数学必修 第三册7.3.3 余弦函数的性质与图修当堂检测题

这是一份数学必修 第三册7.3.3 余弦函数的性质与图修当堂检测题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．函数y＝－cs x的图像与余弦函数图像( )
A．关于x轴对称
B．关于原点对称
C．关于原点和x轴对称
D．关于原点和坐标轴对称
C [由y＝－cs x的图像知关于原点和x轴对称．]
2．函数y＝3cs 2x＋4(x∈R)是( )
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为2π的奇函数
A [函数f(x) ＝3cs 2x＋4，由于x∈R，
f (－x)＝3cs (－2x)＋4＝f(x) ，故函数为偶函数，最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π．]
3．函数f(x) ＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(5π,6)))图像的一个对称中心是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，0))
B [对于函数f(x) ＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(5π,6)))的图像，令4x＋eq \f(5π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，求得x＝eq \f(kπ,4)－eq \f(π,12)，k＝1时得函数f(x) 的一个对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))．]
4．在(0,2π)内使sin x>|cs x|的x的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(7π,4)))
A [因为sin x>|cs x|，所以sin x>0，所以x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cs x|，x∈(0，π)的图像，观察图像易得x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))．
]
5．三个数cs eq \f(3,2)，sin eq \f(1,10)，－cs eq \f(7,4)的大小关系是( )
A．sin eq \f(1,10)＞cs eq \f(3,2)＞－cs eq \f(7,4)
B．cs eq \f(3,2)＞－cs eq \f(7,4)＞sin eq \f(1,10)
C．cs eq \f(3,2)＜sin eq \f(1,10)＜－cs eq \f(7,4)
D．－cs eq \f(7,4)＜sin eq \f(1,10)＜cs eq \f(3,2)
C [sin eq \f(1,10)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(1,10)))，－cs eq \f(7,4)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(7,4)))．
因为π＞eq \f(3,2)＞eq \f(π,2)－eq \f(1,10)＞π－eq \f(7,4)＞0，而y＝cs x在[0，π]上单调递减，
所以cs eq \f(3,2)＜cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(1,10)))＜cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(7,4)))，
即cs eq \f(3,2)＜sin eq \f(1,10)＜－cs eq \f(7,4)．]
二、填空题
6．函数y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－ωx))的最小正周期为4π，则ω＝________．
±eq \f(1,2) [因为4π＝eq \f(2π,|－ω|)，所以ω＝±eq \f(1,2)．]
7．函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的单调递减区间为________．
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z) [y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，由2kπ≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ＋π(k∈Z)，
得kπ＋eq \f(π,8)≤x≤kπ＋eq \f(5π,8)(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z)．]
8．已知函数f(x) ＝2cs(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝________．
－eq \r(3) [观察图像可知：f(x) 的最小正周期T＝eq \f(4,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13π,12)－\f(π,3)))＝π，所以ω＝2，
又因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13π,12)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(13π,12)＋φ))＝2，
所以φ＝－eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z，
所以f(x) ＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,2)－\f(π,6)))＝2cs eq \f(5π,6)＝－eq \r(3)．]
三、解答题
9．把函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4π,3)))的图像向右平移φ个单位，正好关于y轴对称，求φ的最小正值．
[解] 由题意平移后的函数为y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4π,3)－φ))，它是偶函数，因此，当x＝0时，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)－φ))取得最大值为1或最小值为－1，故eq \f(4π,3)－φ＝2kπ或(2k＋1)π(k∈Z)，即eq \f(4π,3)－φ＝kπ(k∈Z)．
所以φ＝eq \f(4π,3)－kπ(k∈Z)，当k＝1时，φ取最小正值eq \f(π,3)．
10．若函数f(x) ＝cs (ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一个零点与之相邻的对称轴之间的距离为eq \f(π,4)，且x＝eq \f(2π,3)时f(x) 有最小值．
(1)求f(x) 的解析式．
(2)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,6)))，求f(x) 的值域．
[解] (1)因为函数f(x) 的一个零点与之相邻的对称轴之间的距离为eq \f(π,4)，所以eq \f(T,4)＝eq \f(π,4)，
所以f(x) 的周期为T＝π，即eq \f(2π,ω)＝π，所以ω＝2；
又因为x＝eq \f(2π,3)时f(x) 有最小值，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，
所以eq \f(4π,3)＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，解得φ＝2kπ－eq \f(π,3)，k∈Z，
因为|φ|所以f(x) 的解析式f(x) ＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))．
(2)因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,6)))，eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(4π,3)，
当2x－eq \f(π,3)＝π时，f(x) 取得最小值－1，
当2x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,6)时，f(x) 取得最大值eq \f(\r(3),2)，
所以f(x) 的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(3),2)))．
11．(多选题)设函数f(x) ＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，则下列结论正确的是( )
A．f(x) 的一个周期为2π
B．y＝f(x) 的图像关于直线x＝－eq \f(π,6)对称
C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的一个零点为π
D．f(x) 在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))上单调递减
ABC [由函数f(x) ＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))知，在A中，由余弦函数的周期性得f(x) 的一个周期为2π，故A正确；在B中，函数f(x) ＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的对称轴满足条件x＋eq \f(π,6)＝kπ，即x＝kπ－eq \f(π,6)，k∈Z．所以y＝f(x) 的图像关于直线x＝－eq \f(π,6)对称，故B正确；在C中，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－sin x，－sin π＝0，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的一个零点为π，故C正确；在D中，函数f(x) ＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))上先减后增，故D错误．故选ABC．]
12．函数y＝2sin2x＋2cs x－3的最大值是( )
A．－1B．1
C．－eq \f(1,2) D．－5
C [由题意，得y＝2sin2x＋2cs x－3＝2(1－cs2x)＋2cs x－3＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,2)．
因为－1≤cs x≤1，
所以当cs x＝eq \f(1,2)时，函数有最大值－eq \f(1,2)．]
13．已知函数f(x) ＝2cs(ωx＋φ)－1(ω>0，|φ|<π)的一个零点是x＝eq \f(π,4)，当x＝eq \f(π,3)时，函数f(x) 取最大值，则当ω取最小值时，函数f(x) 在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,12)))上的最大值为________．
0 [由条件可得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πω,4)＋φ))＝eq \f(1,2)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πω,3)＋φ))＝1，所以eq \f(πω,4)＋φ＝2kπ±eq \f(π,3)，k∈Z，eq \f(πω,3)＋φ＝2nπ，n∈Z，将两式相减可得ω＝24(n－k)±4(n，k∈Z)，所以ω的最小值为4，此时φ＝2nπ－eq \f(4,3)π，n∈Z，因为|φ|<π，
所以φ＝eq \f(2,3)π，所以f(x) ＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(2π,3)))－1，
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,12)))，
所以4x＋eq \f(2π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))，
所以函数f(x) 在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,12)))上的最大值为0．]
14．函数y＝lgeq \s\d12(eq \f(1,2))cs x的定义域是____________．函数y＝lgeq \s\d12(eq \f(1,2))(cs2x＋2cs x＋1)的值域为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z [－2，＋∞) [函数y＝lgeq \s\d12(eq \f(1,2))(cs x)有意义，则cs x＞0，由余弦函数y＝cs x
的图像可知，当2kπ－eq \f(π,2)＜x＜2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，
cs x＞0，故函数y＝lgeq \s\d12(eq \f(1,2))cs x的定义域为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)＜x＜2kπ＋\f(π,2)k∈Z))))．
cs x∈(－1,1]，cs2x＋2cs x＋1∈(0,4]，所以y＝lgeq \s\d12(eq \f(1,2))(cs2x＋2cs x＋1)∈[－2，＋∞)．]
15．已知函数y＝5cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k＋1,3)πx－\f(π,6)))(k∈N)，对任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值eq \f(5,4)出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值．
[解] 由5cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k＋1,3)πx－\f(π,6)))＝eq \f(5,4)，得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k＋1,3)πx－\f(π,6)))＝eq \f(1,4)．
因为函数y＝cs x在每个周期内出现函数值为eq \f(1,4) 有两次，而区间[a，a＋3]长度为3，所以为了使长度为3的区间内出现函数值eq \f(1,4) 不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．
即2×eq \f(2π,\f(2k＋1,3)π)≤3，且4×eq \f(2π,\f(2k＋1,3)π)≥3．所以eq \f(3,2)≤k≤eq \f(7,2)．又k∈N，故k＝2,3．