山西省吕梁市孝义市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份山西省吕梁市孝义市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共21页。

1．本试卷满分为100分，考试时间为90分钟．
2．书写认真，字迹工整，答题规范，卷面整洁不扣分，否则，将酌情扣分，书写与卷面扣分最多不得超10分．
一、选择题（每小题2分，共20分．下列各小题均给出四个备选答案，请将符合题意选项的字母代号，填写在下面方格内）
1. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
∴．
故选：C．
2. 下列根式中，不能与合并的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义分别进行判断即可得答案.
详解】A. =，能与合并，故不符合题意；
B. =，能与合并，故不符合题意；
C. =，不能与合并，故符合题意；
D. =3，能与合并，故不符合题意，试卷源自 每日更新，汇集全国来这里 全站资源一元不到！各地小初高最新试卷。故选C.
【点睛】本题考查了同类二次根式，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，同类二次根式可以合并.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则可以计算出各个选项中的正确结果，从而可以判断哪个选项中的式子是正确的．熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【详解】解：A、、不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项错误，不符合题意；
C、，能合并，故该选项正确，符合题意；
D、，故该选项错误，不符合题意；
故选：C．
4. 如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理，得，根据平移规律右加，得到，计算即可，本题考查了勾股定理，数轴上数的平移，熟练掌握定理和平移规律是解题的关键．
【详解】∵，，，∴，
根据平移规律右加，得到即，
故选D．
5. 如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A. 24B. 32C. 16D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，利用三角形中位线定理求出的长是解题的关键．
【详解】解：∵E、F分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴四边形的周长，
故选：B．
6. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，，，则的长是（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】B
【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，再求解即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，
故选：B．
7. 探究勾股定理的思路是：先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质．从等腰直角三角形到一般直角三角形的研究过程中主要体现的数学思想是（ ）
A. 从特殊到一般思想B. 从一般到特殊思想
C. 方程思想D. 归纳思想
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了探究勾股定理的思路，掌握从特殊到一般的数学思想是解题的关键．
【详解】解：∵先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质．
∴这种研究思路主要体现的数学思想是从特殊到一般．
故选：A．
8. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点A落在对角线上的处．若，则等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】先根据矩形的性质得到∠ABD=66°，再根据折叠的性质得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=90°
∴∠ABD=90°-=66°
∵将矩形纸片沿折叠，使点A落在对角线上的处
∴
∴
故选C．
【点睛】此题主要考查矩形内的角度求解，解题的关键是熟知矩形及折叠的性质．
9. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ）
A. ①对角相等B. ②有一组邻边相等
C. ③有一组邻边相等D. ④有一个角是直角
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果；
【详解】解：、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意；
、②，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
故选：；
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，解本题的关键在熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理；
10. 如图，在中，平分，交于点E，连接，．若，，．则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，根据勾股定理的逆定理可得，再根据平行四边形的性质可得，，根据勾股定理可求的长
【详解】解：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
在中，，即，
∴，
∴，，
在中，．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：_______．【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形
【解析】
【分析】找出原命题的条件和结论，再把原命题的条件变为逆命题的结论，把原命题的结论变为逆命题的条件即可求解．
【详解】解：命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形，
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查了写出原命题的逆命题，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键．
12. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线，交于点E，交于点F，连接．则的周长为______
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图－线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质．由作图知直线是线段的垂直平分线，再证明是等边三角形，利用平行四边形的性质得到，据此求解即可．
【详解】解：由作图知直线是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
中，，
∴，
∴，
∴的周长为，
故答案为：12．
13. 我国南宋著名的数学家秦儿解，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：若一个三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积．若一个三角形的三边长a，b，c分别为，，．则这个三角形的面积为____________
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，掌握二次根式的性质是解题的关键；把题中的三角形三边长代入公式，计算得出答案即可.
【详解】解：根 据 题 意 ， 该 三 角 形 的 三 边 长a，b，c分 别 为，，，
这个三角形的面积为，
故答案为：.
14. 如图，在矩形中，，，，则矩形的面积是____________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，求出与的长是解题的关键；先由四边形是矩形，得出，再解 ，根据角所对的直角边等于斜边的一半得出那么 ，利用同角的余角相等得出，再解 ，得到那么 然后根据矩形的面积解答即可．
【详解】四边形是矩形，
，
，
，
，
，
矩形的面积是
故答案为：．
15. 如图，在等边三角形中，，M为上一点（不与A，C重合），连接，以，为邻边作，则的最小值为______
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、垂线段最短等知识点，由平行四边形的性质可得，，当时，此时有最小值，即可求解．灵活运用这些性质是解决问题的关键．
【详解】解：如图，设与交于点，连接，

四边形是平行四边形，
，，是等边三角形，，
，，
，则
，
当时，此时有最小值，
，
，
的最小值为，
故答案：．
三、解答题（本大题共7个小题，共55分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先计算二次根式的乘法以及二次根式的化简，再合并同类二次根式即可；
（2）利用乘法公式计算，再合并同类二次根式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】解：
．
17. 阅读下列解题过程，回答问题：
（1）化简：______，______；
（2）利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小：
（1）仿照题意求解即可；
（2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，．
【小问1详解】
解：
；
，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：，
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：
实践与操作：
在网格中确定一个格点D，连接、，使四边形为平行四边形；推理与计算：
的面积为____________
【答案】作图见解析，的面积为15
【解析】
【分析】本题考查作图一应用与设计作图，勾股定理及其逆定理，平行四边形的性质，解题的关键是判断是直角三角形；根据平行四边形的定义作图即可，根据勾股定理计算出，，，再根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，再由平行四边形的性质求面积即可；
【详解】即为所求，
由题意得，，，；
，
是直角三角形，且，
的面积为，
故答案为：15；
19. 如图，在中，E，F分别为边，的中点，连接，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，请证明：四边形是菱形．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质．
（1）利用中点的定义求得，利用平行四边形的性质得到，根据平行四边形的判定即可证明四边形是平行四边形；（2）利用直角三角形斜边中线的性质求得，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形是菱形．
【小问1详解】
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵E、F分别为边、的中点，
∴，
∴，，
∴四边形为平行四边形；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
在中，点E是的中点，
∴，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
20. 学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量风筝的高度的实践活动，他们设计了如下方案：
课题
测量风筝的高度
成员
组长：xxx组员：xxx，xxx，xxx
工具
皮尺，计算器等
测量示意图
说明：如图1，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点A，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点E，于点D．
测量数值
测量项目
数值
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如图2，如果想让风筝沿方向下降11米至点F，求应该往回收多少米风筝牵引线．
【答案】（1）米
（2）7米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用：
（1）由勾股定理得米，再根据即可求解；
（2）由勾股定理得米，进而可求解；
熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【小问1详解】
解：由勾股定理得，（米），
∴（米），
答：风筝的垂直高度为米．
【小问2详解】
如图，由勾股定理得，
（米），
（米），
∴他应该往回收线7米．点B到的距离
12米
风筝线的长度
20米
的长度
1.7米
21. 阅读与思考
下面是小敏同学写的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应学习任务：
对角线互相垂直的四边形的性质探究
在平行四边形一章中，我们已经学习过平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质，那么对于对角线互相垂直的四边形，它有哪些特殊的性质呢？
容易发现：对角线互相垂直的四边形，两组对边的平方和相等．
推理证明：
已知：如图1，在四边形中，对角线，相交于点O，且．
求证：
证明：……
学习任务：
（1）请完成上述证明过程．
（2）要测量池塘两岸A，D两点的距离，小敏同学绘制了如图2所示的示意图，在四边形中，对角线，相交于点O，且．并测量得米，米，米，请直接写出的长为______米．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由勾股定理可知，，，，，进而可证明结论；
（2）由（1）所证明的结论即可求解．
【小问1详解】
证明：∵于点，
∴在中，，在中，，
中，，在中，，∴
，
即：；
【小问2详解】
由（1）可知，，
∵米，米，米，
∴，解得：米，
故答案为：．
22. 综合与实践
如图1，在正方形的中，点E，点F外别是与上的点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，在图1的基础上，过点D作，垂足为H，交于点I．试猜想，，的等量关系，并说明理由；
（3）如图3，在图2的基础上，当点E是的中点时，若，请直接写出的长．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）利用正方形的性质可证，得，再利用互余即可证得，进而可证明结论；
（2）由题意可知，，在正方形中，，，进而可证，得，，则，即可得结论；
（3）在正方形中，，，可知，则，由，得，由（2）可知，在中，由勾股定理可知，结合即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵，，
∴，，
在正方形中，，，
∴，
∴，
∴，，
则；
【小问3详解】
在正方形中，，，
∵点是的中点，∴，则，
∵，
∴，
则，
由（2）可知，
在中，，
∴．