湖南省株洲市攸县片区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份湖南省株洲市攸县片区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共17页。试卷主要包含了 的公因式是， 下列计算正确的是， 已知方程组的解是， 因式分解的结果为， 如果可因式分解为，那么， 计算的结果是等内容，欢迎下载使用。
一．精心选一选（3×10=30分）
1. 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，据此判断即可．
【详解】解：A、方程组中二次项，不是二元一次方程组，不符合题意；
B、方程组中有分式，不是二元一次方程，不符合题意；
C、符合二元一次方程组的定义，符合题意；
D、方程组中总共有3个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，熟记二元一次方程组的定义是解本题的关键．
2. 的公因式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是提公因式的方法，掌握公因式的确定方法成为解题的关键．
确定公因式的方法“找出数字的最大公约数，找出相同字母的最低次数”据此即可解答.
【详解】解： 每一项的公共因式为：．
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D. 试卷源自 每日更新，汇集全国来这里 全站资源一元不到！各地小初高最新试卷。【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方、单项式乘法等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．
根据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方、单项式乘法逐项判断即可解答．
【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意；
B、，原选项错误，不符合题意；
C、，原选项错误，不符合题意；
D、，此项正确，符合题意．
故选：D．
4. 下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的定义，正确理解因式分解的定义是解题的关键．因式分解就是把多项式转化成几个整式的积的形式，据此逐项作出判断即可．
【详解】解：A. ，是整式的乘法运算，不符合题意；
B. ，是因式分解，符合题意；
C. ，结果不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，不符合题意；
D. ，原分解错误，不符合题意；
故选：B．
5. 已知方程组的解是（ ）
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】
【分析】根据加减消元法解方程即可．
【详解】，
①+②得：3x=6，
解得x=2，
将x=2代入②式得，y=-1，
∴方程组的解为，
故选：B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟记代入消元法和加减消元法的步骤是解题的关键．
6. 下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式的知识，掌握平方差公式的形式（平方差公式由两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差）是解题的关键．
根据平方差公式的形式逐项判断即可．
【详解】解：A、不可以运用平方差公式，故本选项错误；
B、不可以运用平方差公式，故本选项错误；
C、能运用平方差所给，故本选项正确；
D、不能运用平方差公式，故本选项错误；
故选：C．
7. 因式分解的结果为（ ）
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可．
【详解】分解：原式，
故选：D．
8. 如果可因式分解为，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据多项式乘以多项式进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了根据因式分解的结果求参数，熟练掌握整式的乘方与因式分解的关系是解题的关键．
9. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：求100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：由设有x匹大马，y匹小马，
由共有100匹马，可得共有100片瓦，则，
所以可得得二元一次方程组．
故答案为C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、设出未知数并表示相关量、根据等量关系列方程成为解答本题的关键．
10. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．
【详解】解：
，
故答案为：D．
二．细心填一填（8×3=24分）
11. 已知方程是二元一次方程，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
根据二元一次方程的定义列方程求得m、n的值，然后求和即可．
【详解】解：∵方程是二元一次方程，∴，解得：，
∴．
故答案为：1．
12. 已知是方程的解，则________
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了本题考查了二元一次方程的解，掌握方程解的定义是解题的关键．
根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于的一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
解得：，
故答案为：2．
13. 若，则_________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，解答的关键是掌握因式分解常见方法．
利用因式分解得到，然后把代入计算即可．
【详解】解：，
将代入得，原式．
故答案为：．
14. 若，，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．根据同底数幂的乘法法则解答即可．
【详解】解：，，
．
故答案为：615. 如果多项式是一个完全平方式，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．
根据完全平方公式即可求出m的值．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
16. 已知x，y满足方程组，则________
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式及整体代入的数学思想是解决问题的关键．
先利用平方差公式把分解因式，再整体代入进行计算，即可得出答案．
【详解】解：∵，
化简得，
，
故答案为：10．
17. 已知，则的值是_________．
【答案】14
【解析】
分析】根据完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
18. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项的系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入原多项式进行因式分解．
【详解】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为，
∴在＝x2+6x+8中，a＝6是正确的，
∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为，
∴在＝x2+10x+9中，b＝9是正确的，
∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝．
故答案为：
【点睛】本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关键．
三．用心做一做（66分）
19. 解方程组
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握运用加减消元法解二元一次方程组成为解题的关键.
（1）直接运用加减消元法求解即可；
（2）先化简原方程组，然后再运用加减消元法求解即可.
【小问1详解】
解：，
得：，解得：，
将代入①可得：，
所以该方程组的解为：.
【小问2详解】
解：可化简为：，
可得：，解得：，
将代入①可得：，解得：，
所以该方程组的解为：.
20. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了整式的乘法运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（1）首先计算积的乘方、幂的乘方，然后计算同底数幂乘法，求出算式的值是多少即可；
（2）首先计算多项式乘多项式、单项式乘多项式，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
21. 因式分解
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解成为解题的关键．
（1）先提取公因式a，然后再运用平方差公式进行分解即可；
（2）先凑出公因式，然后再提取公因式求解即可．
【小问1详解】
解：．
【小问2详解】
解：
．
22. 先化简，再求值，其中.【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键.
先运用整式的混合运算法则计算，然后将代入计算即可.
【详解】解：
,
当时，原式.
23. 已知.
（1）求的值；
（2）当时，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的加减运算、代数式求值等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键.
（1）将代入，然后运用整式的加减运算法则计算即可；
（2）将代入（1）的运算结果中计算即可.
【小问1详解】
解：∵，
∴
.
【小问2详解】解：∵，
∴
∴当时，求的值为.
24. 节约用水和合理开发利用水资源是每个公民应尽的责任和义务，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段引导市民节约用水.某城市实行阶梯水价，月用水量在吨以内按正常收费，超出部分则收较高水费，该市某户居民今年2月份用水吨，交水费元；3月份用水吨，交水费元，请回答下列问题．
（1）每月在吨以内的水费每吨多少元？每月超出吨部分的水费每吨多少元？
（2）某户居民4月份用水吨，请用含有的代数式表示该户居民4月份应交的水费．
【答案】（1）元/吨；元/吨 （2）当用户的月用水量在吨以内时，该用户本月应交水费为：；当用户的月用水量超过吨时，该用户本月应交水费为：
【解析】
【分析】(1)根据2月份和3月份的缴费情况列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值即可；
（2）分别求出当x在吨以内和超出吨时的水费两种情况即可．
【详解】解:设在吨以内的水费为元/吨，超出吨部分的水费为元/吨
由题意得:
解得，
答: 吨以内的水费为元/吨，超出吨部分的水费为元/吨.
①当用户的月用水量在吨以内时，该用户本月应交水费可表示为.
②当用户的月用水量超过吨时，该用户本月应交水费可表示为：2×6+（x－6）×5=5x－18．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组应用，解答本题的关键是根据题意列出方程组，求出吨以内的水费和超出吨部分的水费，此题难度不大．
25. 仔细阅读下面的例题，仿照例题解答“问题”，阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式进行因分解的过程．解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
（2）老师说．小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后
结果 ：
（3）请你用换元法对多项式进行因式分解
【答案】（1）C （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解-换元法、公式法等知识点，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式的特点即可判定；
（2）再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）根据材料，用换元法进行分解因式即可．
【小问1详解】
解：根据第二步到第三步的因式分解可知是运用了完全公式法．
故选C．
【小问2详解】
解：原式．
故答案为．
【小问3详解】
解：设，

．
26. 如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）按要求填空：
①你认为图①中的阴影部分的正方形的边长等于 ．
②请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：方法1： ．方法2： ．
③观察图②，请写出代数式，这三个代数式之间的数量关系： ．
（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①若，求值；
②若已知，求的值．
【答案】（1）①；②；；③
（2）①20；②
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）①观察可得阴影部分的正方形边长是；
②方法1：阴影部分的面积就等于边长为的小正方形的面积；
方法2：边长为大正方形的面积减去4个长为，宽为的长方形面积；③根据以上相同图形的面积相等可得；
（2）①根据可得、，利用（1）中结论计算可得；
②设，由题意可得，，根据，求出的值即可．
【小问1详解】
解：①阴影部分的正方形边长是．
②方法1：阴影部分的面积就等于边长为的小正方形的面积，即，
方法2：边长为的大正方形的面积减去4个长为，宽为的长方形面积，即；
③．
【小问2详解】
①，
，
，
∵由（1）可知，
，
；
②∵，
∴设，
则，
由（1）可知，
．
∴．