32．（2020·北京·统考高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A．经过点B．经过点
C．平行于直线D．垂直于直线
【答案】B
【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解．
【详解】如图所示： ．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题．
33．（2017·全国·高考真题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16B．14C．12D．10
【答案】A
【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号．
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以
.
34．（2007·山东·高考真题）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点做轴，令，则，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求解即可．
【详解】如图所示过点做轴，令，
因为是抛物线的焦点，与轴正向的夹角为，
所以由抛物线的性质得，解得，
所以，
故选：B
35．（2015·天津·高考真题）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D．
考点：双曲线的标准方程．
36．（2022·全国·统考高考真题）（多选题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确．
故选：BCD
37．（2022·全国·统考高考真题）（多选题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项．
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确．
故选：ACD.
38．（2023·全国·统考高考真题）（多选题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案．
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误．
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确．
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误．
故选：AC.
39．（2021·全国·统考高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
【答案】
【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果．
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键．
40．（2020·山东·统考高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于 .
【答案】
【分析】利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解．
【详解】由题意知：
抛物线方程为：
在抛物线上，所以
在双曲线上，
，又，
故答案为：
41．（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线 交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【详解】 ，
因为 ，所以渐近线方程为.
【名师点睛】1．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容．对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似．因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线．
2．凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
42．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解．
【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，则，设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在．
设,直线
由 得：，,同理，.
直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.
代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.
[方法三]：三点共线
设，
设,若 P、M、N三点共线，由
所以，化简得，
反之，若,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得，
由M、D、A三点共线，得，
由N、D、B三点共线，得，
则，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，所以直线.
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．
43．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值．
【答案】（1）；（2）最大值为.
【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解．
【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
据此整理可得点的轨迹方程为，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为．
设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为．
设直线的斜率为k，则．
令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设．
因为，所以．
于是，所以
则直线的斜率为．
当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．
【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；
方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；
方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值．
44．（2021·浙江·统考高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出的值后可求抛物线的方程．
（2）方法一：设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围．
【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.
（2）[方法一]：通式通法
设，，，
所以直线，由题设可得且.
由可得，故，
因为，故，故.
又，由可得，
同理，
由可得，
所以，
整理得到，
故，
令，则且，
故，
故即，
解得或或.
故直线在轴上的截距的范围为或或.
[方法二]：利用焦点弦性质
设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且．
由得，所以．
因为，
，．
由得．
同理．
由得．
因为，
所以即．
故．
令，则．
所以，解得或或．
故直线在x轴上的截距的范围为．
[方法三]【最优解】：
设，
由三点共线得，即．
所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．
设直线的方程为，
则．
所以．
故（其中）．
所以．
因此直线在x轴上的截距为．
【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标．
方法一：主要是用坐标表示直线，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围．
方法二：利用焦点弦的性质求得直线的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围．
方法三：利用点在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围．
45．（2020·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）求出抛物线标准方程，从而可得答案；
（Ⅱ）方法一使用韦达定理、中点公式和解方程法分别求得关于的表达式，得到关于的方程，利用基本不等式消去参数，得到关于的不等式，求解得到的最大值；方法二利用韦达定理和中点公式求得的坐标关于的表达式，根据点在椭圆上，得到关于关于的函数表达式，利用基本不等式和二次函数的性质得解，运算简洁，为最优解；方法三利用点差法得到．根据判别式大于零，得到不等式，通过解方程组求得，代入求解得到的最大值；方法四利用抛物线的参数方程设出点的参数坐标，利用斜率关系求得的坐标关于的表达式．作换元，利用点A在椭圆上，得到，然后利用二次函数的性质求得的最大值
【详解】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；
（Ⅱ）[方法一]：韦达定理基本不等式法
设，
由，
，
由在抛物线上，所以，
又，
，，
.
由即
，
所以，，，
所以，的最大值为，此时.
[方法二]【最优解】：
设直线，.
将直线的方程代入椭圆得：，
所以点的纵坐标为.
将直线的方程代入抛物线得：，
所以，解得，因此，
由解得，
所以当时，取到最大值为.
[方法三] ：点差和判别式法
设，其中．
因为所以．
整理得，所以．
又，
所以，整理得．
因为存在，所以上述关于的二次方程有解，即判别式． ①
由得．
因此，将此式代入①式解得．
当且仅当点M的坐标为时，p的最大值为．
[方法四]：参数法
设，
由，得．
令，则，点A坐标代入椭圆方程中，得．
所以，此时M坐标为．
46．（2018·北京·高考真题）已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．
【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）
(2)证明过程见解析
【详解】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，．再由，得，．利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论．
详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由得．
依题意，解得k<0或0又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．
所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由（I）知，．
直线PA的方程为．
令x=0，得点M的纵坐标为．
同理得点N的纵坐标为．
由，得，．
所以．
所以为定值．
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的． 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现．
47．（2019·浙江·高考真题）如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧．记的面积为.
（1）求的值及抛物线的准线方程；
（2）求的最小值及此时点的坐标．
【答案】（1）2，；（2），.
【分析】(1)由焦点坐标确定p的值和准线方程即可；
(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得的最小值和点G的坐标．
【详解】(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.
(2)设，
设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：
，故：，
，
设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：
，，
令可得：，则．即，
由斜率公式可得：，
直线AC的方程为：，
令可得：，
故，
且，
由于，代入上式可得：，
由可得，则，
则
.
当且仅当，即，时等号成立．
此时，，则点G的坐标为.
【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题07 抛物线与阿基米德三角形
1．（2024·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，且抛物线过点，过点的直线与抛物线交于两点，分别为两点在抛物线准线上的投影，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．线段长度的最小值为2B．的形状为锐角三角形
C．三点共线D．的坐标不可能为
【答案】C
【分析】根据抛物线的性质可判断A；根据抛物线的定义和平行线的性质判断B；设直线和点A、B的坐标，联立抛物线方程，结合韦达定理和三点共线经过任意两点的直线斜率相等，判断C；设的中点为，则，，取求出可判断D.
【详解】对于A，因为抛物线过点，所以抛物线的方程为，线段长度的最小值为通径，所以A错误；
对于B，由定义知，轴，所以，
同理，所以，所以B错误；
对于C，设直线，与抛物线方程联立，得，
设，，则，，
因为，所以，三点共线，所以C正确；
对于D，设的中点为，则，，
取，可得，所以D错误．
故选：C.
2．（2023·福建三明·统考三模）设抛物线焦点为，准线与对称轴交于点，过的直线交抛物线于，两点，对称轴上一点满足，若的面积为，则到抛物线准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为，设过点的直线方程为，，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合得到，解得，根据相似得到，从而列出方程，求出，再考虑焦点在轴上，同理可得到，求出答案．
【详解】假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为，
由题意得，，
若过点的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，
设过点的直线方程为，，
与抛物线联立得，
设，
则，
因为，设，
则，即，
将代入中得，，
如图所示，可知，，
因为∽，所以，故，
即，解得，
则到抛物线准线的距离为，
假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为
同理可得，故到抛物线准线的距离为，
综上，到抛物线准线的距离为.
故选：B
3．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知抛物线的焦点为 ，准线为，为上一点，，垂足为，与轴交点为，若，且的面积为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线定义，结合图形特征，用p表示三角形面积列式可求抛物线方程．
【详解】由抛物线定义知，所以为等边三角形，为的中点，
所以，，
的面积，所以的方程为.
故选：A.
4．（2022·河南平顶山·长葛市第一高级中学校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线（不与x轴垂直）交抛物线于A，B两点，以AB为直径作圆Q，过点引圆Q的两条切线，切点为P，S，若∠PMS＝90°，则直线AB的斜率为（ ）
A．1B．－2C．1或D．1或－2
【答案】C
【分析】根据抛物线定义得到圆Q与准线相切，从而求出MQ的斜率和方程为，设出直线AB的方程，利用韦达定理得到AB的中点坐标，代入方程中，求出直线AB的斜率．
【详解】如图，分别作，垂直准线于，，作QT垂直准线于T，连接SQ，
则，故圆Q与准线相切，故T与P重合．
因为∠PMS＝90°，故轴，又MS，MT为圆Q的切线，故MQ平分∠TMS，
故MQ的斜率为－1，则直线MQ的方程为．
设，直线AB的方程为，，代入，整理得，
故，．
代入为，解得：m＝1或m＝－2，故或
故选：C．
5．（2022·四川遂宁·统考模拟预测）已知F是抛物线C：的焦点，过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，直线l与抛物线的准线交于点M，若，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】过点作准线的垂线交于点，则，过点作准线的垂线交于点，则，利用三角形相似即可求解．
【详解】解：如图，过点作准线的垂线交于点，由抛物线的定义有，过点作准线的垂线交于点，则，
，，
根据，可得，
．，即，
，
故选：B．
6、已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与交于A，B两点，C在A处的切线与C的准线交于P点，连接BP．若|PF|＝3，则的最小值为_____
【答案】
如图，则有PF⊥AB，PA⊥PB，
所以
当且仅当时取等
7、（多选）过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），M为线段AB的中点．M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为4B．
C． △NAB面积的最小值为6D． 若直线AB的斜率为，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】设直线AB方程为 , ，根据弦长公式表示出，可判断A;求出点N的坐标，根据斜率之间的关系，可判断B;表示出点点N到直线AB的距离，继而求得，可判断C; 直线AB的斜率为，结合可求得，即可判断D.
【详解】由题意知 ,设直线AB方程为 , ，
联立 ，可得 ， ，
故，
则，
故当 时，的最小值为4，故A正确；
又 ，即M点纵坐标为2m,故 ，
当时，轴，NF在x轴上，此时 ;
当时, ， ，故，
综合可知，,故B正确；
又点N到直线AB的距离为 ，
故 ，当 时，取最小值4，故C错误；
若直线AB的斜率为，则直线AB方程为，即 ，
则，
由于A在第一象限，故解得 ，
故 ，由于同向，故，故D正确
8、已知是抛物线：的焦点，点，过点的直线与交于，两点，是线段的中点．若，则直线的斜率 ．
【答案】2
【解答】因为AM=BM=PM，所以∠APB=90°，故P在准线上，且PM⊥准线，PF⊥⊥AB
故
【常规法分析】方法一：设直线：，设，，联立直线与抛物线的方程求出，由可得，将韦达定理代入化简即可得出答案；方法二：设，，在准线上的射影分别是，，，由题意可得出轴，设，，：，联立直线与抛物线的方程可得，解方程即可得出答案．
【常规法详解】方法一：由题意，，设直线：，其中，
联立消去得，，
设，，则，，
又，则，即，
而，，
则，
即，
即，
所以，解得，所
以.
方法二：如下图，由题意，，点在准线上，
设，，在准线上的射影分别是，，，
则，
所以轴，
设，，：，
联立消去得，
所以，所以，
9、（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与交于、两点，且，，若过点、分别作的两条切线交于点，则下列各选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．以为直径的圆过点
【答案】ACD
【简证】第一步：由性质一可得AR∥y轴，故A点横坐标为4
第二步：由性质2可得:点所在直线为，故A正确
，故B错；而A点在准线上，可得C对，D对
附：【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线．若焦点在y轴上的抛物线，则轨迹方程为
【详解】抛物线的焦点到准线的距离为，所以，抛物线的方程为，
设、，由可知为的中点，
所以，且，，
由可得，
所以，直线的斜率为，则直线的方程为，可得，
联立可得，所以，，
对函数求导可得，
所以，切线的方程为，即，
同理可知，切线的方程为，
联立可得，即点，
易知抛物线的焦点为，所以，，A对；
因为直线过点，所以，，B错；
因为，，所以，，所以，故C正确；
因为，且为的中点，所以，，
因此，以为直径的圆过点，故D正确．
10、（多选）已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．抛物线的准线方程为B．直线一定过抛物线的焦点
C．线段长的最小值为D．
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的焦点坐标和准线方程，结合一元二次方程根的判别式进行判断A、B、D；联立直线与抛物线方程，根据韦达定理,结合弦长公式即可判断C.
【详解】由抛物线可知，焦点坐标为，准线方程为，故选项A正确；
设，显然直线存在斜率且不为零，设为，方程为，
与抛物线方程联立，得，
因为是该抛物线的切线，所以，即，
且的纵坐标为：，代入抛物线方程中可得的横坐标为：，
设直线存在斜率且不为零，设为，
同理可得：，且的纵坐标为：，横坐标为，
显然、是方程的两个不等实根，所以，
因为，
所以，因此选项D正确；
由上可知：的斜率为，
直线的方程为：，即，
又，所以，
所以，即，
所以直线AB一定过，显然该点不是抛物线的焦点，因此选项B不正确，
由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，
由得，所以，，
所以
，当且仅当时等号成立，故选项C正确；
故选：ACD
11、已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是圆（）与的一个交点，若的内切圆的半径为a，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】由双曲线定义和得到方程组，求出，再由内切圆半径，利用面积列出方程，得到齐次方程，求出离心率．
【详解】由题意知，所，
又因为，与联立，得，，
所以，
又因为，
所以，即，
所以，即，
所以，所以．
12、已知双曲线的左，右焦点分别为，，点与抛物线的焦点重合，点P为与的一个交点，若△的内切圆圆心的横坐标为4，的准线与交于A，B两点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，由题设知且求得，再由内切圆中切线长性质及双曲线定义、性质确定与的切点的位置，进而求离心率．
【详解】由题设，又点与抛物线的焦点重合，即，
由，则，故，即，
如下图示，内切圆与△各边的切点为，
所以，又，
则，
所以为双曲线右顶点，又△的内切圆圆心的横坐标为4，即，
故，则，所以离心率为.
13、过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于两点，的内切圆分别切直线于点，内切圆的圆心为，半径为，则（ ）
A．切点与右焦点重合B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用切线长定理及双曲线的定义可判定A、B，利用内切圆的性质及双曲线的定义可判定C，利用三角恒等变换计算可判定D.
【详解】对于A，由切线长定理可知：，
则，，
故①，
又②，
①②得，
得，
即，
故点与点重合，正确；
对于B，，B错误；
对于C，根据三角形内切圆的性质可得，
即，
故C正确；
对于D，令，则结合A、B选项可得：，
∴．故D正确．
14、（2024·广东中山·中山纪念中学校考二模）（多选题）已知抛物线的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为，的中点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．若F恰好为的中点，则直线的斜率为
D．直线过定点
【答案】ABD
【分析】设直线的方程、，，联立抛物线方程，利用韦达定理表示、，结合弦长公式计算即可判断A；利用中点坐标公式表示出点P、Q坐标，结合平面向量的数量积坐标表示和基本不等式即可判断B；由中点坐标公式可得，进而求得，结合两点表示斜率公式计算即可判断C；根据直线的点斜式方程表示直线PQ方程，即可求出直线恒过的定点，进而判断D.
【详解】A：设直线的方程为，，，
联立方程组得，则，，
所以，同理可得，
所以，故A正确；
B：由选项A知，，
因为P分别为的中点，所以，同理可得，
所以，当且仅当时，等号成立，故B正确．
C：，若F为的中点，则．因为，
所以．所以，故，
所以，故C错误．
D：当直线的斜率存在时，，所以直线的方程为，
整理得，所以直线过定点；
当直线的斜率不存在时，，直线的方程为，过点，
所以直线过定点．故D正确．
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解．
15．（2024·吉林白山·统考一模）（多选题）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若为的准线上任意一点，则（ ）
A．直线若的斜率为，则B．的取值范围为
C．D．的余弦有最小值为
【答案】BCD
【分析】对于抛物线的焦点弦相关问题，首先要熟悉一些二级结论，如A项，若记得焦点弦关于倾斜角的弦长公式则可以秒杀；B项熟悉“以焦点弦为直径的圆与准线相切”则可以迅速判断结论；而对于C,D两个选项，则需要将直线与抛物线方程联立，借助于韦达定理进行计算推理才可得到．
【详解】对于A选项，由题知，的斜率为，则，
代入整理得：，
设，则而；故A项错误；
对于B选项，∵以焦点弦为直径的圆与准线相切，为的准线上任意一点，
则点在以为直径的圆上或圆外，
∴，
当在直线上时，，即的取值范围为，故B项正确；
对于C选项，设，，，
设，联立,消元得：，
则 故，故C项正确；
对于D选项，
，
即的余弦的最小值为，故D项正确．
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：本题主要考查抛物线的焦点弦的相关问题．
解决过焦点的直线与抛物线相交的相关问题，一般需要二级结论和常规方法相结合，如焦半径，焦点弦的长度公式，以焦半径为直径的圆与轴相切，以焦点弦为半径的圆与准线相切等结论需要熟悉，另外在选设直线方程时，常设成的形式便于计算解题，在代换字母时，常常通过抛物线方程代换计算较易．
16．（2023·广东广州·统考三模）（多选题）已知，是抛物线上不同于原点O的两点，点F是抛物线C的焦点，点M是线段的中点，则（ ）．
A．C的准线为
B．当直线的斜率k存在时，
C．当A，B，F三点共线时，
D．当直线过点时，
【答案】BCD
【分析】由抛物线方程求其准线方程判断A，由点差法判断B，根据抛物线定义判断C，根据设而不求法判断D.
【详解】抛物线的准线方程为，A错误；
因为点，在抛物线上，
所以，
所以，
若直线的斜率k存在，则，B正确；
当A，B，F三点共线时，，C正确；
若直线过点时且斜率为，则其方程为，
直线与抛物线只有一交点，与条件矛盾，
所以设直线的方程为，
联立，消可得，
方程的判别式，
所以，
设点的坐标为，，，
所以，
，
所以，
所以，D正确；
故选：BCD
17．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）（多选题）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于、两点，为线段中点，、、分别为、、在上的射影，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．的坐标为B．
C．、、、四点共圆D．直线的方程为
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的方程求出点的坐标，可判断A选项；根据抛物线的定义以及数形结合求出直线的方程，可判断D选项；利用斜率关系判断出，可判断C选项；求出、，可判断B选项．
【详解】对于A选项，抛物线的焦点为，A错；
对于D选项，当点在第一象限，过点作垂直于，为垂足，如图所示，
设，则，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，，
则，
设直线的倾斜角为，则为锐角，且，则，
此时，直线的方程为，
当点在第二象限时，同理可知，直线的方程为，
综上所述，直线的方程为，D对；
对于B选项，不妨设点在第一象限，则直线的方程为，
设点、，联立，可得，
，由韦达定理可得，，
设点，则，故点，
所以，直线的斜率为，
而直线的斜率为，所以，，故，
又因为，故、、、四点共圆，
同理可知，当点在第二象限时，、、、四点共圆，
综上所述，故、、、四点共圆，C对；
对于B选项，，
，B对．
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用：
（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；
（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
18．（2023·重庆·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线交x轴于点D，过点F作倾斜角为（为锐角）的直线交抛物线于A，B两点，如图，把平面沿x轴折起，使平面平面，则三棱锥体积为 ；若，则异面直线，所成角的余弦值取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线焦点弦的性质可得，，进而根据面面垂直即可求三棱锥的高，进而利用体积公式即可求解，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角就可求解异面直线的夹角．
【详解】
过作准线，垂足为,
在中，，又 ， 同理可得，
过作于,由于平面平面，且交线为，平面 ,所以平面,且，
故三棱锥的体积为，
，
且， ，所以建立如图所示的空间直角坐标系，， 即，,
所以 ，
当时，，
所以，
由于为锐角，所以异面直线，所成角的角等于，故异面直线，所成角的余弦值取值范围为
故答案为：，
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用
19．（2023·陕西榆林·统考二模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线：（）焦点为，准线为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点（点在抛物线内）射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，且经过点，若直线与抛物线的准线交于点，则直线的斜率为 ；若，且平分，则 .
【答案】 0 2
【分析】①设直线的方程，与抛物线方程联立得出韦达定理，求出的坐标，写出直线的方程，求出点的坐标，得到直线的斜率；
②由平分推导角的关系得出，即，根据弦长公式写出方程，求出结果．
【详解】依题意直线过抛物线的焦点．设直线的方程为，，，
联立方程组得，则，．
因为，所以，．
因为直线的方程为，
所以直线与抛物线的准线的交点为，
所以直线的斜率为0．
②因为平分，所以，所以．
因为，所以，即
所以，得．
故答案为：①0；②2.
20．已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．
【解析】解：（1）设，则，
，，
所以，所以
化简得，所以的方程为．
（2）由题意可设，，，，，
由题意知切线，的斜率都存在，
由，得，则，所以，
直线的方程为，即，①
因为，在上，所以，即，②
将②代入①得，
所以直线的方程为，
同理可得直线的方程为，
因为在直线上，所以，
又在直线上，所以，
所以直线的方程为，
故直线过定点．
21．在平面直角坐标系中，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，为的中点．
（1）证明：轴；
（2）直线是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】解：（1）设切点，，，，
因为，所以切线的斜率为，直线的方程为：，
设的坐标为：
所以，
直线的斜率为，切线的方程为，
所以点是方程，
所以，是方程的两根，，
因为为的中点．所以，
所以，的横坐标相同，
即证轴．
（2）由（1）得，
又因为，
所以直线的方程为：，即，
所以直线恒过一定点，．
22．抛物级的焦点到直线的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线交抛物线于，，，两点，分别过，两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为，求证：．
【解析】解：（1）因为抛物级的焦点到直线的距离为2．
所以，
所以；
（2）证明：联立直线与，
得，
所以，，
，求导数得，
所以过点的抛物线切线为：，①
过点的抛物线切线为：，②
①②得，
所以，
①②，得，
，
，
所以，，
所以，
所以．
23．已知抛物线的方程为，点是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）点为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，求面积的最小值．
【解析】解：（1）设抛物线焦点为，由题意可得，故，
抛物线的方程为．
（2）设．由题可知切线的斜率存在且不为0，
故可设切线方程为，．
联立，消去得．．
由直线与抛物线相切可得△，
，即．
，解得，可得切点坐标为，
故可设，，，，
由，可得，，
，
为直角三角形，
的面积．
令切点到点的距离为，
则
，
，，
，
当时，即点的坐标为时，的面积取得最小值1．
24．如图，已知抛物线上的点的横坐标为1，焦点为，且，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，为线段上的动点，过作抛物线的切线，切点为（异于点，，且直线交线段于点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）设，的面积分别为，，求的最小值．
【解析】解：（Ⅰ）抛物线上的点的横坐标为1，焦点为，且，
由抛物线定义得，解得，
抛物线的方程为．
（Ⅱ）证明：设直线，
由，得，
△，解得，
代入方程，得，
设，，则，，
设，，设直线，
则由，得，
由△，可得，解得，或（舍，
，，，
由，得，
为定值．
由得，，
，，
，，
，
，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
（1），的最小值为6．
25．（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、．当直线垂直于轴时，.
(1)求抛物线的标准方程．
(2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、．求证：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用弦长求解，即可求解抛物线方程；
（2）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点．
【详解】（1）解：由题意，当直线垂直于轴时，直线的方程为，
联立可得，则，所以，即，
所以抛物线的方程为.
（2）证明：若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
同理可知，直线也不与轴重合，
设、，设直线的方程为，
联立得，，
因此，.
设直线的方程为，联立得，
则，因此，，则，同理可得.
所以.
因此直线的方程为，
由对称性知，定点在轴上，
令得，
，
所以，直线过定点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
26．（2022·江西上饶·上饶市第一中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过焦点F斜率为的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），交抛物线准线于G，且满足．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知C，D为抛物线上的动点，且，求证直线CD过定点P，并求出P点坐标；
(3)在（2）的条件下，求的最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析；P点坐标为（4，0）
(3)
【分析】（1）过点B作准线的垂线，垂足为H，设准线与x轴相交于点M，由直线的斜率得出倾斜角，利用三角函数及抛物线的定义求出即可得解；
（2）设直线CD的方程为：，，，联立方程组，由根与系数的关系求出，再由建立斜率的方程即可得解；
（3）由向量的数量积坐标运算化简，利用二次函数求最值．
【详解】（1）过点B作准线的垂线，垂足为H，设准线与x轴相交于点M，如图，
由题知，直线l的倾斜角为．∴在中，，
又∵，∴，∴．
∴，∴在中，又，
∴，∴，∴抛物线的标准方程为．
（2）由（1）可知，抛物线方程为，
设直线CD的方程为：，，，
直线与抛物线联立：，得：，
则，，
∵，且，∴则，
∴直线CD过定点（4，0），即P点坐标为（4，0），
（3）由（2）可知P点坐标为（4，0），
∴，
∴的最大值为．
27．（2020·全国·校联考一模）已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2．
(1)求抛物线N的方程；
(2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，可得，得到，求得，即可求得抛物线的方程；
（2）设，直线AB的斜率为，得到，得到直线的方程，联立方程组得到，结合弦长公式和点到直线的距离公式，求得面积，令，得到，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得抛物线的焦点为，
在方程中，令，可得，
所以弦长为，即，解得，
所以抛物线C的方程为．
（2）解：由（1）知抛物线的方程为，
设，直线AB的斜率为，
因为线段的中点在直线上，
由可知直线OM的方程为，
设，所以，所以，
又，所以，即得，
设直线的方程为，即，
联立方程组，所以，
所以，即，
由根据与系数的关系得，
则
，
又由点到直线的距离为，
所以
，
记，因为，所以，
所以，
令，可得，
令，可得，
当时，；当时，，
所以当时，取得最大值，即有最大值为.
28．（2021·浙江嘉兴·统考模拟预测）抛物线的焦点为F，准线为是抛物线上一点，过F的直线交抛物线于A，B两点，直线AP､BP分别交准线于M､N．当，点P恰好与原点O重合时，的面积为4.
（1）求抛物线C的方程；
（2）记点的横坐标与AB中点的横坐标相等，若，求的最小值．
【答案】（1）；（2）8.
【分析】（1）由题设，结合抛物线的性质知：当且P恰好与原点O重合时有，进而根据三角形面积求p，写出抛物线方程．
（2）设为，，，联立抛物线方程，应用韦达定理求，，可求，即可得、、到的距离，进而可得关于k的表达式，再写出直线、方程，即可求，可得关于k的表达式，结合已知条件应用基本不等式求的最小值．
【详解】（1）由题设，当且P恰好与原点O重合，的面积为4，
∴，即，可得，
∴抛物线C的方程为.
（2）由题意，可设为，，，
∴联立抛物线方程，整理得：，显然，
∴，，则，
∵的横坐标与AB中点的横坐标相等，
∴，则，若在第一象限，则，可得到的距离，
∴，
由上知：，
，
令，有，，
∴，
∴，
∴知：，
∴，当且仅当时等号成立，
∴的最小值为8.
【点睛】关键点点睛：第二问，设交点及直线方程，联立抛物线应用韦达定理求，，进而得到坐标，综合应用点线距离公式、三角形面积公式，结合已知条件列方程求参数的范围．
29．（2020·广东东莞·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆心，点E在直线上，点P满足，，点P的轨迹为曲线M．
（1）求曲线M的方程．
（2）过点N的直线l分别交M于点A、B，交圆N于点C、D（自上而下），若、、成等差数列，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设，由，得，代入
化简得：，所以点P的轨迹曲线M的方程为：；
（2）由、、成等差数列，得弦长，对直线l的斜率分情况讨论，当斜率不存在时，，不符合题意；当斜率存在时，设，，直线l的方程为：，联立，利用韦达定理可求得k的值，从而得到直线l的方程．
【详解】（1）设，由，得，
则，，，，
由，得
，即，
化简得：，所以点P的轨迹曲线M的方程为：；
（2）由、、成等差数列，得，
所以弦长，
①当斜率不存在时，直线l的方程为：，
交点，，此时，不符合题意；
②当斜率存在时，设直线l的方程为：，，，
联立方程，消去y得：，
∴，，
显然恒成立，
由抛物线的定义可知，，
∴，解得：，∴直线l的方程为．
【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，直线与抛物线的位置关系，向量的数量积的坐标运算，考查了学生的运算求解能力．
30．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程．
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
31．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解．
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
32．（2020·北京·统考高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A．经过点B．经过点
C．平行于直线D．垂直于直线
【答案】B
【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解．
【详解】如图所示： ．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题．
33．（2017·全国·高考真题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16B．14C．12D．10
【答案】A
【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号．
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以
.
34．（2007·山东·高考真题）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点做轴，令，则，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求解即可．
【详解】如图所示过点做轴，令，
因为是抛物线的焦点，与轴正向的夹角为，
所以由抛物线的性质得，解得，
所以，
故选：B
35．（2015·天津·高考真题）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D．
考点：双曲线的标准方程．
36．（2022·全国·统考高考真题）（多选题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确．
故选：BCD
37．（2022·全国·统考高考真题）（多选题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项．
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确．
故选：ACD.
38．（2023·全国·统考高考真题）（多选题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案．
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误．
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确．
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误．
故选：AC.
39．（2021·全国·统考高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
【答案】
【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果．
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键．
40．（2020·山东·统考高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于 .
【答案】
【分析】利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解．
【详解】由题意知：
抛物线方程为：
在抛物线上，所以
在双曲线上，
，又，
故答案为：
41．（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线 交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【详解】 ，
因为 ，所以渐近线方程为.
【名师点睛】1．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容．对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似．因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线．
2．凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
42．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解．
【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，则，设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在．
设,直线
由 得：，,同理，.
直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.
代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.
[方法三]：三点共线
设，
设,若 P、M、N三点共线，由
所以，化简得，
反之，若,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得，
由M、D、A三点共线，得，
由N、D、B三点共线，得，
则，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，所以直线.
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．
43．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值．
【答案】（1）；（2）最大值为.
【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解．
【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
据此整理可得点的轨迹方程为，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为．
设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为．
设直线的斜率为k，则．
令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设．
因为，所以．
于是，所以
则直线的斜率为．
当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．
【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；
方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；
方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值．
44．（2021·浙江·统考高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出的值后可求抛物线的方程．
（2）方法一：设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围．
【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.
（2）[方法一]：通式通法
设，，，
所以直线，由题设可得且.
由可得，故，
因为，故，故.
又，由可得，
同理，
由可得，
所以，
整理得到，
故，
令，则且，
故，
故即，
解得或或.
故直线在轴上的截距的范围为或或.
[方法二]：利用焦点弦性质
设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且．
由得，所以．
因为，
，．
由得．
同理．
由得．
因为，
所以即．
故．
令，则．
所以，解得或或．
故直线在x轴上的截距的范围为．
[方法三]【最优解】：
设，
由三点共线得，即．
所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．
设直线的方程为，
则．
所以．
故（其中）．
所以．
因此直线在x轴上的截距为．
【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标．
方法一：主要是用坐标表示直线，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围．
方法二：利用焦点弦的性质求得直线的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围．
方法三：利用点在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围．
45．（2020·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）求出抛物线标准方程，从而可得答案；
（Ⅱ）方法一使用韦达定理、中点公式和解方程法分别求得关于的表达式，得到关于的方程，利用基本不等式消去参数，得到关于的不等式，求解得到的最大值；方法二利用韦达定理和中点公式求得的坐标关于的表达式，根据点在椭圆上，得到关于关于的函数表达式，利用基本不等式和二次函数的性质得解，运算简洁，为最优解；方法三利用点差法得到．根据判别式大于零，得到不等式，通过解方程组求得，代入求解得到的最大值；方法四利用抛物线的参数方程设出点的参数坐标，利用斜率关系求得的坐标关于的表达式．作换元，利用点A在椭圆上，得到，然后利用二次函数的性质求得的最大值
【详解】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；
（Ⅱ）[方法一]：韦达定理基本不等式法
设，
由，
，
由在抛物线上，所以，
又，
，，
.
由即
，
所以，，，
所以，的最大值为，此时.
[方法二]【最优解】：
设直线，.
将直线的方程代入椭圆得：，
所以点的纵坐标为.
将直线的方程代入抛物线得：，
所以，解得，因此，
由解得，
所以当时，取到最大值为.
[方法三] ：点差和判别式法
设，其中．
因为所以．
整理得，所以．
又，
所以，整理得．
因为存在，所以上述关于的二次方程有解，即判别式． ①
由得．
因此，将此式代入①式解得．
当且仅当点M的坐标为时，p的最大值为．
[方法四]：参数法
设，
由，得．
令，则，点A坐标代入椭圆方程中，得．
所以，此时M坐标为．
46．（2018·北京·高考真题）已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．
【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）
(2)证明过程见解析
【详解】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，．再由，得，．利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论．
详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由得．
依题意，解得k<0或0
所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由（I）知，．
直线PA的方程为．
令x=0，得点M的纵坐标为．
同理得点N的纵坐标为．
由，得，．
所以．
所以为定值．
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的． 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现．
47．（2019·浙江·高考真题）如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧．记的面积为.
（1）求的值及抛物线的准线方程；
（2）求的最小值及此时点的坐标．
【答案】（1）2，；（2），.
【分析】(1)由焦点坐标确定p的值和准线方程即可；
(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得的最小值和点G的坐标．
【详解】(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.
(2)设，
设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：
，故：，
，
设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：
，，
令可得：，则．即，
由斜率公式可得：，
直线AC的方程为：，
令可得：，
故，
且，
由于，代入上式可得：，
由可得，则，
则
.
当且仅当，即，时等号成立．
此时，，则点G的坐标为.
【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
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