2024版高考数学微专题专练60排列与组合理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练60排列与组合理（附解析），共4页。

[基础强化]
一、选择题
1．[2022·新高考Ⅱ卷，5]有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A．12种B．24种
C．36种D．48种
2．[2022·广东省深圳月考]为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奧会，某学校决定派小明和小李等共5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为( )
A．8 B．10 C．12 D．14
3．[2022·广东省九师联盟4月联考]《长津湖》和《我和我的父辈》都是2021年国庆档的热门电影．某电影院的某放映厅在国庆节的白天可以放映6场，晚上可以放映4场电影．这两部影片只各放映一次，且两部电影不能连续放映(白天最后一场和晚上第一场视为不连续)，也不能都在白天放映，则放映这两部电影不同的安排方式共有( )
A．30种B．54种C．60种D．64种
4．[2022·河北省高三联考]共有10级台阶，某人一步可跨一级台阶，也可跨两级台阶或三级台阶，则他恰好6步上完台阶的方法种数是( )
A．30B．90C．75D．60
5．[2022·河北省石家庄一模]小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字．如图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒．若用8根火柴棒以适当的方式全部放入表格中(没有放入火柴棒的空位表示数字“0”)，那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为( )
A．8B．12C．16D．20
6．[2022·河南省五市联考]如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成(实线表示马路)，CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有( )
A．33种B．23种C．20种D．13种
7．[2022·洛阳市高三统一考试]“迎冬奥，跨新年，向未来”，中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为( )
A．576B．288C．144D．48
8．[2022·安徽省十校联考]志愿服务是办好2022年北京冬奥会的重要基础和保障，现有一冬奥服务站点需要连续六天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有6名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有( )
A．240种B．408种C．1092种D．1120种
9．[2022·广西高三联考]某校安排甲、乙、丙三位老师担任五月一日至五月五日的值班工作，每天1人值班，每人不能连续两天值班，且每人都参与值班，则不同的安排方法共有( )
A．14种B．16种C．42种D．48种
二、填空题
10．[2022·江苏省海安高级中学二模]某社区将招募的5名志愿者分成两组，要求每组至少两人，分别担任白天和夜间的网格员，则不同的分配方法种数为________．
11．[2022·重庆市高三质检]2022年3月以来，重庆出现新一轮由奥密克戎变异毒株引发的新冠疫情，有3个区域被判定为中风险地区，均在高新区．为了尽快控制疫情，重庆市政府决定派5名专员对这三个中风险地区的疫情防控工作进行指导．若每个中风险地区至少派一名专员且5人要派完，专员甲、乙需到同一中风险地区指导，则不同的专员分配方案总数为________．
12．[2022·江西省上饶六校联考]若从1，2，3，…，9这9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a，b，c，d，则使得a×b×c＋d为奇数的不同排列方法有________．
[能力提升]
13．[2022·郑州市第二次质检]某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有( )
A．240种B．480种
C．540种D．720种
14．[2022·江西省上饶六校联考]新冠疫情期间，某市卫健委将6名调研员安排到本市4家核酸检测定点医院进行调研，要求每家医院至少安排1人，至多安排2人，则不同的安排方法有( )
A．4320种B．2160种
C．1080种D．540种
15．[2022·江西省鹰潭模拟]2021年12月，南昌最美地铁4号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去观洲、人民公园、新洪城大市场三个地方游览，每人只能去一个地方，人民公园一定要有人去，则不同游览方案的种数为________．
16．[2022·陕西省渭南二模]2021年秋季，教育部明确要求在全国中小学全面推行课后延时服务，实行“5＋2”服务模式．某校开设了篮球、围棋和剪纸三门课后延时服务课程，某班的4个同学每人选择了其中的一门课程，若每门课程都有人选，则不同的选课方案种数为________．(用数字作答)
专练60 排列与组合
1．B 先利用捆绑法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法选甲的位置，共有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ＝24(种)不同的排列方式．故选B.
2．C 小明和小李必须安装不同的吉祥物，则有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝2种情况，剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝3，然后分配到参与两个吉祥物的安装，有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝3×2＝6，则共有2×6＝12种．
3．B 若均在晚上播放，则不同的安排方式有3A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝6种，若白天一场，晚上一场，则有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ·A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝48种，故放映这两部电影不同的安排方式共有48＋6＝54种．
4．B 由题意可知，完成这件事情分三类：
第一类，按照3，3，1，1，1，1的走法有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) 种；
第二类，按照3，2，2，1，1，1的走法有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) 种；
第三类，按照2，2，2，2，1，1的走法有C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(6)) 种；
所以他恰好6步上完台阶的方法种数是C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(6)) ＝15＋60＋15＝90.
5．D 由题意用2根火柴棒表示数字1，3根火柴棒表示数字7，4根火柴棒表示数字4，5根火柴棒表示数字2，3或者5，6根火柴棒表示数字6或9，7根火柴棒表示数字8，数字不重复，因此8根火柴棒只能分成两级：2和6，3和5，组成两个数字，还有数字只能为0，这样组成的无重复数字的三位数个数为C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝20.
6．B 由题意知：从A到B的最短路径要通过7段马路，4段水平马路，3段竖直马路，共有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) ＝35种，又因为经过CD段的走法有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝12种，故不经过CD段的最短路程有35－12＝23种．
7．B 第一步：为每个项目安排表演队员：先安排雪上技巧项目，有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) 种，再安排其他三个项目，有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) 种，共有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ×A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝2×6＝12种；第二步：安排出场顺序，有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝24种，所以一共有12×24＝288种．
8．B 将安排除甲、乙、丙外其它3名志愿者，有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) 种，再分两类讨论：
第一类：
安排不相邻的乙丙，相当于将2个球在3个球所形成的4个空中任选2个插入有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) 种，
安排不在第一天的甲，相当于5个球所成的后5个空中任选一个插入，有Ceq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5))种，
第二类：
将甲安排在乙丙中间有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) 种，
把甲乙丙作为整体安排，相当于将1个球插入3个球所形成的4个空中有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) 种，
所以不同的方案有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) (A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ＋A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) )＝408种．
9．C 将五月一日至五月五日编号为1，2，3，4，5，先放中间的3，再放2，4，最后放1，5，先放3有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) 种，若2，4同一个人有2种，此时1，5有3种情况，共有2×3＝6种，若2，4不同人有2种，此时1，5有4种情况，共有2×4＝8种，所以共有3×(6＋8)＝42种．
10．20
解析：由两人担任白天网格员有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) 种，由三人担任白天网格员有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) 种，所以共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＝10＋10＝20种．
11．36
解析：将5人分成三组，每组至少一人，则各组人数分别为3、1、1或2、2、1.①若三组人数分别为3、1、1，则甲、乙所在组的人数为3，此时还需从另外3人中选1人到这组，此时不同的分配方案种数为C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝18；②若三组人数分别为2、2、1，则其中一组有2人的为甲、乙所在的一组，此时不同的分配方案种数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝18.
综上所述，不同的分配方案种数为18＋18＝36.
12．1800
解析：当d为奇数时，a×b×c为偶数：
1．a，b，c一偶两奇，此时不同排列方法为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝720种；
2．a，b，c两偶一奇，此时不同排列方法为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝720种；
3．a，b，c三个偶数，此时不同排列方法为C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝120种；
当d为偶数时，a×b×c为奇数，此时a，b，c三个奇数，不同排列方法为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝240种；综上，不同排列方法有1800种．
13．A 先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选3个，有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＝4种，再把5个节目排列且满足舞蹈在前、小品在后，有eq \f(A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ,A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )＝60，总共有4×60＝240种．
14．C 由题意可知：6名调研员安排到4家医院，符合条件的安排是四家医院，分到的人数为2，2，1，1，共有eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )·A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝1080.
15．65
解析：由题可知没有限制时，每人有3种选择，则4人共有34种，若没人去人民公园，则每人有2种选择，则4人共有24种，故人民公园一定要有人去的不同游览方案有34－24＝81－16＝65种．
16．36
解析：由题意，先将4个同学分成3组，每组人数分别为2，1，1，然后再由这3组同学选择三门课程，所以不同的选课方案种数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(1)) ,A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )·A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝36.