2023-2024学年河南省郑州四中七年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年河南省郑州四中七年级（下）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a2+a2＝3a4B．a6÷a3＝a2
C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．（2a﹣1）2＝4a2﹣1
3．（3分）中国航天科工集团公司的技师们可以运用数控微雕这项技术，在一个直径只有一角硬币大小的金属片上打孔，这个孔的直径是一根头发丝的三分之一．若一根头发丝的直径大约为90μm,且1μm=0.000001m,则金属片上这个孔的直径用科学记数法表示为（ ）
A．30×10﹣6mB．0.3×10﹣6mC．3×10﹣5mD．9×10﹣5m
4．（3分）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠EDC=126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为（ ）
A．126°B．136°C．144°D．154°
5．（3分）如图，点E在AD延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠C+∠ADC＝180°
C．∠C＝∠CDED．∠1＝∠2
6．（3分）如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得PA=8m,PB=6m,那么A，B之间的距离不可能是（ ）
A．8mB．10mC．12mD．14m
7．（3分）下列事件中，不确定事件的个数为（ ）
①车辆随机到达一个路口，遇到红灯
②两条线段可以组成一个三角形
③400人中有两人的生日在同一天
④掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（3分）下列说法正确的有（ ）个
①平面内，不相交的直线就是平行线；
②平行于同一条直线的两条直线平行；
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④如图，以点B为顶点，射线BC为一边，利用尺规作∠EBC，使得∠EBC=∠A，则EB与AD一定平行．
A．1B．2C．3D．4
9．（3分）如图①，在正方形ABCD中，点E为DC边的中点，点P为线段BE上的一个动点．设BP=x,AP=y,图②是点P运动时y随x变化的关系图象．当y=2时，则（ ）
A．P在B点处B．P在E点处C．AP⊥BED．P为BE中点
10．（3分）（1）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如图①所示）．
（2）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图②所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OD=OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（3）如图③，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．
（4）小颖在作业本上画的△ABC被墨迹污染（如图④），小颖想用尺规作一个与原来完全一样的△ABC．
以上作图过程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一样的是（ ）
A．（1）
B．（2）
C．（3）
D．（4）
二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）直播课期间，刘老师买了一个手机支架，如图所示，手机支架利用了三角形的 ．
12．（3分）若代数式x2﹣（2﹣m）x+64是完全平方式，则m＝ ．
13．（3分）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为 ．
14．（3分）乐乐设计了一个有趣的运算程序：任意写出一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差，然后把差重复这个过程……以579开始，按照此程序运算2024次后得到的数是 ．
15．（3分）在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的大小为 ．
三、解答题（7小题，共55分）
16．（6分）（1）计算：；
（2）利用公式简便计算：1252﹣123×127．
17．（6分）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝ （ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ，
得∠1＝∠2（ ），
所以AE∥GF（ ）．
18．（7分）先化简再求值：若x，y满足|2x+1|+（y﹣1）2＝0，求[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷（﹣2x）的值。
19．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交点）．​
（1）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）在AB边上找一点D，连接CD，使CD平分△ABC的面积，则D点的位置在 ．
（3）请在图中l上画出点P，使PA+PC的和最小．
20．（8分）甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为x（h），甲、乙两人距出发点的路程S甲、S乙的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题：
（1）甲的速度是 km/h，乙的速度是 km/h；
（2）对比图①、图②可知：a＝ ，b＝ ；
（3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？
21．（10分）【阅读理解】
若x满足（32﹣x）（x﹣12）＝100，求（32﹣x）2+（x﹣12）2的值．
解：设32﹣x＝a，x﹣12＝b，则（32﹣x）（x﹣12）＝a•b＝100（32﹣x）+（x﹣12）＝20，（32﹣x）2+（x﹣12）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×100＝200，
我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
【解决问题】
（1）若x满足（100﹣x）（x﹣95）＝5，则（100﹣x）2+（x﹣95）2＝ ；
（2）若x满足（2024﹣x）2+（x﹣2000）2＝228，求（2024﹣x）（x﹣2000）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20cm，F是边BC，CD上的点，且BE＝DF＝x cm，分别以FC，若长方形CBQF的面积为300cm2，求图中阴影部分的面积和为 ．
22．（10分）直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．
（1）当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．
（2）当AC=8，BC=6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．
①CM＝ ，当N在F→C路径上时，CN＝ ．（用含t的代数式表示）
②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．
2023-2024学年河南省郑州四中七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．【答案】B
【解答】解：A，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，所以是轴对称图形．
故选：B．
2．【答案】C
【解答】解：由题意，
2a2+a7＝3a2，故A选项错误，不符合题意．
a7÷a3＝a3，故B选项错误，不符合题意．
（﹣2a）3＝﹣8a6，故C选项正确，符合题意．
（2a﹣1）2＝4a2﹣3a+1，故D选项错误．
故选：C．
3．【答案】C
【解答】解：90××6.000001m＝3×10﹣5m，
故选：C．
4．【答案】C
【解答】解：过点C作CF∥DE，
∴∠DCF＝180°﹣∠EDC＝54°，
∵BC⊥AB，
∴∠B＝90°，
∵ED∥AB，
∴CF∥AB，
∴∠BCF＝180°﹣∠B＝90°，
∴∠DCB＝∠DCF+∠BCF＝144°，
故选：C．
5．【答案】D
【解答】解：A、根据内错角相等，不能证AB∥CD；
B、根据同旁内角互补，可证得BC∥AD，故选项错误；
C、根据内错角相等，不能证AB∥CD；
D、根据内错角相等，故选项正确．
故选：D．
6．【答案】D
【解答】解：由三角形三边关系定理得：8﹣6＜AB＜3+6，
∴2＜AB＜14，
∴A、B之间的距离不可能是14m．
故选：D．
7．【答案】B
【解答】解：①车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件；
②两条线段可以组成一个三角形是不可能事件；
③400人中有两人的生日在同一天是必然事件；
④掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数是随机事件，
故选：B．
8．【答案】B
【解答】解：平面内，不相交的直线就是平行线；
平行于同一条直线的两条直线平行，所以②正确；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
如图，以点B为顶点，利用尺规作∠EBC，当E点在∠DAC的外部时，所以④错误．
故选：B．
9．【答案】C
【解答】解：由图②得，y＝2时点是图象的顶点，
当AP⊥BE时，AP最短，
∴点P不在点B处，不在点E处，
∵△ABP∽△BCE，
∴BP：CE＝AP：BC，
∵AP＝2，
∴BP＝4，AB＝，
∵点E为DC边的中点，
∴CE＝，BE＝，
∴点P不是BE中点．
故选：C．
10．【答案】D
【解答】解：（1）从作图可知：OD′＝OC′＝OD＝OC，C′D′＝CD，
根据“SSS”可得：△C′OD′≌△COD，所以∠A′O′B′＝∠AOB；
（2）从操作可得：OE＝OD，PE＝PD，根据“SSS”得△POE≌△POD；
（3）因为AB＝AD，BC＝CD，根据“SSS”得△ABC≌△ADC，所以AE是∠PRQ（∠BAD）的平分线；
（4）从图形可知：应该先画∠MB′N＝90°，然后边B′M和B′N上分别截取B′A′＝BA，连接A′C′，
故选D．
二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：手机支架利用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x2﹣（2﹣m）x+64是完全平方式，
∴5﹣m＝±16，
∴m＝18或﹣14．
故答案为：18或﹣14．
13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，其中有5个黄球，
随机摸出一个蓝球的概率是，
设红球有x个，
∴＝，
解得：x＝2
∴随机摸出一个红球的概率是：＝．
故答案为：．
14．【答案】495．
【解答】解：组成一个最大的数975和一个最小的数579，
用大数减去小数，
第一次：975﹣579＝396，
第二次：963﹣369＝594；
第三次：954﹣459＝495；
第四次：954﹣459＝495；
第五次：954﹣459＝495；
第六次：954﹣459＝495．
故答案为：495．
15．【答案】90°或70°．
【解答】解：当∠A为直角时，∠A＝90°，
当∠C为直角时，∠A+∠B＝90°，
∵∠A比∠B的3倍还多10°，
∴∠A＝3∠B+10°，
∴6∠B+10°+∠B＝90°，
∴∠B＝20°，
∴∠A＝70°，
故答案为：90°或70°．
三、解答题（7小题，共55分）
16．【答案】（1）4；
（2）4．
【解答】解：（1）
＝﹣1+1+7
＝4；
（2）1252﹣123×127
＝1254﹣（125﹣2）×（125+2）
＝1253﹣（1252﹣4）
＝1257﹣1252+4
＝6．
17．【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义），
所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等），
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝∠BAG（角平分线的定义），
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝∠AGC，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；邻补角的定义；∠BAG；∠AGC；内错角相等．
18．【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝（x2﹣4xy+8y2+x2﹣7y2﹣4x7+2xy）÷（﹣2x）
＝（﹣7x2﹣2xy）÷（﹣4x）
＝x+y．
∵|2x+1|+（y﹣4）2＝0，
∴8x+1＝0，y﹣7＝0，
解得x＝，y＝1，
∴原式＝+1＝．
19．【答案】（1）见解析；
（2）AB的中点上；
（3）见解析．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C3即为所求；
（2）在AB边上找一点D，连接CD，则D点的位置在AB的中点上，
故答案为：AB的中点上；
（3）如图所示，点P即为所求．
20．【答案】（1）25，10；
（2）10；1.5；
（3）h或h．
【解答】解：（1）由图可得，
甲的速度为：25÷（1.5﹣5.5）＝25÷1＝25（km/h），乙的速度为：25÷4.5＝10（km/h），
故答案为：25，10；
（2）由图可得，
a＝25×（1.8﹣0.5）﹣10×6.5＝10，
b＝1.2，
故答案为：10；1.5；
（3）由题意可得，
前8.5h，乙行驶的路程为：10×0.5＝5＜7.2，
则甲、乙两人路程差为7.5km是在甲乙相遇之后，
设乙出发xh时，甲、乙两人路程差为7.5km，
25（x﹣0.5）﹣10x＝7.5，
解得，x＝，
25﹣10x＝7.8，得x＝；
即乙出发或时，甲、乙两人路程差为7.5km．
21．【答案】（1）15；
（2）174；
（3）300cm2．
【解答】解：（1）根据阅读材料的方法，设100﹣x＝a，
则ab＝5，
而a+b＝5，
∴（100﹣x）8+（x﹣95）2＝a2+b4＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×3＝15；
故答案为：15；
（2）设2024﹣x＝a，x﹣2000＝b，
则a2+b2＝228，
而a+b＝24，
∵a2+b2＝（a+b）2﹣7ab，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a3+b2）＝242﹣228＝576﹣228＝348；
∴ab＝174，即 （2024﹣x）（x﹣2000）＝174；
（3）由题意得：CF＝CD﹣DF＝20﹣x，BC＝CE+BE＝x+10，
设CF＝a，BC＝b，
∴a+b＝20﹣x+x+10＝30，
∵长方形CBQF的面积为300cm2，
∴（24﹣x）（12+x）＝ab＝300，
∴图中阴影部分的面积和＝（20﹣x）4+（x+10）2＝a2+b3＝（a+b）2﹣2ab＝302﹣2×300＝300（cm2）．
故答案为：300cm7．
22．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△ACD与△CBE全等．
理由如下：∵AD⊥直线l，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）①由题意得，AM＝t，
则CM＝8﹣t，
由折叠的性质可知，CF＝CB＝6，
∴CN＝8﹣3t．
故答案为：8﹣t；3﹣3t．
②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，
∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，
∴∠NCE＝∠CMD，
∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等，
当点N沿F→C路径运动时，8﹣t＝3﹣3t，
解得，t＝﹣1（不合题意），
当点N沿C→B路径运动时，6﹣t＝3t﹣6，
解得，t＝4.5，
当点N沿B→C路径运动时，由题意得，
解得，t＝5，
当点N沿C→F路径运动时，由题意得，
解得，t＝8.5，
综上所述，当t＝3.8秒或5秒或6.7秒时．