四川省南充市2024届高三高考适应性考试（三诊）理科数学试题

这是一份四川省南充市2024届高三高考适应性考试（三诊）理科数学试题，共22页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知复数，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用共轭复数的定义及复数的运算法则，得到，再利用复数模的定义，即可求出结果.
【详解】因为，所以，得到，
故选：B.
2. 已知集合，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的交集、并集运算即可得解.
【详解】由，，，
可得，，，，
故选：C试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。3. 已知来这里 全站资源一元不到！为抛物线上一点，点到抛物线焦点的距离为，则（ ）
A. 2B. 1C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用抛物线的定义，即可求出结果.
【详解】因为到抛物线焦点的距离为，
所以由抛物线定义知，，解得，
故选：A.
4. 已知函数，则“的最小正周期为”是“的图象关于点对称”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦型函数的性质及充分条件、必要条件的概念求解.
【详解】由函数的最小正周期为可得，，解得，所以，令，代入可得，
故的图象关于点对称，
当的图象关于点对称，则，
所以，解得，不能得到，
所以“的最小正周期为”是“的图象关于点对称”的充分不必要条件，
故选：A
5. 如图，圆O内接一个圆心角为60°的扇形，在圆O内任取一点，该点落在扇形内的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的半径与扇形半径的关系及扇形的面积公式，由几何概型求解即可.
【详解】设圆的半径为，过作于点，如图，
则扇形的半径,
所以扇形的面积，
圆的面积，
由几何概型可得：.
故选：C
6. 对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的阶差分，其中.若，则（ ）
A. 7B. 9C. 11D. 13【答案】A
【解析】
【分析】根据新定义及数列的通项公式计算即可.
详解】由新定义知，，，
所以，
故选：A
7. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，若该三棱柱的外接球表面积为，则底面正三角形的边长等于（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由外接球的表面积得出球半径，再由球的截面的性质得出底面外接圆的半径，即可得解.
【详解】由三视图可知三棱柱如图所示，
由外接球表面积为知，球半径，
则底面正三角外接圆的半径，
解得底面正三角形边长，
故选：D8. 已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的对称性，转化为直角三角形中，根据正切函数单调性计算即可.
【详解】如图，
由双曲线的对称性知，，
所以，
令，可得，
故在中，，，
所以，
解得，又，
所以，
故选：B
9. 已知点P在所在平面内，若，则点P是的（ ）A. 外心B. 垂心C. 重心D. 内心
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义可得平分，平分，结合三角形内心定义判断即得.
【详解】在中，由，得，
即，由，同理得，
显然，即与不重合，否则，同理，
则，即，，
于是平分，同理平分，
所以点P是的内心.
故选：D
10. 设为等差数列的前n项和，已知、、成等比数列，，当取得最大值时，（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及首项，再借助通项公式及前n项和公式求出，进而求得答案.
【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，
由、、成等比数列，得，解得，
因此，
则，当且仅当时取等号，
所以.
故选：A
11. 如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（ ）
A.
B. E、F、G、H四点共面
C. 设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为
D. 、、三线共点
【答案】C
【解析】
【分析】根据线线平行及菱形对角线垂直判断A，根据两直线平行确定平面判断B，作出截面四边形，根据截面边长的大小判断C，利用相交平面的公共点共线得三点共线可判断D.
【详解】如图，
连接，由分别为中点，可得，
由可知，侧面为菱形，
所以，所以，故A正确；
连接，因为E、F、G、H分别为、、、的中点，
所以，，所以，所以E、F、G、H四点共面，故B正确；
延长交的延长线于点，连接，交于点，连接，，
设确定平面为，则，所以，所以，
则易知三棱柱的截面四边形为， 在中，，在中，，而中，，
而，所以截面的周长大于，故C错误；
由B知，且，所以梯形的两腰、所在直线必相交于一点，
因为平面，平面，
又平面平面，所以，所以与重合，
即、、三线共点于，故D正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：利用共面的判定，结合直线与平面的关系，作出平面与三棱柱截面的图形，是解决C选项的关键所在，需要有较强的推理能力.
12. 已知函数、的定义域均为，函数的图象关于点对称，函数的图象关于y轴对称，，，则（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的对称性及奇偶性可得，，再由已知条件可得的周期，将所求转化为关于的函数值后，利用周期及即可求解.
【详解】由函数的图象关于点对称，
所以，令，可得，即，
由函数的图象关于y轴对称，可知函数为偶函数，
所以，
由，令，可得，
由，可得，，
两式相加可得，即，
可得，由可得，
即，故，所以，即函数的周期，
由可知，
所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据中心对称及偶函数得出一般关系，，再由，利用消元思想，转化为关于的关系式是解题的第一关键，其次利用的关系式求出的周期是第二个关键点，求出周期后利用赋值求特殊函数值即可得解.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.需把答案填到答题卡上.
13. 函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据解析式列出不等式求解.
【详解】因为，
所以且，
解得且，
故函数的定义域为.
故答案为：
14. 若实数x，y满足约束条件，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】作出约束条件表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最小值.
【详解】约束条件表示的平面区域如图中阴影，其中，
目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，
画直线，平移直线到直线，当直线过点时的纵截距最小，最小，，
所以的最小值为.
故答案为：
15. 若，，，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用数量积的运算运算，得到，，再利用向量夹角公式，即可求出结果.
【详解】因，所以，又，，
所以，
得到，所以，
故答案为：.
16. 如图，，且与的距离为1，与的距离为2.若在上，分别在，上，，，.则四边形的面积为______.

【答案】##
【解析】【分析】设，则，根据条件得到，从而得到，则有，，过分别作的垂线，交于，利用几何关系求出及，即可求出结果.
【详解】如图，设，，则
因为与的距离为1，与的距离为2，所以，
因为，所以，得到，
由图易知，，所以，得到，
所以，，
过分别作的垂线，交于，在中，，，
所以，
因为，所以，
在中，，所以，得到，
所以四边形的面积为，

故答案为：.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题是必考题必须作答.第22、23是选考题，根据要求作答.
（一）必考题：每题12分，共60分.
17. 近年来，国内掀起了全民新中式热潮，新中式穿搭，新中式茶饮，新中式快餐，新中式烘焙等，以下为某纺织厂生产“新中式”面料近5个月的利润（y万元）的统计表.
（1）根据统计表，试求y与x之间的相关系数r（精确到0.001），并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系：（若，则认为两个变量具有较强的线性相关性）；
（2）从这5个月的利润中任选2个月的利润，分别记为m，n，求事件“m，n均不小于20万元”的概率.
附：参考数据：
相关系数.
【答案】（1），具有较强的线性相关关系
（2）
【解析】
【分析】（1）计算相关系数中的量，代入相关系数公式，由计算结果得出结论；
（2）列出基本事件空间，根据古典概型计算概率.
【小问1详解】
，，
，
月份
2023.11
2023.12
2024.01
2024.02
2024.03
月份编号x
1
2
3
4
5
利润（y万元）
27
23
20
17
13
又，
所以可以判断与具有较强的线性相关关系.
【小问2详解】
从5个月的利润中任选2个，不同的结果有:
(27,23), (27,20), (27,17), (27,13), (23,20), (23,17), (23,13), (20,17), (20,13), (17,13),
共10个基本事件，
记“m，n均不小于20万元”为事件A，则事件A包含的基本事件为(27, 23), (27,20), (23,20),共3个基本事件.
所以，即事件“m, n均不小于20万元"的概率为.
18 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，记的面积为S，若，.求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由三角恒等变换化简，再由正弦型三角函数的单调区间求解；
（2）根据题意可得，在直角三角形中即可得证.
【小问1详解】
，
令，则，
所以函数的单调递增区间.
【小问2详解】
由得，即，在中，，，，，
，
，
19. 已知如图，在矩形中，，，将沿折起，得到三棱锥，其中是折叠前的，过M作的垂线，垂足为H，.
（1）求证：；
（2）过H作的垂线，垂足为N，求点N到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）连接，利用余弦定理、勾股定理的逆定理证明，再利用线面垂直的判定性质推理即得.
（2）证明平面，再利用等体积法求出点到平面的距离即可.
【小问1详解】
连接，由，，
得，
在中，由余弦定理得，
则，于是，而平面，
因此平面，又平面，
所以.【小问2详解】
在中，由，，得，而平面，
平面，则平面，于是点到平面的距离等于点到平面的距离，
又，设点到平面的距离为，则，
，，
，，
由，得，即，解得，
所以点N到平面的距离.
20. 已知圆，动圆P与圆M内切，且经过定点.设圆心P的轨迹为曲线.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）已知过点的直线与l曲线交于M，N两点，连接，分别交y轴于P、Q.试探究线段的中点是否为定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由
【答案】（1）
（2）定点为.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义判断轨迹，求出方程；
（2）求出点的纵坐标，设直线，利用齐次式法化简，即可得解.
【小问1详解】
设圆M的半径为r，圆M与圆P内切于点Q.
点N圆M内部，点P在圆M内部.，
那么点P的轨迹为焦点在x轴的椭圆，设曲线为，
，可得，，
，，
曲线为：.
【小问2详解】
设，
显然直线的斜率存在且，那么
令得到；同理：
由题意知：直线不过，那么可设直线①
直线过点，.
又椭圆方程：，即：②
由①②得，，
即，即，
是直线与椭圆的交点，
是一元二次方程的两根，
由得：，
由韦达定理得：，
，即的中点为.
21. 已知函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）①求证：有且仅有一个极值点；
②当时，设极值点为，若.求证：
【答案】（1）
（2）①证明见解析 ②证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数导数，利用导数单调性，可得出函数单调性，即可求最值；
（2）①求出函数导数，根据导数的单调性，利用零点存在性判断导数只有一个变号零点即可；②作差后构造函数，利用导数判断函数单调性，利用单调性求出最小值0即可得证.
【小问1详解】
，令，
当时，，，
，故在上单调递增，又，
在上单调递减，
在上单调递增，
的最小值为.
【小问2详解】
由（1）知，，
，故在上单调递增，即在上单调递增，
又，，
存在唯一的变号零点，
即有且仅有一个极值点.
②由①知：有且仅有一个极值点且，则
当时，，
由①知：，要证，
只需证：，
而，那么
，
令，则，
设，则，又，
所以，在上单调递增，即在上单调递增，
又，，在上单调递增，
即在上单调递增，又，，
在上单调递增，，
综上所述，时，
【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问，首先需要对要证结论变形，再构造函数，利用，转化为证明，本题第二个关键点在于需要多次求导，利用函数的单调性，证明函数值不小于0，直到得出单调递增，再由单调性得出结论，过程繁杂，极易出错.
（二）选做题：共10分.请考生从22与23题选择一题作答.若多做，则按所做的第一题给分.
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，
（1）求曲线的普通方程；
（2）设射线l的极坐标方程为，射线l与曲线交于点A，与曲线交于点B（B不与O重合），且满足，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据参数方程消元即可得出曲线的普通方程；
（2）由极坐标公式化方程为极坐标方程，由极径的意义及即可得出极角.
【小问1详解】
因为，所以，
又，当且仅当，即时等号成立，
曲线的普通方程为
【小问2详解】
，
曲线的极坐标方程，
设点，则，
设点，则，
，化简得：，
即，解得，
又因为且，
23. 若a，b均为正实数，且满足.
（1）求的最大值；
（2）求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用柯西不等式直接求解；
（2）由分析法转化为求证，换元后由函数单调性得证.
【小问1详解】
由柯西不等式得：，
即，故，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最大值为.
【小问2详解】
要证：，
只需证：，
只需证：，
即证：，
由a，b均为正实数，且满足可得，
当且仅当时等号成立，即，
设，则设，
在上单调递增，在上单调递减，又，，
即.